Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir les différentes formes que peut prendre l’équation d’un plan : vectorielle et cartésienne. Il existe plusieurs façons de représenter un plan qui est une surface en deux dimensions. Dans cette leçon, nous allons apprendre ces différentes formes et nous verrons comment elles sont reliées les unes aux autres.
Commençons par considérer ce plan. Même si nous avons tracé quatre côtés sur le schéma, ce plan se prolonge à l’infini dans ces directions. Pour définir un plan, nous devons tout d’abord avoir un repère. Avec ce repère, notre objectif est d’écrire son équation à partir de deux informations à son sujet. La première est un vecteur, que nous allons appeler 𝐧, qui est normal ou orthogonal au plan. Et la deuxième est un point appartenant au plan. Appelons-le 𝑃 zéro. Avec ces deux ingrédients, si on peut dire, on peut utiliser des vecteurs pour établir une équation vectorielle de ce plan.
Puisque 𝑃 zéro est un point connu, on connaît les trois coordonnées de ce point. Appelons-les 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro. Cela signifie que si on représente un vecteur allant de l’origine de notre repère à 𝑃 zéro, alors ce vecteur, que l’on peut appeler 𝐫 zéro, aura les composantes 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro. Nous avons donc pour le moment ces deux vecteurs, le vecteur normal et 𝐫 zéro. Mais il n’y a pas de relation géométrique particulière entre eux. On ne peut par exemple pas dire, en général, qu’ils sont colinéaires ou orthogonaux.
Choisissons donc maintenant un autre point quelconque appartenant au plan. Et nous appelons ce point 𝑃. Puisque 𝑃 est un point quelconque, de coordonnées inconnues, nous lui donnons les coordonnées générales 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons alors également tracer un vecteur allant de l’origine à ce point. Ce vecteur que nous appelons 𝐫 a les composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧. Remarquez donc maintenant ce que nous pouvons faire avec les deux vecteurs 𝐫 et 𝐫 zéro. Si on les soustrait, en particulier si on soustrait 𝐫 zéro à 𝐫, on obtient un vecteur qui ressemble à ceci. Et la caractéristique intéressante de ce vecteur 𝐫 moins 𝐫 zéro est qu’il appartient au plan. Il relie en effet un point du plan à un autre point du plan en ligne droite.
En rappelant que le vecteur normal 𝐧 est orthogonal au plan, 𝐧 doit donc aussi être orthogonal à 𝐫 moins 𝐫 zéro. Cela signifie que nous pouvons écrire ceci. Le produit scalaire du vecteur 𝐧 et du vecteur 𝐫 moins 𝐫 zéro est égal à zéro. Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est en effet nul : leurs directions sont perpendiculaires
En écrivant cette équation, nous avons en fait défini ce plan. Et remarquez qu’une autre façon d’écrire cette équation est 𝐧 scalaire 𝐫 égale 𝐧 scalaire 𝐫 zéro. Nous avons ainsi établi ce que l’on appelle souvent l’équation vectorielle du plan. Et nous avons donc atteint notre objectif. A partir seulement d’un vecteur normal 𝐧 et d’un point 𝑃 zéro appartenant au plan, nous avons pu définir le vecteur position 𝐫 zéro du point connu 𝑃 zéro et le vecteur position 𝐫 d’un point quelconque 𝑃 appartenant au plan, puis combiner ces vecteurs pour obtenir une équation de ce plan.
Mission accomplie ! Mais rappelons qu’en plus de l’équation vectorielle de notre plan, nous souhaitons également déterminer ses équations cartésiennes. C’est ce que nous allons faire. Pour cela, on se rappelle que nous connaissons les composantes des trois vecteurs de cette équation. Le vecteur normal 𝐧 a les composantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, le vecteur 𝐫 a les composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧 et 𝐫 zéro a les composantes 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. Si on calcule à présent ces produits scalaires en multipliant les composantes correspondantes de chaque vecteur puis en additionnant les produits, on trouve 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 égale 𝑎 𝑥 zéro plus 𝑏 𝑦 zéro plus 𝑐 𝑧 zéro.
Si on soustrait ensuite tout le membre de droite de cette expression aux deux membres de l’équation et que l’on regroupe les termes semblables en 𝑎, 𝑏 et 𝑐, on obtient 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑥 zéro plus 𝑏 fois 𝑦 moins 𝑦 zéro plus 𝑐 fois 𝑧 moins 𝑧 zéro égale zéro. Ainsi écrite, nous avons une première forme de l’équation cartésienne d’un plan. Pour obtenir cette équation, nous avons substitué les composantes des vecteurs dans l’équation vectorielle puis nous avons calculé les produits scalaires. Cette forme algébrique d’équation du plan est appelée équation cartésienne.
