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Vidéo de la leçon: Troisième loi de Newton sur le mouvement Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur la troisième loi de Newton.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes en utilisant la troisième loi de Newton. À ce stade, vous avez dû rencontrer et appliquer les première et deuxième lois du mouvement de Newton. La première loi de Newton stipule qu’un objet restera au repos ou en mouvement uniforme rectiligne à moins qu’il ne soit soumis à une force extérieure. Et la deuxième loi de Newton dit que la force agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération, 𝐹 égale 𝑚𝑎. Alors, que nous dit la troisième loi de Newton ?

La troisième loi de Newton est le plus souvent énoncée comme le fait que pour chaque action, il y a une réaction égale et opposée. Mais nous ne parlons pas du type de réaction que vous avez lorsque, par exemple, votre frère ou votre sœur emprunte votre vêtement préféré. Il est en fait dit que si l’objet A exerce une force sur l’objet B, alors l’objet B doit exercer une force de même amplitude et de direction opposée sur l’objet A. Comme pour les autres lois de Newton, c’est assez intuitif. Par exemple, lors d’un lancement de fusée, le carburant brûlé libère du gaz à grande vitesse. La fusée exerce une force vers le bas sur le gaz dans la chambre de combustion. Et ainsi, le gaz exerce une force de réaction égale et opposée vers le haut sur la fusée. Le nom de cela, c’est la poussée.

Un autre exemple très important s’applique à vous à cet instant. Que vous soyez assis sur une chaise ou que vous soyez debout, vous exercez une force vers le bas sur la chaise ou sur le sol. La chaise ou le sol exerce donc une force de réaction vers le haut sur vous. C’est cela qui vous empêche de tomber directement à travers la chaise ou le sol, comme dans un film de science-fiction. Et donc nous avons la troisième loi de Newton sur le mouvement et son contexte. Notez que dans la mécanique classique, cette loi est très rarement utilisée seule, et pour cette raison, vous devez vous assurer que vous êtes confiant dans l’application des deux premières.

Commençons alors par appliquer la loi dans un exemple très simple.

Un ascenseur se déplace verticalement vers le haut à une vitesse constante. Un homme de 150 kilogrammes est à l’intérieur. Déterminez la force de réaction du sol sur l’homme. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Avec des questions comme celles-ci, il peut être très utile de commencer par faire un schéma très simple. Voici l’ascenseur qui monte vers le haut à une vitesse constante. Maintenant, si la vitesse est constante, l’accélération doit être égale à zéro mètre par seconde au carrée. Un homme de 150 kilogrammes se tient à l’intérieur de l’ascenseur. Et cela signifie donc que l’homme doit exercer une force vers le bas sur le sol de l’ascenseur. Maintenant, en fait, pour trouver la valeur de cette force vers le bas, nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Nous appelons la force vers le bas due à la masse, il s’agit du « poids ». Et nous disons qu’elle est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération due à la gravité, donc 𝑚𝑔. Cela signifie que, puisque l’homme a une masse de 150 kilogrammes, la force vers le bas du poids est de 150𝑔 sur le sol de l’ascenseur.

Ensuite, nous rappelons la troisième loi de Newton sur le mouvement. Et elle nous dit que si l’objet A exerce une force sur l’objet B, alors l’objet B doit exercer une force de même amplitude et de direction opposée sur l’objet A. Et comme l’homme exerce une force vers le bas sur le sol de l’ascenseur, le sol de l’ascenseur doit exercer une force vers le haut sur l’homme. Ce sont toutes les forces qui nous intéressent pour le moment. Par exemple, nous ne sommes pas intéressés par les forces de tension dans le câble de l’ascenseur. Nous allons donc revenir à la deuxième loi de Newton sur le mouvement, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Nous allons la définir dans ce cas comme étant positive et nous allons trouver la somme nette des forces.

