Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver les formes vectorielle, en fonction d’un point et cartésienne de l’équation d’un plan en utilisant un vecteur normal et un point appartenant au plan.
On commence par considérer l’équation cartésienne d’une droite et on la réécrit sous forme vectorielle en deux dimensions, , car la situation sera similaire pour un plan en trois dimensions, .
On rappelle que l’équation cartésienne d’une droite en deux dimensions est
Elle peut aussi être écrite sous la forme réduite , où est la pente et est l’ordonnée à l’origine, que l’on peut déterminer en connaissant deux points sur la droite. Si est un point situé sur la droite, on peut déterminer à partir de l’équation cartésienne Donc, l’équation de la droite peut être écrite sous la forme
L’équation de la droite peut aussi être déterminée comme le produit scalaire de deux vecteurs
Si on définit maintenant les vecteurs position, alors l’équation de la droite peut être écrite sous forme vectorielle comme où est appelé un vecteur normal à la droite et est un vecteur directeur de la droite. Une propriété du produit scalaire stipule que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Cette équation vectorielle de la droite montre que le vecteur normal et le vecteur sont orthogonaux d’après cette propriété.
Un vecteur normal à une droite ou un plan est un vecteur qui est orthogonal à la droite ou au plan. En d’autres termes, le vecteur normal est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite ou du plan, et on a d’après la propriété du produit scalaire.
De même que pour l’équation d’une droite en deux dimensions, l’équation d’un plan en trois dimensions peut être écrite en fonction du vecteur normal au plan. On peut écrire l’équation d’un plan comme suit.
Définition : Équation cartésienne d’un plan
L’équation cartésienne d’un plan dans est où , et sont les composantes du vecteur normal qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
Si est un point situé sur le plan, alors et on peut écrire l’équation du plan comme
Cela peut être réarrangé pour donner l’équation du plan en fonction d’un point.
Définition : Équation d’un plan en fonction d’un point
L’équation d’un plan contenant le point est où , et sont les composantes du vecteur normal qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer l’équation du plan sous cette forme à partir du vecteur normal et d’un point appartenant au plan.
Exemple 1: Déterminer l’équation d’un plan à partir d’un point et de son vecteur normal
Donnez l’équation du plan de vecteur normal qui contient le point .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation du plan en utilisant un point sur le plan et un vecteur normal au plan.
On rappelle que l’équation d’un plan de vecteur normal qui contient le point est
Ainsi, en substituant les valeurs du vecteur normal et du point , on a
Donc, l’équation cartésienne du plan de vecteur normal qui contient le point est
Si on connaît un point appartenant au plan et deux vecteurs non colinéaires, et qui forment un couple de vecteurs directeurs du plan, alors on peut déterminer le vecteur normal au plan à partir de ces deux vecteurs. Les deux vecteurs formant un couple de vecteurs directeurs du plan, le vecteur normal doit être orthogonal à et . On rappelle que le produit vectoriel de deux vecteurs produit un vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs. On peut utiliser cette propriété du produit vectoriel pour calculer un vecteur normal au plan, ce qui donne
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’équation du plan en déterminant d’abord le vecteur normal au plan à partir de deux vecteurs qui forment un couple de vecteurs directeurs du plan.
Exemple 2: Déterminer l’équation cartésienne d’un plan passant par un point étant donnés ses vecteurs directeurs
Déterminez l’équation cartésienne du plan qui passe par le point et qui a pour vecteurs directeurs et .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation du plan qui passe par un point et qui est engendré par deux vecteurs donnés.
On rappelle que l’équation d’un plan de vecteur normal qui contient le point est
On doit déterminer un vecteur normal au plan qui est orthogonal à et , car ils forment un couple de vecteurs directeurs du plan. On peut trouver le vecteur normal en calculant le produit vectoriel de ces vecteurs :
En utilisant le vecteur normal et un point sur le plan , on a
Donc, l’équation cartésienne du plan qui passe par le point et qui a pour vecteurs directeurs et est
Si un plan contient trois points non alignés , et , alors on peut déterminer l’équation du plan. En substituant ces points dans l’équation en fonction d’un point du plan, on obtient de la même manière que l’on peut déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points. Il ne s’agit cependant pas de la méthode standard pour trouver l’équation d’un plan. On détermine plutôt un vecteur normal en remarquant que la différence des vecteurs position de deux points sur le plan est un vecteur directeur du plan ; on reviendra sur ce point lorsque l’on étudiera la forme vectorielle de l’équation du plan.
Si on désigne les vecteurs position des trois points non alignés par , et , alors on peut obtenir deux vecteurs directeurs du plan en prenant la différence de ces vecteurs position :
En fait, on peut faire cela avec n’importe quelle paire et dans n’importe quel ordre ; un autre choix pourrait par exemple être
Dans tous les cas, le vecteur normal peut être déterminé par le produit vectoriel de ces deux vecteurs :
Étudions maintenant un exemple où nous utilisons cette forme avec des informations sur trois points qui appartiennent au plan pour déterminer son équation.
Exemple 3: Déterminer l’équation cartésienne d’un plan passant par trois points non alignés
Écrivez l’équation cartésienne du plan contenant , et .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation du plan à partir de trois points appartenant au plan.