Mais on trouve souvent la forme cartésienne sous une autre forme. Pour la déterminer, nous pouvons revenir à cette étape ici, après avoir calculé le produit scalaire de chaque membre de l’équation. Désignons à présent tout le membre de droite de l’égalité par 𝑑. En faisant cela, puis en soustrayant 𝑑 aux deux membres, on peut écrire 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 moins 𝑑 égale zéro. Ceci est la deuxième forme cartésienne de l’équation d’un plan.
Nous connaissons donc maintenant les formes vectorielle et cartésienne de l’équation d’un plan. Et notez que les formes cartésiennes proviennent toutes les deux de la forme vectorielle. Cela signifie que si vous vous souvenez de cette relation mathématique et de ce qu’elle signifie, alors vous pourrez facilement générer les trois équations. Rappelez-vous pour cela que la propriété dont découle l’équation vectorielle est que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.
Appliquons à présent toutes ces notions avec un exemple.
Déterminez l’équation vectorielle du plan de vecteur normal 𝐧 égale 𝐢 plus 𝐣 plus 𝐤 contenant le point deux, six, six.
D’accord, donc dans cet exemple, nous avons un plan. Représenté ici. Et il est indiqué que dans un repère, ce plan a un vecteur normal ou orthogonal. Si on exprime ce vecteur en fonction de ses composantes, on voit que celles-ci sont un, un et un dans les directions respectives des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. On sait de plus que le plan contient un point, que l’on appelle 𝑃 zéro, de coordonnées deux, six, six. Sachant tout cela, nous souhaitons déterminer l’équation vectorielle du plan.
Pour écrire l’équation du plan sous cette forme, nous devons définir un vecteur appartenant au plan de telle sorte que le produit scalaire de ce vecteur et du vecteur normal 𝐧 sera nul. Voici comment nous pouvons procéder. On définit tout d’abord un vecteur allant de l’origine au point 𝑃 zéro. Et on appelle ce vecteur 𝐫 zéro. Comme il part de l’origine, il a pour composantes deux, six, six. On passe ensuite à l’étape suivante. On choisit un point quelconque appartenant au plan, que l’on désigne par 𝑃, et on suppose que ce point a pour coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧.
On ne précise pas les valeurs de ces coordonnées, mais ce point va cependant nous aider car on peut maintenant tracer un vecteur allant de l’origine à ce point 𝑃, qu’on appelle le vecteur 𝐫, qui a donc pour composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧. Si on soustrait ensuite le vecteur 𝐫 zéro à 𝐫, qui est la raison pour laquelle on a défini 𝐫, on obtient ce vecteur représenté ici, qui appartient au plan ; ce qui signifie que ce vecteur est orthogonal au vecteur normal 𝐧. On en déduit alors que le produit scalaire de 𝐧 et de 𝐫 moins 𝐫 zéro sera égal à zéro.
Une autre façon d’écrire ceci est 𝐧 scalaire 𝐫 égale 𝐧 scalaire 𝐫 zéro. Et nous pouvons maintenant remplacer les composantes connues du vecteur normal 𝐧 et du vecteur 𝐫 zéro. On obtient alors que le vecteur un, un, un scalaire 𝐫 est égal à un, un, un scalaire deux, six, six. On sait que le vecteur 𝐫 a pour composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧. Mais comme on ne les connaît pas plus précisément, on laisse le membre de gauche tel quel. Sur le membre de droite, on peut cependant calculer le produit scalaire en multipliant les composantes correspondantes et en additionnant les produits, ce qui nous donne deux plus six plus six.
Et comme leur somme est égale à 14, on peut donner une forme simplifiée de notre équation. Il s’agit de l’équation vectorielle de ce plan.
Voyons maintenant un autre exemple, où nous allons exprimer l’équation d’un plan sous une autre forme.
Déterminez l’équation du plan de vecteur normal 10, huit, trois contenant le point 10, cinq, cinq.
OK, disons que ceci est notre plan. Et il est indiqué qu’il a un vecteur normal, c’est-à-dire un vecteur orthogonal au plan, de composantes 10, huit et trois. On sait de plus que le plan contient ce point, que l’on appelle 𝑃 zéro, de coordonnées 10, cinq, cinq. Nous souhaitons déterminer l’équation de ce plan. Et nous allons chercher ici une équation cartésienne de ce plan.
