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Déterminez l'équation générale du plan qui passe par le point de coordonnées trois, moins huit, moins sept et qui contient l'axe des 𝑥.
Avant de commencer, voyons à quoi pourrait ressembler ce plan. Si nous traçons l’axe des 𝑥, on nous dit que le plan contient cet axe, ce qui signifie qu'il pourrait ressembler, disons, à ceci. Mais nous nous rendons compte qu'il est également possible de faire pivoter ce plan et qu'il contient toujours l'axe des 𝑥. Il existe en fait une infinité de plans qui contiennent l'axe des 𝑥. Mais un seul de cette infinité de plans contient ce point donné. Ainsi, le plan qui contient le point trois, moins huit, moins sept est le plan dont nous voulons déterminer l'équation cartésienne.
Nous pouvons rappeler que l'équation générale d'un plan s'écrit sous cette forme. 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. Ce qui est important, c'est que les coefficients par lesquels on multiplie respectivement 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont des composantes du vecteur normal ou orthogonal à la surface du plan. De manière générale, si nous connaissons un vecteur normal à la surface du plan, ainsi qu'un point du plan, nous pouvons le définir précisément. Puisque nous connaissons déjà un point qui appartient à notre plan, nous devons maintenant trouver un vecteur normal à celui-ci.
Disons que parmi tous les plans qui contiennent l'axe des 𝑥, celui-ci est celui qui contient également notre point trois, moins huit, moins sept. Appelons ce point 𝑃 zéro. Puisque notre plan contient également l'axe des 𝑥, nous pouvons désigner un autre point dans ce plan. Puisque le point zéro, zéro, zéro se trouve sur l'axe des 𝑥, il doit également se situer dans notre plan. Nous avons désigné ce deuxième point car, maintenant que nous avons deux points dans le plan, nous pouvons les relier par un vecteur qui sera lui-même situé dans notre plan. Nous pouvons appeler ce vecteur 𝐫 zéro. Puisqu'il va de notre origine au point connu 𝑃 zéro, les composantes de 𝐫 zéro sont simplement les coordonnées de 𝑃 zéro.
Nous avons maintenant un vecteur situé sur notre plan. Si nous pouvons trouver un second vecteur qui appartient à ce plan et qui n'est pas colinéaire à 𝐫 zéro, nous pouvons calculer le produit vectoriel de ces deux vecteurs et obtenir un vecteur normal à notre plan. Voici notre objectif. Maintenant, considérons un autre vecteur qui doit se trouver dans notre plan. Encore une fois, puisque l'axe des 𝑥 se trouve dans notre plan, le point un, zéro, zéro aussi. Nous traçons un vecteur de l'origine à ce nouveau point, nous l'appelons 𝐫 un. Ses composantes sont un, zéro, zéro. Nous pouvons voir que 𝐫 un et 𝐫 zéro ne sont pas colinéaires. En d'autres termes, nous ne pouvons pas multiplier l'un ou l'autre de ces vecteurs par une constante et obtenir l'autre.
Ceci nous arrange car cela signifie que si nous prenons le produit vectoriel de ces deux vecteurs, soit le produit vectoriel de 𝐫 zéro et 𝐫 un, alors nous obtenons un vecteur qui est normal à notre plan d'intérêt. Le produit vectoriel de 𝐫 zéro et 𝐫 un est égale au déterminant de cette matrice trois fois trois. Nous avons ici rempli la première ligne avec nos vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et les deuxième et troisième lignes avec les composantes correspondantes de nos deux vecteurs, 𝐫 zéro et 𝐫 un. En calculant ce déterminant composante par composante, nous obtenons 𝐢 fois le déterminant de cette matrice, soit zéro, moins 𝐣 fois le déterminant de cette matrice deux fois deux, soit sept, plus 𝐤 fois le déterminant de cette matrice deux fois deux, soit huit. En simplifiant la formule, nous obtenons ce vecteur. Nous appellerons ce vecteur 𝐧 car, comme précisé précédemment, il est normal à notre plan.
Nous sommes à présent très près de pouvoir déterminer l'équation générale de notre plan. Maintenant que nous avons un point dans le plan ainsi qu'un vecteur normal à celui-ci, nous pouvons libérer un peu d'espace et rappeler l'équation vectorielle d'un plan. Celle-ci nous dit que si nous avons un vecteur normal ainsi qu'un point dans le plan, alors le produit scalaire de ce vecteur normal avec le vecteur position d'un point général du plan est égal à 𝐧 point 𝐫 zéro, le vecteur position de notre point connu. En appliquant ceci à notre cas, nous avons le produit scalaire de notre vecteur normal zéro, moins sept, huit avec un vecteur de position d'un point général dans notre plan de composantes 𝑥, 𝑦, et 𝑧 égale au produit scalaire de notre vecteur normal avec un vecteur de position de notre point connu.
Si nous calculons maintenant ces deux produits scalaires, à gauche, nous obtenons moins sept plus huit 𝑧. A droite, nous obtenons 56 moins 56, soit zéro. Nous avons maintenant l'équation générale de notre plan. Soit moins sept 𝑦 plus huit 𝑧 égale zéro. Remarquez que cette équation ne dépend pas de 𝑥 pour notre plan. Cela concorde avec le fait que le plan contient entièrement l'axe des 𝑥.