On rappelle que l’équation d’un plan de vecteur normal qui contient le point est
On commence par déterminer un vecteur normal au plan. On peut obtenir deux vecteurs directeurs du plan en soustrayant les vecteurs position des couples de points sur le plan :
On peut trouver le vecteur normal en calculant le produit vectoriel de ces vecteurs :
En utilisant le vecteur normal et l’un des points appartenant au plan, par exemple, , l’équation du plan devient
Donc, en divisant par 10, on obtient l’équation cartésienne du plan
L’équation d’un plan en fonction d’un point peut aussi être obtenue par le produit scalaire de deux vecteurs comme suit
On définit maintenant et , des points appartenant au plan, représentés respectivement par les vecteurs position et , c’est-à-dire et , et un vecteur normal du plan.
L’équation vectorielle du plan peut être écrite comme
Le vecteur est normal au plan, ce qui signifie qu’il est orthogonal à la différence des vecteurs position de deux points quelconques sur le plan. Cela est cohérent car, appartient toujours au plan par construction, et le produit scalaire de ce vecteur avec le vecteur normal est nul, ce qui signifie qu’ils sont orthogonaux.
Cette équation du plan peut être réarrangée pour obtenir la forme vectorielle de l’équation d’un plan.
Définition : Équation vectorielle d’un plan
L’équation vectorielle d’un plan dans est où est le vecteur position d’un point appartenant au plan et est un vecteur normal qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
Étudions maintenant deux exemples où nous devons déterminer l’équation vectorielle de plans à partir de vecteurs normaux et de points appartenant au plan.
Exemple 4: Déterminer l’équation vectorielle d’un plan à partir de son vecteur normal et d’un point
Déterminez l’équation vectorielle du plan de vecteur normal qui contient le point .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation vectorielle d’un plan en utilisant un point appartenant au plan et un vecteur normal.
On rappelle que l’équation vectorielle du plan peut être écrite par où est un vecteur normal au plan et est le vecteur position d’un point appartenant au plan.
L’équation du plan de vecteur normal qui contient le point de vecteur position est
Donc, l’équation vectorielle du plan est
Étudions maintenant un exemple où nous convertissons l’équation cartésienne du plan en forme vectorielle.
Exemple 5: Déterminer la forme vectorielle de l’équation d’un plan
L’équation cartésienne d’un plan est . Quelle est sa forme vectorielle ?
Réponse
Dans cet exemple, on doit déterminer l’équation vectorielle du plan à partir de son équation cartésienne.
On rappelle que l’équation cartésienne d’un plan dans est où , et sont les composantes du vecteur normal qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan. L’équation vectorielle du plan peut être écrite comme
À partir de l’équation du plan, , on peut identifier le vecteur normal comme et . L’équation vectorielle du plan peut donc être
L’équation vectorielle d’une droite dans est où est le vecteur position d’un point sur la droite et est un vecteur directeur de la droite.
Si un plan contient deux droites sécantes distinctes ayant pour équations vectorielles alors on peut déterminer les coordonnées d’un point appartenant au plan à partir de l’une de ces équations. Par simplicité, on peut substituer dans la première équation, ce qui donne le vecteur position d’un point appartenant à la première droite et donc au plan.
Afin de déterminer le vecteur normal au plan, on remarque que les vecteurs directeurs et des droites et forment un couple de vecteurs directeurs du plan. Donc, on doit déterminer un vecteur orthogonal à et afin de déterminer le vecteur normal. À condition que et ne soient pas colinéaires, on peut obtenir le vecteur normal au plan en calculant le produit vectoriel des deux vecteurs :
En les associant, l’équation du plan peut être écrite comme
Dans le dernier exemple, nous allons déterminer l’équation vectorielle d’un plan à partir des équations vectorielles de deux droites appartenant au plan.
Exemple 6: Déterminer l’équation vectorielle d’un plan contenant deux droites en fonction de leurs équations vectorielles
Déterminez l’équation vectorielle du plan contenant les deux droites et .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation du plan qui contient deux droites dont les équations sont données sous forme vectorielle.
L’équation vectorielle d’un plan peut être écrite comme où est un vecteur normal au plan et est le vecteur position d’un point appartenant au plan.
Par simplicité, on commence par écrire les équations vectorielles des droites comme
À partir des équations paramétriques des droites, on remarque que est un vecteur directeur de la première droite et que est un vecteur directeur de la seconde, ce qui signifie qu’ils forment un couple de vecteurs directeurs du plan. Afin de déterminer un vecteur normal au plan, on doit donc trouver un vecteur orthogonal à et . On peut le faire en calculant le produit vectoriel :
On peut déterminer le vecteur position d’un point appartenant au plan à partir de l’une des équations des droites, car les deux droites appartiennent au plan. Par simplicité, on peut substituer dans la première équation pour déterminer le vecteur position du point comme suit
En substituant le vecteur normal et le vecteur position d’un point sur le plan , on a
Donc, l’équation vectorielle du plan contenant les deux droites et est
Points clés
- L’équation cartésienne d’un plan dans est
- Si est un point appartenant au plan, alors et on peut écrire l’équation du plan sous la forme où , et sont les composantes du vecteur normal qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
- Si on connaît un point sur le plan et deux vecteurs non nuls et non colinéaires et qui forment un couple de vecteurs directeurs du plan, on peut déterminer le vecteur normal au plan avec le produit vectoriel :
- L’équation vectorielle d’un plan peut être écrite comme où et est le vecteur position d’un point appartenant au plan.