Pour un vecteur normal au plan de composantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, une équation cartésienne du plan est donnée ici, où 𝑑 est égal au produit scalaire du vecteur normal et d’un vecteur appelé 𝐫 zéro. Dans le cas de notre plan, nous n’avons pas de vecteur 𝐫 zéro mais nous avons un point 𝑃 zéro. Si on trace alors un vecteur allant de l’origine du repère à 𝑃 zéro, appelons-le 𝐫 zéro, alors ses composantes sont égales aux coordonnées de 𝑃 zéro.
En revenant à l’équation cartésienne, on voit que pour écrire l’équation d’un plan, nous devons connaître les composantes d’un vecteur normal ainsi que les composantes de ce vecteur 𝐫 zéro. Nous avons maintenant ces deux informations pour notre plan, 𝐧 ayant les composantes 10, huit, trois et 𝐫 zéro ayant les composantes 10, cinq, cinq. En remplaçant les composantes connues, on peut donc écrire l’équation suivante. 10𝑥 plus huit 𝑦 plus trois 𝑧, où 10, huit et trois sont les composantes de 𝐧, moins ce vecteur normal 𝐧 scalaire le vecteur position du point 𝑃 zéro, c’est-à-dire 𝐫 zéro, égale zéro.
Pour simplifier, calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs. On multiplie pour cela 10 par 10, huit par cinq et trois par cinq donc ce produit scalaire est égal à 100 plus 40 plus 15. Ce qui fait 155. Il s’agit donc de l’équation générale de notre plan.
Voyons maintenant un autre exemple où nous devons déterminer l’équation cartésienne d’un plan.
Déterminez l’équation cartésienne du plan contenant les points un, zéro, trois ; un, deux, moins un et six, un, six.
Supposons donc que ceci est notre plan dans un repère en trois dimensions. Il est indiqué que ce plan contient ces trois points, que nous appelons 𝑃 un, 𝑃 deux et 𝑃 trois. Nous connaissons les coordonnées de ces trois points. Et souhaitons déterminer l’équation cartésienne du plan sur la base de ces informations.
Nous avons pour cela besoin de deux éléments : un vecteur normal, que nous pouvons appeler 𝐧, orthogonal ou normal au plan, ainsi qu’un point situé dans le plan. Et nous en avons déjà trois. Puisque nous avons déjà cette deuxième information, essayons de trouver un vecteur normal au plan.
Pour commencer, notez que l’on peut tracer des vecteurs allant de l’origine du repère à ces trois points. Et comme ces points sont 𝑃 un, 𝑃 deux et 𝑃 trois, on peut respectivement appeler ces vecteurs 𝐫 un, 𝐫 deux et 𝐫 trois. On soustrait à présent le vecteur 𝐫 deux au vecteur 𝐫 un. Graphiquement, cela crée un vecteur qui appartient au plan et qui ressemble à ceci. Et puisque le vecteur 𝐫 un a des composantes égales aux coordonnées du point 𝑃 un et que le vecteur 𝐫 deux a des composantes égales aux coordonnées du point 𝑃 deux, on peut calculer les composantes de ce vecteur résultant.
Il est égal à zéro, moins deux, quatre. Il s’agit donc d’un premier vecteur appartenant au plan. On peut en identifier un second en considérant cette fois les vecteurs 𝐫 deux et 𝐫 trois. Si on soustrait 𝐫 trois à 𝐫 deux, on obtient un vecteur du plan qui ressemble à ceci. Et on peut à nouveau utiliser les coordonnées des points traduites en composantes de vecteurs pour calculer ce vecteur. Un moins six égale moins cinq. Deux moins un égale un. Et moins un moins six égale moins sept. Nous avons donc maintenant les composantes d’un second vecteur appartenant au plan.
On peut alors rappeler que le produit vectoriel de ces vecteurs donnera un vecteur orthogonal à ces deux vecteurs. Et puisque ces deux vecteurs appartiennent au plan, ce nouveau vecteur sera normal au plan. En d’autre termes, cela nous permettra d’obtenir un vecteur normal 𝐧. C’est une bonne nouvelle car si nous obtenons un vecteur normal, nous disposerons de toutes les informations dont nous avons besoin pour écrire l’équation cartésienne du plan.
On rappelle alors que le produit vectoriel de deux vecteurs en trois dimensions, par exemple 𝐀 et 𝐁, est égal au déterminant de cette matrice trois, trois. Notez que la première ligne de cette matrice est composée des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et que les deux lignes suivantes sont les composantes correspondantes des deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un vecteur. Et comme nous l’avons mentionné, le résultat est orthogonal aux deux vecteurs utilisés pour le calculer.
