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Si 𝐯, 𝐰 et 𝐮 sont trois vecteurs linéairement indépendants dans ℝ trois, alors le volume du parallélépipède déterminé par 𝐯, 𝐰 et 𝐮 est ...
Afin de répondre à cette question, nous rappelons la signification géométrique du produit mixte. La valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs est le volume du parallélépipède généré par les trois vecteurs. Si les trois vecteurs sont 𝐀, 𝐁 et 𝐂, alors le volume est égal à la valeur absolue du produit mixte de 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Dans cette question, nos trois vecteurs sont 𝐯, 𝐰 et 𝐮, ce qui signifie que le volume du parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mixte des vecteurs 𝐯, 𝐰 et 𝐮.
Il convient de noter que si les vecteurs 𝐯, 𝐰 et 𝐮 avaient des composantes comme indiqué, alors le produit mixte des vecteurs 𝐯, 𝐰 et 𝐮 est égal au déterminant de la matrice trois par trois 𝑣 indice 𝑥, 𝑣 indice 𝑦, 𝑣 indice 𝑧, 𝑤 indice 𝑥, 𝑤 indice 𝑦, 𝑤 indice 𝑧, 𝑢 indice 𝑥, 𝑢 indice 𝑦, 𝑢 indice 𝑧. Le volume du parallélépipède sera égal à la valeur absolue de ce déterminant.
