Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes relatifs à la troisième loi de Newton.
Il est important d’avoir bien compris la première et la deuxième loi du mouvement de Newton pour acquérir une bonne compréhension de la troisième loi du mouvement de Newton.
Définissons la première loi du mouvement de Newton.
Définition : Première loi du mouvement de Newton
Un corps en mouvement uniforme persévère dans ce mouvement uniforme à moins qu’une force non nulle agisse sur lui.
La première loi de Newton stipule que la quantité de mouvement d’un corps ne change pas si le corps est en équilibre.
Définissons la deuxième loi du mouvement de Newton.
Définition : Deuxième loi du mouvement de Newton
Lorsqu’une force nette agit sur un corps rigide, celui-ci change de vecteur vitesse dans la direction et le sens de la force. Pour un corps de masse constante, la norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule où est la masse du corps et est l’accélération du corps.
Le taux de variation de la quantité de mouvement d’un corps est égal à la force nette agissant sur ce corps. Pour un corps de masse constante, le taux de variation de sa quantité de mouvement est directement proportionnel au taux de variation de son vecteur vitesse.
Définissons maintenant la troisième loi du mouvement de Newton.
Définition : Troisième loi du mouvement de Newton
Toute force qui agit sur un corps correspond à une des deux forces qui remplissent les conditions suivantes :
- Les forces agissent sur différents corps en interaction.
- Les forces agissent dans des sens opposés.
- Les forces ont la même ligne d’action.
- Les forces ont la même intensité.
- Les forces agissent pendant la même durée de temps.
Les corps doivent exercer des forces l’un sur l’autre pour interagir. Considérons deux forces et agissant sur les corps et et deux forces et agissant sur les corps et , comme illustré sur la figure suivante.
Chacune des paires de forces s’exerce lors des collisions entre les corps sur lesquels les forces agissent. On pourrait penser que les forces et remplissent les conditions des deux forces définies par la troisième loi du mouvement de Newton, tout comme les forces et .
Le corps n’agit cependant pas sur le corps pour produire et le corps n’agit pas non plus sur le corps pour produire . Seules les forces et et les forces et sont des exemples de paires de forces qui remplissent les conditions des forces définies par la troisième loi du mouvement de Newton, car ce sont les seules forces qui agissent sur des corps en interaction.
La troisième loi de Newton est équivalente au principe de conservation de la quantité de mouvement. Une force qui accélère un corps change la quantité de mouvement de ce corps. Lorsqu’une force agit, si une force d’intensité égale agit dans le sens opposé pendant la même durée de temps sur un autre corps, alors la somme des variations de quantité de mouvement des corps dues à ces forces est nulle.
Considérons deux corps de masse égale qui se déplacent à des vitesses égales l’un vers l’autre sur une surface horizontale lisse, s’approchant d’une position à laquelle ils vont entrer en collision, comme le montre la figure suivante.
La somme des quantités de mouvement des corps est définie par
Après la collision, supposons que les vecteurs vitesses des deux corps changent de signe mais conservent la même norme, comme indiqué sur la figure suivante.
La quantité de mouvement nette après la collision est également nulle. La variation de la quantité de mouvement de l’un des corps est égale à la variation de la quantité de mouvement de l’autre corps ; par conséquent, les forces exercées sur les corps sont égales.
La troisième loi de Newton s’applique aux collisions entre deux corps en mouvement mais également à des corps au repos. Un exemple courant de forces vérifiant la troisième loi du mouvement de Newton sont les forces qui agissent lorsqu’un corps est en contact avec une surface sur la Terre.
Un corps qui est en contact avec une surface sur la Terre est soumis à son propre poids. Le poids du corps est une force qui dépend de la masse du corps et de l’accélération du corps. Sur Terre, la valeur de l’accélération due à la force de gravitation produite par le champ gravitationnel de la Terre est de 9,8 m/s2 et est notée . Un corps en contact avec une surface est également soumis à une force de réaction normale à la surface.
Pour un corps en contact avec une surface sur la Terre, deux paires de forces vérifient la troisième loi du mouvement de Newton :
- la force gravitationnelle que la Terre exerce sur le corps et la force gravitationnelle que le corps exerce sur la Terre ;
- la force de réaction sur le corps et la force de réaction sur la Terre en raison de leur contact mutuel.
Les forces agissant sur le corps et sur la Terre sont représentées sur la figure suivante, où les forces agissent aux centres de masse du corps et de la Terre.
Les deux forces indiquées par qui attirent la Terre et le corps l’un vers l’autre sont des forces gravitationnelles, tandis que les deux forces indiquées par qui éloignent la Terre et le corps sont des forces de réaction. Chaque paire de forces qui agit sur le corps et sur la Terre vérifie la troisième loi du mouvement de Newton. Les intensités des forces d’une paire sont égales aux intensités des forces de l’autre paire.
