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Lequel des vecteurs 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 et 𝐓 sur le graphique est égal à 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂?
Le graphique en question est cet ensemble d’axes cartésiens avec plusieurs vecteurs représentés par des flèches. Nous nous intéressons particulièrement aux vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Et, ce qu’on nous demande de faire c’est d’identifier lequel des autres vecteurs du graphique est égal à la somme de ces trois vecteurs. Lorsque nous représentons un vecteur avec une flèche, l’extrémité pointue s’appelle la pointe et l’autre extrémité s’appelle l’origine. Pour additionner un deuxième vecteur, nous dessinons simplement ce vecteur avec son origine à la pointe de ce premier vecteur. La somme de ces deux vecteurs est alors le vecteur dont l’origine est à l’origine du premier vecteur et dont la pointe est à la pointe du deuxième vecteur.
Cependant, pour notre question, nous cherchons une somme de trois vecteurs, pas de seulement deux. Heureusement, l’addition de vecteurs est associative. Cela signifie que nous pouvons regrouper les différentes parties du calcul comme nous le souhaitons sans changer la réponse finale. Disons donc que nous ajoutons trois vecteurs 𝐔, 𝐕 et 𝐖. Pour additionner ces trois vecteurs, on peut d’abord ajouter les deux vecteurs 𝐔 et 𝐕, puis ajouter 𝐖.
Comme nous pouvons le voir sur notre graphique, 𝐔 plus 𝐕 n’est qu’un autre vecteur unique, donc 𝐔 plus 𝐕 entre parenthèses plus 𝐖 n’est qu’une somme de ce nouveau vecteur 𝐔 plus 𝐕 avec le troisième vecteur 𝐖. Et nous savons comment faire cela. Nous venons de dessiner 𝐖 avec son origine à la pointe de 𝐔 plus 𝐕. Maintenant, nous dessinons le vecteur dont l’origine est à l’origine de 𝐔 plus 𝐕 et dont la pointe est à la pointe de 𝐖. Et cela nous donne la somme des trois vecteurs 𝐔 plus 𝐕 plus 𝐖. Notez que nous pourrions effacer l’étape intermédiaire du calcul de 𝐔 plus 𝐕 tout en obtenant la même réponse.
Nous pouvons donc calculer la somme 𝐔 plus 𝐕 plus 𝐖 en dessinant chaque flèche avec son origine à la pointe de la flèche précédente, puis en connectant l’origine restante et la pointe restante pour former le vecteur final. En fait, cela fonctionne pour n’importe quel nombre de vecteurs, et nous obtiendrons toujours la même réponse quel que soit l’ordre que nous utilisons pour dessiner les vecteurs. Et cela fonctionne parce que l’addition de vecteurs est à la fois commutative et associative.
Donc, pour trouver la somme que nous recherchons, il suffit de redessiner 𝐀, 𝐁 et 𝐂 en faisant toucher la pointe et l’origine. Commençons par redessiner 𝐁 avec son origine à la pointe de 𝐀. La flèche pour 𝐁 s’étend de deux unités vers la droite et de trois unités vers le haut. Dessiner une flèche avec l’origine à la pointe de 𝐀 et l’étendre de deux unités vers la droite et de trois unités vers le haut nous amène à ce point ici. Maintenant, nous devons ajouter la flèche pour 𝐂. Cette flèche s’étend de quatre unités vers la gauche et d’une unité vers le haut. La connexion de cette flèche aux deux que nous avons déjà dessinés nous amène de la pointe précédente à ce point ici, qui est la pointe du vecteur appelé 𝐐.
Maintenant, pour trouver la somme que nous recherchons, nous devons trouver le vecteur qui a son origine à l’origine de 𝐀 et sa pointe à la pointe de 𝐂. Et nous voyons que 𝐐 a en effet sa pointe à la pointe de 𝐂. Et puisque 𝐀 et 𝐐 ont leurs origines au départ, 𝐐 a aussi son origine à l’origine de 𝐀. Donc, parce que lorsque nous connectons 𝐀, 𝐁 et 𝐂 de la pointe à l’origine, 𝐐 relie l’origine restante à la pointe restante, nous concluons que 𝐐 est égal à 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂.
Nous remarquons que puisque l’addition de vecteurs est commutative, les flèches magenta montrent que 𝐁 plus 𝐂 plus 𝐀 est également égal à 𝐐.
