Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à écrire des fonctions trigonométriques, comme le sinus, le cosinus et la tangente, et leurs inverses en termes de fonctions complémentaires, et nous utiliserons leurs propriétés pour comparer deux fonctions trigonométriques.
On rappelle que si l’angle est en position habituelle sur un repère avec le cercle unité centré à l’origine, alors on peut utiliser les coordonnées de l’intersection entre la demi-droite supérieure de l’angle et le cercle unité pour définir et .
Cela nous permet de définir le sinus et le cosinus d’un angle quelconque, et on peut ensuite utiliser ces valeurs pour évaluer la tangente de tout angle ou de toute fonction trigonométrique inverse. Cette interprétation géométrique des fonctions trigonométriques nous permet de découvrir les identités des fonctions trigonométriques.
Par exemple, une rotation complète de (ou ) dans le sens antihoraire de l’angle ne change pas la position des deux demi-droites qui le délimitent. Cela sera vrai quelque soit le nombre de rotations complètes dans le sens horaire ou antihoraire ; par conséquent, et pour tout entier . Cette propriété est appelée périodicité des fonctions sinus et cosinus et peut être étendue aux autres fonctions trigonométriques comme suit.
Définition: Périodicité des fonctions trigonométriques
Pour tout entier et tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout entier et tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
On peut déterminer d’autres identités trigonométriques en utilisant des transformations géométriques sur le cercle unité. Par exemple, si l’on prend la réflexion de l’angle par rapport à l’axe , on obtient :
Puisqu’il s’agit d’une réflexion par rapport à l’axe vertical, les deux triangles sont superposables ; par conséquent, le côté vertical du triangle est et le côté horizontal est . On peut utiliser ceci pour déterminer que les coordonnées de l’intersection entre l’hypoténuse et le cercle unité sont . On peut remarquer que l’hypoténuse se situe sur la demi-droite supérieure de l’angle en position standard.
Puis, en utilisant la définition du sinus et du cosinus d’un angle en position standard, on peut montrer que les coordonnées de l’intersection de sa demi-droite supérieure avec le cercle unité sont . Cela nous donne Identifier les coordonnées donne Ceci est vrai pour tout angle mesuré en degrés, et on peut trouver des identités similaires pour les angles mesurés en radians en utilisant la même technique.
Lorsque la somme ou la différence de deux angles est un multiple entier de l’angle droit, on dit que les angles sont associés. Un exemple particulier des angles associés est celui où la somme de deux angles vaut ou ; on dit que ces angles sont supplémentaires. On peut résumer les identités des angles supplémentaires comme suit.
Définition: Identités trigonométriques des angles supplémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
Par exemple,
On peut suivre ce même processus pour déterminer les identités trigonométriques d’autres angles associés. Par exemple, considérons les angles associés et comme indiqué sur le cercle unitaire en position standard.
On peut voir cela comme une rotation de dans le sens antihoraire autour de l’origine ou comme une réflexion par rapport aux axes vertical et horizontal. En utilisant les transformations et l’isométrie des triangles, on voit que
On peut étendre ceci à la fonction tangente et résumer ces résultats comme suit.
Définition: Identités trigonométriques des angles associés
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de l’une de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
Un autre exemple des angles associés est et ; on peut tracer ces deux angles en position standard comme suit.
Ces angles sont associés par une réflexion par rapport à l’axe des ; cela nous donne les identités On peut étendre ces identités à la fonction tangente et les résumer comme suit.
Définition: Identités trigonométriques des angles associés
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
Il y a un type spécial d’angles associés appelés angles complémentaires, qui sont des angles dont la somme donne un angle droit. Celles-ci sont utiles en trigonométrie, car si est un angle dans un triangle rectangle, alors l’autre angle est l’angle complémentaire . On peut utiliser ceci pour trouver un ensemble d’identités appelées les identités des angles complémentaires. D’abord, traçons en position standard, comme suit :
On peut inclure l’angle complémentaire dans notre figure comme indiqué. Puisque , on peut construire le triangle suivant :
Ceci est l’angle en position standard, de sorte que les coordonnées du point d’intersection nous donnent les valeurs du sinus et du cosinus de cet angle. Comme ces triangles sont superposables, on peut assimiler les côtés correspondants (où il faut faire attention aux signes) pour obtenir
Ce sont les identités des angles complémentaires, et elles sont vraies pour tout angle mesuré en degrés. On peut étendre cela aux angles mesurés en radians et la fonction tangente comme suit.
Définition: Identités trigonométriques des angles complémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
Ce ne sont pas les seules identités que l’on peut trouver à partir d’isométries de ce triangle ; on peut aussi tracer les triangles superposables suivants sur les mêmes axes.