Les problèmes impliquant l’équilibre d’un corps au repos à la surface de la Terre où l’équilibre est dû à la troisième loi de Newton ne prennent pas nécessairement en comptes les forces agissant sur la Terre. De tels problèmes peuvent seulement montrer les forces qui agissent sur le corps en contact avec la Terre, comme c’est le cas sur la figure suivante d’un corps au repos sur une surface de la Terre.
La force sur la figure est le poids, qui est la force exercée sur le corps due aux masses de la Terre et du corps. La force est la force de réaction exercée sur le corps par la surface de la Terre. Les forces sont d’intensité égale. Les forces de gravitation et de réaction qui agissent sur le corps remplissent toutes les conditions de la troisième loi du mouvement de Newton, à l’exception de la condition d’agir sur différents corps.
Considérer uniquement les forces qui agissent sur un corps peut donner l’impression trompeuse que la troisième loi de Newton n’est pas toujours valide. Considérons un corps qui n’est pas en contact avec la Terre et qui chute vers la Terre. Avant que le corps en chute n’atteigne la surface de la Terre, il n’y a pas de force de réaction sur le corps et il semble que le poids du corps agit en augmentant la quantité de mouvement du corps sans qu’il y ait une variation correspondante de la quantité de mouvement d’un autre corps.
Selon la troisième loi de Newton cependant, lorsque le corps chute et accélère donc vers la Terre, la Terre accélère vers le corps, car les forces gravitationnelles sur la Terre et sur le corps sont égales en intensité. La force gravitationnelle sur la Terre augmente la quantité de mouvement de la Terre dans le sens opposé à la quantité de mouvement du corps, conservant la quantité de mouvement du système constitué du corps et de la Terre. La variation du vecteur vitesse de la Terre due à la variation de sa quantité de mouvement est négligeable car la masse de la Terre est beaucoup plus grande que la masse du corps. La Terre est considérée comme étant dans une position fixe lorsque l’on étudie des corps qui chutent vers la Terre car l’accélération de la Terre due à la force agissant sur elle due à la chute du corps est négligeable.
Les exemples de cette fiche explicative traitent de corps en contact avec des surfaces où les surfaces peuvent accélérer dans le même sens ou le sens opposé à celui de la force gravitationnelle sur les corps.
Pour mieux comprendre comment résoudre ces exemples, on peut utiliser un schéma des forces agissant sur un corps. Un corps au repos sur une surface qui est au repos est illustré sur la figure suivante.
La force nette sur le corps est nulle. Supposons que la surface sur laquelle le corps est au repos accélère uniformément avec une accélération , où la direction verticale vers le haut est positive. La force nette sur le corps doit être égale à
La force nette sur le corps n’est pas la seule force agissant verticalement vers le haut sur le corps. Une force verticale vers le haut d’intensité égale au poids du corps agit sur le corps même lorsque le corps est au repos. Lorsque le corps accélère verticalement vers le haut, la force vers le haut agissant sur le corps est
Si la surface sur laquelle le corps est au repos accélère verticalement vers le bas, alors et la force verticale agissant vers le haut sur le corps pour lui donner cette accélération est
La force verticale vers le haut agissant sur le corps est la force de réaction sur le corps.
Considérons un exemple avec des forces agissant sur un objet en contact avec une surface en mouvement.
Exemple 1: Déterminer la force de réaction entre un homme et un ascenseur se déplaçant à une vitesse constante
Un ascenseur se déplace verticalement vers le haut à une vitesse constante. Un homme de masse 90 kg est à l’intérieur de l’ascenseur. Calculez la force de réaction du sol sur l’homme. On suppose que .
Réponse
L’ascenseur se déplace à une vitesse constante. L’homme dans l’ascenseur est au repos par rapport à l’ascenseur et se déplace donc également à une vitesse constante. Un corps se déplaçant à une vitesse constante n’accélère pas, et la force nette agissant sur un corps sans accélération est égale à zéro.
Sachant que l’homme est dans une région où la force du champ gravitationnel de la Terre accélère les corps non supportés verticalement vers le bas à 9,8 m/s2, une force verticale vers le bas agit sur l’homme. Cette force est le poids de l’homme. Si la direction verticale vers le bas est considérée comme négative, la force du poids de l’homme est définie par
La force nette exercée sur l’homme est nulle donc le sol de l’ascenseur exerce une force verticale vers le haut sur l’homme et cette force doit avoir la même intensité que le poids de l’homme ; la force de réaction de l’ascenseur a donc une intensité de 882 N.