Dans la direction vers le haut, nous avons 𝑅, et vers le bas, nous avons 150𝑔. Elle agit dans le sens négatif. Et donc la force nette sur notre schéma est 𝑅 moins 150𝑔. Cela équivaut à la masse multipliée par l’accélération, 150 fois zéro. 150 fois zéro nous donne zéro. Donc, notre équation devient 𝑅 moins 150𝑔 égale zéro. Nous pouvons trouver 𝑅 en ajoutant 150𝑔 aux deux côtés, nous trouvons donc 𝑅 est égal à 150𝑔. Bien sûr, on nous a dit que 𝑔 est 9,8 donc nous utilisons 𝑔 est égal à 9,8 dans cette expression. Et nous obtenons 𝑅 est égal à 150 fois 9,8, ce qui donne 1470. Nous avons travaillé avec des kilogrammes et des mètres par seconde au carré, donc les unités de notre force sont des newtons. La force de réaction du sol sur l’homme est de 1470 newtons.

Maintenant, il convient de noter que nous aurions pu aller directement à cette étape. Nous n’avions pas besoin de la première étape. C’est essentiellement l’inverse de la première loi. On nous dit qu’un objet restera au repos ou en mouvement uniforme à moins qu’il ne soit soumis à une force extérieure. En d’autres termes, si la somme des forces agissant sur le corps est nulle, alors l’objet restera au repos ou en mouvement uniforme. Maintenant, nous savons que notre objet reste en mouvement uniforme donc, que la somme des forces est égale à zéro.

Nous verrons pourquoi, dans notre exemple suivant, il peut être très utile d’utiliser la deuxième loi de Newton la plupart du temps.

Un ascenseur accélérait verticalement vers le bas à 1,7 mètre par seconde carrée. Étant donné que l’accélération due à la gravité est 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré, déterminez la force de réaction du sol pour un passager d’une masse de 103 kilogrammes.

Commençons par réaliser un schéma. Nous avons un ascenseur qui accélère verticalement vers le bas à 1,7 mètre par seconde au carré. Nous savons qu’un passager dans l’ascenseur a une masse de 103 kilogrammes. Ce passager doit exercer une force vers le bas sur l’ascenseur, nous appelons cela la force descendante, où le poids est la masse multipliée par 𝑔 la gravité. Dans ce cas, alors, puisque le passager a une masse de 103 kilogrammes, son poids est de 103𝑔. La troisième loi de Newton nous dit alors que si un objet exerce une force sur un deuxième objet, ce deuxième objet doit exercer une force de même amplitude et de direction opposée sur le premier. Ainsi, le sol de l’ascenseur exerce une force de réaction sur le passager.

Nous avons maintenant toutes les forces qui nous intéressent et nous nous souvenons donc de la deuxième loi de Newton sur le mouvement, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Nous allons trouver la somme nette des forces dans notre schéma et nous allons la fixer égale à la masse du passager multipliée par l’accélération. Et nous allons donc devoir définir une direction positive. Maintenant, c’est une préférence personnelle. Je préfère prendre la direction positive comme la direction dans laquelle l’objet se déplace. Donc, dans ce cas, je vais supposer que la direction positive est vers le bas. Tant que nous sommes cohérents, peu importe la direction que nous choisissons.

Donc, pour les forces agissant dans le sens positif, nous avons 103𝑔. Dans le sens négatif, nous avons 𝑅, et donc la somme nette des forces sur ce diagramme est de 103𝑔 moins 𝑅. C’est égal à la masse du passager multipliée par l’accélération, donc 103 fois 1,7. Rappelez-vous, nous essayons de trouver la force de réaction du sol pour le passager, nous devons donc écrire l’équation en fonction de 𝑅. Commençons par ajouter 𝑅 des deux côtés. Nous aurions pu, bien sûr, multiplier par moins un, mais nous avons besoin que 𝑅 soit positif. Ensuite, nous allons soustraire 103 fois 1,7 des deux côtés et nous obtenons donc 103𝑔 moins 103 fois 1,7 égale 𝑅.

Il peut être judicieux de factoriser lorsque cela est possible. Cela rend tout calcul mental un peu plus facile. Et le côté gauche devient alors 103 fois 𝑔 moins 1,7. Mais, bien sûr, 𝑔 est égal à 9,8, et donc puisque 9,8 moins 1,7 est 8,1, nous trouvons que 𝑅 doit être égal à 103 fois 8,1. Ceci donne 834,3. Nous avons travaillé avec des kilogrammes et des mètres par seconde au carré et les unités de notre force sont donc des newtons. La force de réaction du sol pour un passager d’une masse de 103 kilogrammes est de 834,3 newtons.