Tous ces triangles induisent de nouvelles identités. Les identités des angles complémentaires sont un autre exemple des identités des angles associés. On rappelle que les identités d’angles associés sont valables lorsque la somme ou la différence des angles est un multiple entier d’un angle droit ; les autres angles associés, similaires aux angles complémentaires, sont de la forme et . Considérons un angle aigu en position standard, où l’on construit le triangle rectangle correspondant pour déterminer les valeurs de et .
En faisant une rotation du triangle de dans le sens antihoraire autour de l’origine et en considérant les triangles superposables, on obtient ce qui suit :
Ceci est l’angle en position standard, donc les coordonnées du point d’intersection nous donnent les valeurs du sinus et du cosinus de cet angle. Comme ces triangles sont superposables, on peut assimiler les côtés correspondants (où il faut faire attention aux signes) pour obtenir Pour montrer cela, on a seulement utilisé les conditions de rotation et d’isométrie ; la propriété reste vraie pour tout angle en position standard. On peut aussi faire de même pour les rotations de ou dans le sens antihoraire pour obtenir ce qui suit :
En utilisant le même argument que ci-dessus, on peut construire davantage d’identités des angles associés. En fait, on peut également utiliser des rotations dans le sens horaire. Résumons les identités des angles associés suivantes.
Définition: Identités trigonométriques des angles associés
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
Pour tout angle mesuré en radians,
- ;
- ;
- .
En prenant l’inverse des deux côtés de ces identités, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
On peut trouver bien plus d’identités encore en considérant d’autres triangles superposables obtenus à partir de transformations isométriques.
Dans notre premier exemple, nous utiliserons ces identités pour simplifier une expression trigonométrique.
Exemple 1: Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les identités périodiques
Simplifier .
Réponse
Il y a plusieurs façons de simplifier cette expression ; par exemple, on pourrait se rappeler l’identité des angles supplémentaires suivante, qui nous indique que pour tout angle mesuré en degrés, Substituant ceci dans l’expression nous donne alors
Cependant, comme nous l’avons vu, il existe de nombreuses identités trigonométriques sous des formes similaires, et les apprendre par cœur est une tâche difficile. Il est plus important de comprendre l’origine de ces identités, c’est-à-dire les symétries du cercle unité. Si l’on trace un angle aigu en position standard, alors l’angle est l’angle supplémentaire de ; ensemble, ils forment une ligne droite sur l’axe des comme indiqué.
Les coordonnées de l’intersection entre le cercle unité et la demi-droite supérieure de donne le cosinus et le sinus de l’angle . Si on prend la réflection par rapport à l’axe vertical, on a alors l’angle en position standard.
Comme il s’agit d’une réflexion, les triangles rectangles des deux figures sont superposables. En particulier, le côté horizontal du triangle est de longueur , et, identifiant cela à la coordonnée du point d’intersection (et en faisant attention aux signes), on a Ceci est vrai pour tout angle mesuré en degrés ; substituons ensuite cela dans l’expression originale pour obtenir
Ainsi, pour tout angle mesuré en degrés, .
Dans notre deuxième exemple, nous trouvons une expression équivalente à une expression trigonométrique donnée en utilisant le cercle unité.
Exemple 2: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour le sinus et le cosinus
Laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
Il y a plusieurs façons différentes d’aborder ce problème ; l’une de ces méthodes consiste à rappeler les identités des angles complémentaires. On sait que alors
Ensuite, on rappelle l’identité suivante pour les angles supplémentaires : Si on substitue , on voit que
Cependant, il est difficile de mémoriser toutes les identités pour les fonctions trigonométriques, mais il est beaucoup plus facile de comprendre l’origine des identités. Nous répondrons plutôt à cette question avec une figure pour les arguments des quatre options en position standard et en considérant leur relation avec . Pour simplifier, on supposera que est aigu. La figure pour les deux arguments en position standard est la suivante :
On peut déterminer les coordonnées du point d’intersection avec le cercle unité en traçant en position standard et en utilisant l’isométrie.
On voit qu’ajouter à l’argument revient à faire une rotation du triangle de dans le sens antihoraire autour de l’origine et ajouter à l’argument revient à faire une rotation du triangle de dans le sens antihoraire autour de l’origine. En utilisant le fait que ces triangles sont superposables, on peut utiliser les longueurs des côtés du triangle données par en position standard pour trouver une expression pour les coordonnées et de chaque point d’intersection ; on obtient les 4 identités suivantes : On voit que la coordonnée du point d’intersection entre le cercle unité et la demi-droite supérieure de en position standard est .
Ainsi, pour tout angle mesuré en radians, qui est l’option B.
Dans notre prochain exemple, nous appliquerons une identité des angles complémentaires pour trouver une expression équivalente pour le cosinus d’un angle en fonction de la fonction sinus.
Exemple 3: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour le sinus et le cosinus
En utilisant le fait que , laquelle des expressions suivantes est équivalente à ?
Réponse
Remplaçant dans l’identité nous donne qui est l’option C.
