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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire les fonctions trigonométriques, telles que les fonctions sinus, cosinus, tangente et leurs inverses à l'aide de fonctions trigonométriques impliquant des angles complémentaires, et à utiliser leurs propriétés pour comparer deux fonctions trigonométriques. Nous rappelons que si l’angle 𝜃 est en position standard dans un repère avec un cercle trigonométrique centré à l’origine, alors on peut utiliser les coordonnées du point d’intersection entre le côté final de l’angle et le cercle trigonométrique pour définir sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. En regardant cela plus en détail, nous pourrons définir le sinus et le cosinus de n’importe quel angle.
Puisque tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, on peut utiliser ces valeurs pour évaluer la tangente de tout angle ou de toute fonction trigonométrique inverse. Cette interprétation géométrique nous permet de découvrir des formules des fonctions trigonométriques.
Commençons par considérer la périodicité de ces fonctions. Un tour complet de 360 degrés ou de deux 𝜋 radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre de l’angle 𝜃 ne changera pas la position de son côté initial ou final. Cela sera vrai pour n’importe quel nombre de tours complets. Par conséquent, le sinus de 𝜃 est égal au sinus de 𝜃 plus 360 multiplié par 𝑛. Et le cosinus de 𝜃 est égal au cosinus de 𝜃 plus 360 multiplié par 𝑛. Puisque cela est aussi vrai pour toute rotation dans le sens des aiguilles d’une montre, ces égalités sont vraies pour tout entier 𝑛.
Lorsqu’on travaille avec les radians, on remplace 360 par deux 𝜋. Puisque la fonction tangente a une périodicité de 180 degrés ou 𝜋 radians, tangente de 𝜃 est égal à la tangente de 𝜃 plus 180 multiplié par 𝑛. Cela est encore une fois vrai pour tout entier 𝑛, et on peut remplacer 180 par 𝜋 lorsqu’on travaille avec les radians.
On peut également prendre l’inverse des deux membres de n’importe quelle formule pour trouver des formules similaires pour les fonctions trigonométriques inverses. Ce sont respectivement la cosécante, la sécante et la cotangente. On peut déterminer d’autres formules trigonométriques en utilisant des transformations géométriques sur le cercle trigonométrique. Par exemple, nous pouvons obtenir l’image de l’angle 𝜃 par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Puisqu’il s’agit d’une symétrie par rapport l’axe des ordonnées, les deux triangles sont superposables. On peut utiliser cela pour déterminer les coordonnées du point d’intersection entre l’hypoténuse et le cercle trigonométrique. Il s’agit de moins cosinus 𝜃, sinus 𝜃.
Nous remarquons également que l’hypoténuse est le côté final de l’angle 180 degrés moins 𝜃 en position standard. Cela signifie que le sinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal au sinus de 𝜃 et que le cosinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃. Si on utilise le fait que tangente de 𝜃 est égal à sinus de 𝜃 sur cosinus de 𝜃, alors tangente de 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins tangente de 𝜃.
Cela nous amène à un exemple spécifique d’angles associés, dans ce cas lorsque la somme de deux angles est égale à 180 degrés ou 𝜋 radians. Puisque ces angles sont appelés angles supplémentaires, les trois formules sont appelées formules trigonométriques des angles supplémentaires. Une fois de plus, si on prend l’inverse des deux membres, on peut trouver des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses.
On peut utiliser la même méthode pour trouver des formules trigonométriques d’autres angles associés. Tout d’abord, nous avons le point dans le troisième quadrant avec les coordonnées moins cosinus 𝜃, moins sinus 𝜃 comme indiqué. Cela correspond à l’angle 180 degrés plus 𝜃 en position standard. Le sinus de 180 degrés plus 𝜃 est donc égal à moins sinus 𝜃. Et le cosinus de 180 degrés plus 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃. Puisque diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne une réponse positive, alors tangente de 180 degrés plus 𝜃 est égal à la tangente de 𝜃.
On peut répéter cela pour les angles associés 𝜃 et 360 degrés moins 𝜃. Dans ce cas, on a le sinus de 360 degrés moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Le cosinus de 360 degrés moins 𝜃 est égal au cosinus de 𝜃. Et tangente de 360 degrés moins 𝜃 est égal à moins tangente de 𝜃.
On peut résumer comment déterminer si le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle est positif ou négatif dans chaque quadrant à l’aide d’un diagramme du signe des fonctions trigonométriques, le diagramme CAST. Dans le premier quadrant, lorsque 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés, nos trois fonctions — le sinus, le cosinus et la tangente — sont positives. Dans le deuxième quadrant, le sinus de 𝜃 est positif, tandis que cosinus et tangente de 𝜃 sont négatifs. Dans le troisième quadrant, entre 180 et 270 degrés, les fonctions sinus et cosinus sont négatives, tandis que la tangente est positive. Et enfin, dans le quatrième quadrant, le sinus de 𝜃 est négatif, le cosinus de 𝜃 est positif et la tangente de 𝜃 est négative.
Nous allons maintenant voir un exemple dans lequel nous allons utiliser les formules d’angles associés pour simplifier une expression trigonométrique.
Simplifiez le cosinus de 𝜃 plus le cosinus de 180 degrés moins 𝜃.
Il existe plusieurs façons de simplifier cette expression. Par exemple, nous pourrions rappeler la formule de l’angle supplémentaire. Cela nous dit que le cosinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus de 𝜃. Lorsqu’on substitue cela dans notre expression, on a cosinus de 𝜃 plus moins cosinus de 𝜃. Comme cela revient à soustraire cosinus de 𝜃 de cosinus de 𝜃, notre réponse est zéro.