Maintenant, comparer cette force de réaction à la force du poids de l’homme peut vous rappeler un moment où vous avez été vous-même dans un ascenseur. La force de poids 103𝑔 est 103 fois 9,8, soit 1009,4. 1009,4 est supérieur à la force de réaction, et cela a beaucoup de sens. Si vous avez déjà été dans un ascenseur qui accélère vers le bas, vous vous sentirez presque un peu plus léger que la normale. De même, si vous êtes dans un ascenseur qui accélère vers le haut, vous vous sentirez peut-être un peu plus lourd que la normale. Et c’est parce que la force de réaction sera supérieure à la force du poids.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment travailler avec une balance à ressorts.

Un objet d’une masse de 32 kilogrammes est suspendu à une balance à ressorts fixée au plafond d’un ascenseur. Étant donné que l’ascenseur accélère vers le haut à 405 centimètres par seconde au carré, déterminez le poids apparent de l’objet. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Commençons par réaliser un schéma. Nous avons un objet d’une masse de 32 kilogrammes suspendu à une balance à ressorts. Cette balance à ressorts est fixée au plafond d’un ascenseur. Et donc il y a plusieurs forces en jeu ici. Premièrement, il y a la force vers le bas de l’objet. Cette force est le poids, elle est égale à la masse multipliée par la gravité, donc 32 fois 𝑔. Maintenant, puisque l’objet lui-même exerce une force vers le bas sur la balance à ressorts, la troisième loi de Newton nous dit que la balance à ressorts doit également exercer une force vers le haut sur l’objet lui-même. Appelons cela la tension de la force, en fait, cette tension nous donnera la valeur et le poids apparent de l’objet.

Nous savons que l’ascenseur lui-même accélère vers le haut à 405 centimètres par seconde au carré. Mais en fait, comme il y a 100 centimètres dans un mètre, nous allons diviser cette valeur par 100 pour obtenir 4,05 mètres par seconde au carré. On fait cette conversion parce que nous travaillons en kilogrammes. Nous avons la gravité en mètres par seconde, donc notre réponse finale sera en newtons. Et nous devons être cohérents avec nos unités tout du long. Maintenant, en fait, la balance à ressorts elle-même exercera une force sur le plafond de l’ascenseur. Mais ce système de forces ne nous intéresse pas. Nous passons à autre chose et nous utilisons la deuxième loi de Newton sur le mouvement, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération.

Nous allons calculer la somme nette des forces dans notre système, puis nous allons la fixer comme étant égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération. Nous devons donc choisir une direction positive. Prenons vers le haut comme direction positive, puisque c’est la direction dans laquelle l’objet se déplace. Et puisque nous avons 𝑇 la tension agissant vers le haut et 32𝑔 agissant dans le sens négatif, la somme nette sur notre système est 𝑇 moins 32𝑔. Ceci est égal à la masse de l’objet multipliée par l’accélération. Cela fait donc 32 fois 4,05. Nous essayons de trouver 𝑇 puisque cela nous indiquera le poids apparent de l’objet. Nous allons donc ajouter 32𝑔 aux deux côtés. 𝑇 est 32 fois 4,05 plus 32𝑔, ce qui est égal à 32 fois 4,05 plus 32 fois 9,8. Cela nous donne une valeur de 443,2. Le poids apparent de l’objet est donc de 443,2 newtons.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment trouver une accélération en utilisant un système d’équations simultanées.

Un objet est suspendu à une balance à ressorts fixée au plafond d’un ascenseur. La valeur lue sur la balance donne 50 kg lorsque l’ascenseur accélère vers le haut à 𝑎 mètres par seconde au carré et la lecture est de 10 kilogrammes-poids lorsque l’ascenseur accélère vers le bas à cinq tiers 𝑎 mètres par seconde au carré. Sachant que l’accélération due à la gravité est 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré, déterminez la valeur de 𝑎.