Dans ce cas, les vecteurs sont 𝐫 un moins 𝐫 deux et 𝐫 deux moins 𝐫 trois. Et leur produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice, où nous devons remplir les deuxième et troisième lignes. On rappelle que ces lignes correspondent aux composantes des deux vecteurs dont on calcule le produit vectoriel. Pour le premier vecteur, 𝐫 un moins 𝐫 deux, on voit que sa composante en 𝑥 est zéro, que sa composante en y est moins deux et que sa composante en 𝑧 est quatre.
Et pour le deuxième vecteur, 𝐫 deux moins 𝐫 trois, il a une composante en 𝑥 de moins cinq, une composante en 𝑦 de un et une composante en 𝑧 de moins sept. Nous sommes maintenant prêts à calculer ce produit vectoriel. Et on commence par sa composante en 𝐢. En barrant la ligne et la colonne contenant ce coefficient, on sait que sa composante en 𝐢 est égale au déterminant de cette matrice deux, deux. Moins deux fois moins sept égale plus 14. On soustrait à cela quatre fois un, soit quatre. En passant à la composante en 𝐣, elle est égale à moins le déterminant de cette matrice deux, deux ; on a zéro fois moins sept égal zéro. Auquel on soustrait quatre fois moins cinq.
Quant à la composante en 𝐤, elle est égale au déterminant de cette matrice, c’est-à-dire zéro fois un, soit zéro, moins moins deux fois moins cinq. Ce qui fait plus 10. Et la somme de tout cela est égale au produit vectoriel de 𝐫 deux moins 𝐫 un et de 𝐫 deux moins 𝐫 trois. Cela fait 10𝐢 moins 20𝐣 moins 10𝐤 ou, sous forme de composantes, 10, moins 20, moins 10. Nous avons donc enfin 𝐧, un vecteur qui est normal à notre plan. Comme nous l’avons indiqué, il est normal au plan car les deux vecteurs dont on a calculé le produit vectoriel appartiennent au plan. Et d’après la définition du produit vectoriel, le résultat doit être orthogonal aux deux.
Maintenant que nous connaissons 𝐧, faisons un peu de place et commençons à écrire l’équation cartésienne du plan. Comme nous l’avons mentionné précédemment, nous avons besoin pour cela d’un vecteur normal, que nous avons maintenant, ainsi que d’un point appartenant au plan. Et nous en avons trois. On choisit le point 𝑃 un. On rappelle que l’équation vectorielle d’un plan est la suivante. Elle nous dit que le produit scalaire d’un vecteur normal au plan et de tout vecteur position d’un point du plan est égal au produit scalaire du vecteur normal et du vecteur position d’un point connu du plan.
Pour appliquer cette relation, nous allons utiliser le vecteur normal 𝐧 et un vecteur 𝐫 de composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Pour le vecteur position d’un point connu du plan, nous allons utiliser le vecteur 𝐫 un. En substituant les composantes de 𝐧 et de 𝐫 un, on obtient cette équation. Et on peut maintenant calculer ces deux produits scalaires. En multipliant les composantes correspondantes de ces vecteurs, on obtient à gauche 10𝑥 moins 20𝑦 moins 10𝑧 et à droite, 10 fois un moins 20 fois zéro moins 10 fois trois. Ce qui fait moins 20.
Nous y sommes presque ! Pour obtenir l’équation générale du plan, le membre de droit doit cependant être égal à zéro. Si on ajoute alors 20 aux deux membres de l’équation, on trouve 10𝑥 moins 20𝑦 moins 10𝑧 plus 20 égale zéro. Et remarquez qu’en divisant les deux membres de cette équation par 10, on obtient ceci. 𝑥 moins deux 𝑦 moins 𝑧 plus deux égale zéro. Et il s’agit bien d’une équation cartésienne de notre plan.
Terminons maintenant cette leçon par récapituler certains points clés. Dans cette leçon, nous avons vu qu’un plan peut être défini seulement à partir d’un vecteur normal et d’un point sur ce plan. Pour un vecteur normal de composantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et un point 𝑃 zéro appartenant au plan de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro, on peut définir un vecteur 𝐫 zéro allant de l’origine du repère à 𝑃 zéro. Et en choisissant un autre point quelconque P appartenant au plan, on peut définir un autre vecteur 𝐫 allant de l’origine du repère à ce point. Le vecteur 𝐫 moins 𝐫 zéro appartient au plan et est donc orthogonal au vecteur normal 𝐧 donc l’équation du plan peut être écrite sous forme vectorielle comme ceci et sous forme cartésienne comme ceci ou comme cela. Ce sont trois façons équivalentes d’écrire l’équation d’un plan.