On peut voir pourquoi cela est vrai en traçant l’angle de en position standard et en considérant l’intersection entre la demi-droite supérieure de cet angle avec le cercle unité centré en l’origine.
Les coordonnées des points d’intersection sont . On voit que est la coordonnée de ce point, donc le côté horizontal du triangle. On peut trouver que la valeur de l’angle complémentaire dans ce triangle vaut . Par conséquent, si l’angle de était tracé en position standard, le triangle correspondant serait superposable au triangle tracé pour en position standard, comme indiqué ci-dessous.
En particulier, le côté vertical de ce triangle nous montre que , qui est l’option C.
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons les identités des angles complémentaires pour simplifier une expression faisant intervenir la tangente d’un angle tourné de dans le sens antihoraire.
Exemple 4: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour la tangente et la cotangente
Simplifier .
Réponse
On peut simplifier cela en appliquant deux identités distinctes. Premièrement, on rappelle que la fonction tangente est le quotient des fonctions sinus et cosinus, ce qui donne
Ensuite, on rappelle les deux identités trigonométriques associées suivantes : En substituant les identités corrélées dans l’expression de la fonction tangente, on obtient Enfin, on rappelle que la fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente ce qui donne
Cependant, la méthode ci-dessus nécessite de connaître par cœur les identités des angles associés. On peut également montrer ce résultat en considérant des rotations et des triangles superposables sur le cercle unité. Rappelons que si l’on trace en position standard ; alors, les coordonnées du point d’intersection de la demi-droite supérieure avec le cercle unité sont .
En faisant tourner ce triangle de dans le sens antihoraire autour de l’origine, on obtient le triangle superposable suivant :
Ceci correspond alors à l’angle en position standard, de sorte que le point d’intersection est donné par . En utilisant l’isométrie de ces triangles, et en prenant soin de noter que la coordonnée change de signe, on trouve deux expressions équivalentes en identifiant les coordonnées du point d’intersection avec les longueurs du triangle : Une fois de plus on obtient
Il est important de rappeler que ces arguments sont valables pour tout angle mesuré en degrés en position standard. Par conséquent, .
Dans notre prochain exemple, nous appliquerons une identité trigonométrique pour trouver une expression équivalente à la cotangente d’un angle en fonction de la fonction tangente.
Exemple 5: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour la tangente et la cotangente
Laquelle des expressions suivantes est équivalente à ?
Réponse
On rappelle que l’identité des angles complémentaires pour la fonction tangente nous indique que, pour tout angle mesuré en degrés, En remplaçant dans cette identité, on voit que En multipliant par 3, on a qui est l’option E.
Dans notre prochain exemple, nous utilisons les identités des angles complémentaires pour simplifier une équation.
Exemple 6: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour la sécante et la cosécante
Soit l’équation . Laquelle des affirmations suivantes doit être vraie ?
Réponse
Notons que les réponses à cette question utilisent toutes « cosec », qui est la forme abrégée de la fonction cosécante plus typiquement notée csc.
On commence par réécrire l’équation pour isoler : On souhaite maintenant simplifier cela en utilisant l’identité des angles complémentaires suivante : Pour ce faire, on prend l’inverse des deux côtés de l’identité et on la réécrit en fonction des fonctions trigonométriques inverses : Remplaçant dans cette identité et en simplifiant, on obtient En multipliant par 2, on obtient qui est l’option A.
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons les identités trigonométriques inverses et les identités des angles complémentaires pour simplifier une expression trigonométrique.
Exemple 7: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant des identités trigonométriques réciproques et des identités des angles complémentaires
Laquelle des expressions suivantes est équivalente à ?
Réponse
Pour répondre à cette question, commençons par simplifier l’expression en utilisant l’identité trigonométrique inverse comme suit : On peut alors réécrire cette expression en fonction de la fonction cosinus en utilisant l’identité des angles complémentaires suivante : Pour que le membre de droite de cette identité inclue notre expression, on substitue d’abord dans cette identité des angles complémentaires et simplifier pour obtenir Ensuite, on multiplie par 7 : qui est l’option D.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- On peut montrer les propriétés des fonctions trigonométriques en considérant l’isométrie de triangles formés par des angles en position standard sur le cercle unité. En particulier, nous avons les identités trigonométriques d’angles associés.
Pour tout angle mesuré en degrés,- ,
- ,
- .
- ,
- ,
- .
- et ,
- et ,
- et .
- et ,
- et ,
- et .
- Toutes ces identités, et d’autres encore, peuvent être montrées directement à partir des symétries du cercle unité. Pour les identités ci-dessus, on peut les voir en considérant les triangles superposables dans la figure suivante. Dans le diagramme du haut, nous avons les identités d'angle liées, et dans le deuxième diagramme, nous avons les identités d'angle corrélées.