Commençons par réaliser un schéma pour chaque partie de ce scénario. Initialement, l’ascenseur accélère vers le haut à 𝑎 mètres par seconde au carré. La valeur lue sur la balance à ce stade était de 50 kilogrammes-poids. Essayez de ne pas trop vous inquiéter des unités ici. Le kilogramme-poids n’est qu’une autre façon de mesurer la force et nous écrivons simplement 50 comme valeur sur notre balance, c’est essentiellement la force ascendante. Cette force ascendante est une réaction à la force descendante du poids de l’objet. Maintenant, nous ne connaissons pas la masse, nous allons donc dire qu’elle est égale à 𝑚. Et la force vers le bas est la masse multipliée par la gravité ; soit 𝑚𝑔. Nous avons alors une valeur de 10 kilogrammes-poids lorsque l’ascenseur accélère vers le bas à cinq tiers 𝑎 mètres par seconde au carré.

La force descendante du poids 𝑚𝑔 reste inchangée. Et maintenant, nous avons les forces pertinentes. Utilisons la deuxième loi de Newton, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération, et en prenant vers le haut comme sens positif dans notre premier schéma, la force nette est de 50 moins 𝑚𝑔. Cela équivaut à la masse multipliée par l’accélération 𝑚𝑎. Ensuite, en prenant la direction descendante comme positive dans notre deuxième schéma, la somme des forces est 𝑚𝑔 moins 10. Ceci est égal à la masse multipliée par la nouvelle accélération, 𝑚 fois cinq tiers 𝑎. Notez que nous aurions pu choisir le sens positif comme étant vers le haut. Cela n’a vraiment aucune importance. Nous obtiendrons le même résultat.

Nous réécrivons le côté droit en cinq tiers 𝑚𝑎 et la question nous dit que nous essayons de trouver la valeur de 𝑎. Nous allons donc écrire chacune des équation en fonction de 𝑚, puis nous allons pouvoir les rendre égales les unes par rapport aux autres. Dans notre première équation, nous ajoutons 𝑚𝑔 des deux côtés, puis nous factorisons. Nous obtenons donc 50 est égal à 𝑚 fois 𝑎 plus 𝑔. Enfin, nous divisons par 𝑎 plus 𝑔, et donc 𝑚 est 50 sur 𝑎 plus 𝑔. Dans notre deuxième équation, nous soustrayons cinq tiers de 𝑚𝑎 et ajoutons 10. Nous factorisons encore une fois, et nous allons diviser par l’expression à l’intérieur de nos parenthèses. 𝑚 est 10 sur 𝑔 moins cinq tiers 𝑎.

Maintenant que nous avons deux équations pour 𝑚, nous allons dire qu’elles sont égales entre elles. 50 sur 𝑎 plus 𝑔 est égal à 10 sur 𝑔 moins cinq tiers 𝑎, puis nous divisons par 10. Nous allons multiplier par les deux dénominateurs. Cela nous donne cinq fois 𝑔 moins cinq tiers 𝑎 égale à 𝑎 plus 𝑔. Distribuons les parenthèses, puis écrivons l’équation en fonction de 𝑎. Maintenant, bien sûr, nous connaissons 𝑔 lui-même ; soit 9,8. En ajoutant 25 sur trois 𝑎 des deux côtés et en soustrayant 𝑔, nous obtenons quatre 𝑔 égale vingt-huit tiers de 𝑎. Bien sûr, quatre 𝑔 est quatre fois 9,8 soit 39,2. Notre dernière étape consiste à diviser les deux côtés de cette équation par vingt-huit tiers. 39,2 divisé par vingt-huit tiers donne 4,2 et l’accélération 𝑎 est donc de 4,2 mètres par seconde au carré.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que la troisième loi de Newton sur le mouvement dit que si l’objet A exerce une force sur l’objet B, alors l’objet B doit exercer une force de même amplitude et de direction opposée sur l’objet A. Nous avons également vu que cette loi est très rarement utilisée seule. Elle sera utilisée assez souvent aux côtés des première et deuxième lois pour le mouvement.

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