Si un corps est en mouvement avec un vecteur vitesse constant, il n’y a pas de force nette, comme le stipule la première loi du mouvement de Newton. Une variation du vecteur vitesse d’un corps en mouvement implique toutefois l’action d’une force nette.
Étudions maintenant un exemple impliquant les forces agissant sur un corps avec une accélération constante.
Exemple 2: Déterminer la force de réaction entre un homme et un ascenseur accélérant vers le haut
Un ascenseur accélère verticalement vers le haut à 3,3 m/s2. Un homme de masse 80 kg est à l’intérieur de l’ascenseur. Déterminez la force de réaction du sol sur l’homme.
Réponse
La figure suivante représente les forces agissant sur l’homme.
L’ascenseur accélère verticalement vers le haut à 3,3 m/s2. L’homme dans l’ascenseur est au repos par rapport à l’ascenseur donc il accélère aussi verticalement vers le haut à 3,3 m/s2. En considérant le mouvement vertical vers le haut comme positif, l’intensité de la force nette agissant sur l’homme provoquant cette accélération est
Le poids de l’homme agit verticalement vers le bas et est défini par en supposant que la valeur de est 9,8 m/s2.
La force de réaction exercée sur l’homme par le sol de l’ascenseur doit fournir une force verticale vers le haut de même intensité pour maintenir l’homme au repos par rapport au sol de l’ascenseur. Si l’ascenseur n’accélérait pas, la force de réaction verticale vers le haut aurait une intensité de 784 N.
L’ascenseur accélère verticalement vers le haut à 3,3 m/s2, et puisque l’homme est au repos par rapport à l’ascenseur, la force nécessaire pour accélérer l’homme à ce rythme est la force nette sur l’homme, 264 N.
La force de réaction doit donc exercer une force verticale vers le haut sur l’homme pour le maintenir au repos par rapport à un point dans le champ gravitationnel de la Terre tout en éloignant ce point de la Terre à 3,3 m/s2. La force de réaction a une intensité de
On peut également obtenir ce résultat en utilisant la formule
Étudions maintenant comment la force de réaction est affectée par une accélération constante dans le sens du poids d’un homme plutôt que dans le sens opposé à son poids.
Exemple 3: Déterminer la force de réaction entre un homme et un ascenseur accélérant vers le bas
Un ascenseur accélère verticalement vers le bas à 1,7 m/s2. Sachant que l’accélération de la pesanteur est , déterminez la force de réaction du sol sur un passager de masse 103 kg.
Réponse
La figure suivante illustre les forces agissant sur le passager.
Si le passager chutait librement, la seule force agissant sur le passager serait la force de son poids et il accélèrerait verticalement vers le bas à 9,8 m/s2. Puisque le passager accélère verticalement vers le bas à seulement 1,7 m/s2, une force verticale vers le haut doit agir. La force qui agit verticalement vers le haut est la force de réaction du sol de l’ascenseur. La force de réaction exercée sur le passager doit être inférieure à la force de son poids, car l’accélération du passager est vers le bas.
Si on considère le mouvement vertical vers le bas comme négatif, le poids du passager est de
La force nette agissant sur le passager pour fournir son accélération est de
La force de réaction est donc de
On peut également obtenir ce résultat en utilisant la formule
La force de réaction sur une personne est ce qui donne à une personne la sensation du poids de son corps. L’expérience subjective du poids est la sensation d’une résistance du sol empêchant le mouvement à travers le sol, qui est distincte du simple contact avec le sol.
Supposons qu’une personne se tienne sur une plate-forme qui se trouve dans un avion volant au-dessus du sol. Pendant que la personne est sur la plate-forme, le sol de l’avion sous la plate-forme est retiré. La plate-forme et la personne accélèrent verticalement vers le bas à 9,8 m/s2 à condition que deux suppositions soient faites.
La première supposition est que les forces de résistance sur la personne et sur la plate-forme dues au mouvement de l’air sont négligeables. La deuxième supposition est que les forces gravitationnelles exercées par la personne et la plate-forme l’une sur l’autre sont négligeables. Si on prend en compte ces deux suppositions, alors la force nette sur la plate-forme est égale au poids de la plate-forme et la force nette sur la personne est égale au poids de la personne.
Les pieds de la personne restent en contact avec la plate-forme mais pour la plate-forme et la personne, les seules forces agissant sur eux sont leurs poids respectifs. Par conséquent, aucune force de réaction n’est exercée sur la personne ou la plate-forme. La personne n’éprouvera pas la sensation que la plate-forme pousse ses pieds vers le haut, n’aura pas l’impression que son corps a un poids et ressentira une apesanteur apparente.
