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Simplifiez tangente de 180 degrés moins 𝜃.
La fonction tangente a de nombreuses identités utiles que nous pouvons utiliser pour simplifier des expressions. Cependant, nous n’avons pas besoin de mémoriser toutes ces identités. Voyons donc comment résoudre ce problème en utilisant le cercle trigonométrique.
Rappelons que si nous considérons un point sur le cercle trigonométrique, il forme un angle de 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positifs, alors sa coordonnée 𝑥 sera cosinus de 𝜃 et sa coordonnée 𝑦 sera sinus de 𝜃. Ainsi, nous pouvons écrire les coordonnées du point comme cosinus 𝜃, sinus 𝜃.
Que se passe-t-il si nous considérons l’angle 180 degrés moins 𝜃 ? Bien, nous savons que si nous tournons de 180 degrés autour du cercle trigonométrique, nous finirons par pointer dans le sens négatif des 𝑥. Cela signifie que si nous considérons 180 degrés moins 𝜃, nous aurons un angle qui est de 𝜃 degrés dans le sens horaire par rapport à l’axe des 𝑥 négatifs. En fait, nous pouvons voir que cela est équivalent à réaliser la symétrie du premier point par rapport à l’axe des 𝑦. Maintenant, puisque ce point se trouve également sur le cercle trigonométrique, il aura des coordonnées cosinus de 180 moins 𝜃 et sinus de 180 moins 𝜃. Cependant, nous pouvons également réécrire ces coordonnées en les comparant au premier ensemble de coordonnées et en utilisant la symétrie du cercle trigonométrique.
En particulier, nous pouvons voir que la coordonnée 𝑥 est égale à moins cosinus 𝜃 car elle a la même longueur que cosinus 𝜃 mais dans le sens opposé. En ce qui concerne la coordonnée 𝑦, nous pouvons voir que nous avons encore sinus 𝜃 parce que sa distance sur l’axe des 𝑦 est resté la même. Par conséquent, les coordonnées sont égales à moins cosinus 𝜃, sinus 𝜃.
En utilisant ces informations, nous pouvons écrire les identités trigonométriques d’angle supplémentaire. Premièrement, en considérant la coordonnée 𝑥 du point à gauche, nous pouvons voir que cosinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃. De même, en considérant la coordonnée 𝑦 de ce point, nous avons sinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à sinus 𝜃.
Maintenant, comment pouvons-nous relier ces identités à la fonction tangente ? Rappelons que tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Par conséquent, si nous considérons tangente de 180 degrés moins 𝜃, nous obtenons le sinus de cet angle sur le cosinus de ce même angle. Ensuite, en utilisant les identités ci-dessus, nous obtenons sinus 𝜃 sur moins cosinus 𝜃. Enfin, nous pouvons simplifier cela et obtenir notre réponse finale, moins tangente de 𝜃.