Bien que cette méthode semble simple, elle nous permet de nous souvenir de la formule d’angle supplémentaire indiquée. Il y a plusieurs formules pareilles, et il est difficile de se souvenir de chacune d’elle. Il est donc utile de comprendre comment obtenir ces formules en utilisant le cercle trigonométrique. Si nous traçons un angle aigu 𝜃 en position standard, alors l’angle 180 degrés moins 𝜃 est l’angle supplémentaire de 𝜃. Ensemble, ceux-ci forment une ligne droite sur l’axe des abscisses comme indiqué.
Si on applique une symétrie axiale à notre triangle par rapport à l’axe des ordonnées, on a l’angle 180 degrés moins 𝜃 en position standard. Puisque les triangles sont superposables, leurs bases seront de longueur égale. Cela nous amène à la formule du cosinus de 180 degrés moins 𝜃 égale moins cosinus de 𝜃. Puisque cela est vrai pour tout angle 𝜃 mesuré en degrés, nous savons que notre réponse est correcte. cosinus de 𝜃 plus cosinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à zéro.
Avant de considérer un autre exemple, nous allons considérer les angles complémentaires. Nous rappelons que les angles complémentaires sont des angles dont la somme est égale à 90 degrés. Celles-ci sont utiles en trigonométrie car si 𝜃 est un angle d’un triangle rectangle, alors l’autre angle est de 90 degrés moins 𝜃. Nous pouvons utiliser ces informations pour trouver un ensemble de formules appelées formules des fonctions impliquant des angles complémentaires. En traçant d’abord 𝜃 en position standard, on peut construire le triangle superposable suivant. Voici l’angle 90 degrés moins 𝜃 en position standard. Puisque les triangles sont superposables, on peut comparer les côtés correspondants de sorte que le sinus de 90 degrés moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃 et le cosinus de 90 degrés moins 𝜃 égale sinus 𝜃.
Lorsqu’on utilise le fait que tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 et que la cotangente de 𝜃 en est l’inverse, on obtient tangente de 90 degrés moins 𝜃 est égale à la cotangente de 𝜃. Une fois de plus, on peut prendre l’inverse des deux membres de l’une de ces formules pour trouver des formules pour les fonctions trigonométriques inverses.
Les formules des fonctions impliquant des angles complémentaires sont un exemple de ce qu’on appelle les formules d’angles associés complémentaires. Les autres formules d’angles associés que nous allons considérer dans cette vidéo sont 𝜃 et 90 degrés plus 𝜃.
Si on retourne à notre cercle trigonométrique, on commence par faire tourner le triangle de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Cela nous donne un triangle superposable où l’angle 90 degrés plus 𝜃 est en position standard. Le sinus de 90 degrés plus 𝜃 est donc égal à cosinus 𝜃. Le cos de 90 degrés plus 𝜃 est égal à moins sinus de 𝜃. Et la tangente de 90 degrés plus 𝜃 est égal à moins cotangente 𝜃. Nous pourrions également développer cela pour des rotations de 180 et 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Nous allons maintenant examiner un dernier exemple dans lequel nous devons appliquer une formule de fonctions impliquant des angles complémentaires.
En utilisant le fait que cosinus 𝜃 est égal au sinus de 90 degrés moins 𝜃, alors laquelle des réponses suivantes est équivalente à cosinus de 35 degrés ? Est-ce (A) un sur sinus de 35 degrés ? (B) sinus de 35 degrés. (C) sinus de 55 degrés. (D) sinus de 145 degrés. Ou (E) moins sinus de 35 degrés.
Nous pouvons commencer cette question en remplaçant 𝜃 par 35 degrés dans les deux membres de notre équation. Cela nous donne le cosinus de 35 degrés est égal au sinus de 90 degrés moins 35 degrés. Le membre droit devient sinus de 55 degrés, ce qui parmi les cinq options données est l’option (C). Cela suggère que c’est la bonne réponse. Cependant, nous pouvons vérifier en traçant l’angle 35 degrés en position standard sur le cercle trigonométrique.
Les coordonnées du point marqué sur le cercle trigonométrique sont le cosinus de 35 degrés, le sinus de 35 degrés. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, le troisième angle est égal à 55 degrés. Si nous traçons cet angle de 55 degrés en position standard, il serait superposable sur le triangle dessiné pour 35 degrés en position standard. Le point sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus 55 degrés, sinus 55 degrés. Puisque la hauteur de ce deuxième triangle a la même longueur que la base du premier triangle, le sinus de 55 degrés doit être égal au cosinus de 35 degrés. Nous pouvons donc conclure que l’option (C) est correcte. Si cosinus de 𝜃 est égal à sinus de 90 degrés moins 𝜃, alors le cosinus de 35 degrés est égal à sinus de 55 degrés.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo qu’on peut montrer les propriétés des fonctions trigonométriques en considérant la superposition des triangles formés par les angles en position standard sur le cercle trigonométrique. En particulier, nous avons vu que le sinus, cosinus et tangente de 180 degrés plus 𝜃 sont respectivement équivalents à moins sinus 𝜃, moins cosinus 𝜃 et tangente 𝜃. Nous avons également eu les formules d’angles associés. Il s’agit de sinus, cosinus et tangente de 90 degrés moins 𝜃 et 90 degrés plus 𝜃. Toutes ces formules, et bien d’autres, peuvent être directement représentées à partir des symétries du cercle trigonométrique.