Le poids apparent d’un objet est donc égal à la force de réaction exercée sur un corps. Nous avons vu que la force de réaction sur un corps est définie par où est l’accélération de la surface qui produit la force de réaction. Les figures suivantes montrent comment le poids apparent dépend de la masse d’un corps et de l’accélération de la surface sur laquelle le corps repose.
On peut définir le poids apparent d’un corps comme suit.
Définition : Poids apparent d’un corps
Un corps de masse supporté par une surface qui a une accélération uniforme dans un champ gravitationnel uniforme d’intensité exerce une force de réaction sur le corps définie par
La force de réaction sur le corps est appelée le poids apparent du corps.
Étudions un exemple impliquant le poids apparent d’un corps.
Exemple 4: Déterminer la valeur sur une balance à ressort dans un ascenseur en accélération
Un corps de masse 45 kg est accroché à une balance à ressort fixée au plafond d’un ascenseur. Si l’ascenseur accélère vers le bas à 105 cm/s2, quel est le poids apparent du corps ? Supposez que l’accélération de la pesanteur est égale à 9,8 m/s2 et arrondissez votre réponse au centième près.
Réponse
Une balance à ressort n’a pas de surface qui supporte un corps, celui-ci est en fait suspendu à un ressort. La tension du ressort produite par le poids du corps agit de manière équivalente à la force de réaction qu’une surface supportant le corps aurait produit. La seule différence entre la force de tension produite par un ressort et la force de réaction produite par une surface est le point où les forces agissent sur le corps : une force de réaction de surface agit en un point au-dessous du corps et une tension de ressort agit en un point au-dessus du corps. Cette différence est sans importance dans cette question car le corps sur lequel la force agit n’a pas de caractéristiques distinctes qui le distinguent d’une particule, il a juste une masse.
La figure suivante représente les forces agissant sur le corps.
Les normes des accélérations ne sont pas dans les mêmes unités, donc l’une des accélérations doit être convertie dans l’unité de l’autre. Comme est une valeur standard et est donnée en mètres par seconde carrée, les deux accélérations seront exprimées en mètres par seconde carrée, m/s2.
La question indique que l’ascenseur accélère vers le bas, donc le poids apparent du corps mesuré par la balance à ressort a une intensité de
Étudions un autre exemple de poids apparent.
Exemple 5: Analyser le mouvement d’un ascenseur à l’aide du poids d’un corps dans différentes conditions
Un homme se tient sur une balance dans un ascenseur, enregistrant les valeurs pendant que l’ascenseur se déplace. Sa première lecture est lorsque l’ascenseur accélère vers le haut à . Il fait une autre lecture lorsque l’ascenseur accélère vers le bas à . Sachant que le rapport entre les deux valeurs sur la balance est de , déterminez où est l’accélération de la pesanteur.
Réponse
La variable utilisée pour représenter l’accélération de l’ascenseur ne doit pas être confondue avec la variable utilisée dans l’expression du poids apparent
La valeur de dans cette expression est l’accélération d’un corps, et non celle d’une variable arbitraire. On peut écrire l’accélération d’un corps sous la forme mais n’est pas égal à l’accélération du corps à moins que ne soit égal à 1.
La norme de l’accélération vers le haut est de . Cette accélération est vers le haut, donc dans le sens opposé à . L’équation est dans ce cas équivalente à
Par conséquent,
La valeur de l’accélération vers le bas est de . Le sens de l’accélération est le même que celui de , donc
Nous savons que
On voit donc que
On peut annuler le facteur pour obtenir
On peut développer la parenthèse : que l’on peut réarranger pour obtenir
Le rapport des normes de et est par conséquent .
Points clés
- La troisième loi du mouvement de Newton stipule que toute force qui agit est une des deux forces de même intensité agissant pendant la même durée, avec la même ligne d’action dans des sens opposés et sur des corps différents.
- Le poids d’un corps est dû à la force de pesanteur exercée sur cet objet, tandis que le poids apparent d’un objet est dû à la force de réaction corps sur l’objet par une surface avec laquelle le corps est en contact.
- Si un corps et son support se déplacent uniformément, le poids apparent du corps est égal au poids du corps.
- Si un corps et son support accélèrent dans le sens opposé à l’accélération de la pesanteur, le poids apparent du corps est supérieur au poids du corps.
- Si un corps et son support accélèrent dans le même sens que l’accélération de la pesanteur, le poids apparent du corps est inférieur au poids du corps.
- Si l’accélération d’un corps et de son support est dans le même sens que l’accélération de la pesanteur et si sa norme est supérieure ou égale à celle de l’accélération de la pesanteur, alors le poids apparent du corps est nul.
