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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à additionner deux vecteurs ou plus, à la fois graphiquement et en utilisant la notation vectorielle unitaire. Nous allons commencer par la méthode graphique. Mais avant d’apprendre à additionner des vecteurs graphiquement, nous allons nous rafraîchir la mémoire sur ce qu’est un vecteur et comment nous pouvons représenter un vecteur sous forme graphique. Un vecteur est une grandeur qui a à la fois une intensité et une direction. Donc, un moyen facile de représenter graphiquement un vecteur est d’utiliser une flèche.
Par exemple, cette flèche représente un vecteur d’une intensité de quatre unités, dont la direction est le long de l’axe horizontal vers la droite de l’écran. Nous pouvons donner un nom à ce vecteur. Appelons-le 𝐀. Et notez que lorsque nous nommons notre vecteur 𝐀, nous dessinons une demi-flèche sur le haut de la lettre. Il s’agit d’une convention communément utilisée pour désigner des vecteurs. Et quand on voit un vecteur écrit dans un livre ou en ligne, par exemple, on voit souvent qu’il est écrit en gras pour indiquer qu’il s’agit d’un vecteur.
Dessinons un autre exemple de vecteur, et nous appellerons ce vecteur 𝐁. Nous pouvons voir que le vecteur 𝐁 a la même intensité de quatre unités que le vecteur 𝐀. Mais cette fois, il a une direction et un sens différents. Il est orienté verticalement vers le haut de l’écran. Encore une fois, lorsque nous nommons notre vecteur 𝐁, nous dessinons une demi-flèche au-dessus de la variable pour indiquer qu’il s’agit d’un vecteur.
Avant de passer à l’addition de nos vecteurs, dessinons un autre exemple. Le vecteur 𝐂 a des composantes à la fois dans les directions horizontale et verticale. Dans la direction horizontale, il a une longueur de cinq unités. Et dans la direction verticale, il a une longueur de trois unités. On pourrait donc dire que le vecteur 𝐂 a une composante horizontale de cinq et une composante verticale de trois. Nous pouvons voir que le vecteur 𝐂 a une composante horizontale plus grande que le vecteur 𝐀 et qu’il a une composante verticale plus petite que le vecteur 𝐁.
Alors, maintenant que nous avons récapitulé rapidement ce que sont les vecteurs et comment on peut les représenter graphiquement. Voyons comment nous pouvons les additionner, en commençant par une méthode graphique. Chaque fois que nous additionnons des vecteurs ensemble, par exemple, 𝐀 et 𝐁, le résultat sera toujours également un vecteur. Appelons ce vecteur résultant 𝐕. L’approche que nous allons utiliser pour additionner graphiquement des vecteurs est appelée la méthode bout à bout. Dans cette méthode, un vecteur se déplace jusqu’à ce que la base de sa « flèche » soit à la pointe de la « flèche » de l’autre vecteur. Le vecteur résultant est dessiné de la base de la « flèche » du vecteur immobile à la pointe de la « flèche » du vecteur déplacé.
Essayons d’utiliser cette méthode pour additionner deux nouveaux vecteurs. Encore une fois, nous appellerons ces vecteurs 𝐀 et 𝐁. Puisque ces vecteurs sont différents des vecteurs 𝐀 et 𝐁 que nous avons utilisés dans l’exemple précédent, regardons rapidement leurs composantes verticale et horizontale avant de les additionner. Le vecteur 𝐀 a une composante horizontale de trois et une composante verticale de zéro. Et le vecteur 𝐁 a une composante horizontale de un et une composante verticale de trois.
Donc, pour trouver le vecteur formé lorsque nous additionnons les vecteurs 𝐀 et 𝐁 ensemble, nous commençons par laisser le vecteur 𝐀 où il se trouve, puis nous déplaçons le vecteur 𝐁 de sorte que la base de la « flèche » du vecteur 𝐁 touche la pointe de la « flèche » du vecteur 𝐀. Quand on fait ça, il est très important que nous conservions les composantes horizontale et verticale de 𝐁. Une fois que nous avons fait cela, nous pouvons dessiner le vecteur résultant, c’est-à-dire le vecteur qui est équivalent à la somme de 𝐀 et 𝐁. Celui-ci est dessiné de la base de la « flèche » du vecteur 𝐀 à la pointe de la « flèche » du vecteur déplacé 𝐁. Et nous pouvons nommer ce nouveau vecteur 𝐕 car c’est ainsi que nous l’appelons dans notre expression en haut de l’écran.
Nous pouvons penser aux vecteurs comme représentant un mouvement d’une certaine distance dans une certaine direction. Nous pouvons voir ici que si nous avions commencé à l’origine et que nous nous étions déplacé le long du vecteur 𝐀, puis que nous nous étions déplacé le long du vecteur 𝐁, nous finirions ici. Donc, dans l’ensemble, notre mouvement est le même que si nous voyagions le long du vecteur 𝐕. C’est une façon de penser à ce que cela signifie lorsque nous disons que 𝐕 est la somme de 𝐀 et 𝐁.
La méthode bout à bout ne se limite pas à simplement additionner deux vecteurs ensemble. Ainsi, dans cet exemple, introduisons un troisième vecteur 𝐂. Nous pouvons voir que ce vecteur a une composante horizontale de deux vers la gauche. Nous pourrions donc dire qu’il a une composante horizontale de moins deux. Il a également une composante verticale de un vers le bas. Nous pourrions donc dire une composante verticale de moins un. Utilisons la méthode bout à bout pour additionner les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Et nous appellerons le vecteur résultant 𝐖.
Encore une fois, nous allons garder le vecteur 𝐀 stationnaire et nous allons faire déplacer le vecteur 𝐁 de sorte que la base de sa « flèche » touche la pointe de la « flèche » du vecteur 𝐀. Ensuite, nous déplaçons le vecteur 𝐂 de sorte que la base de la « flèche » du vecteur 𝐂 touche la pointe la « flèche » du vecteur déplacé 𝐁. Maintenant, nous pouvons dessiner notre résultant de l’origine ou de la base de la « flèche » du vecteur 𝐀 jusqu’à la pointe de la « flèche » du vecteur 𝐂. Nous pouvons voir que le vecteur résultant 𝐖 a une composante horizontale de deux et une composante verticale de deux. Cette méthode peut continuer pour autant de vecteurs que nous voulons additionner. Passons maintenant à une méthode différente, en additionnant des vecteurs en utilisant la notation vectorielle unitaire.
Tout d’abord, nous devons rappeler qu’un vecteur unitaire est un vecteur de longueur égale à un. Lorsque nous examinons des vecteurs dans un espace bidimensionnel, c’est-à-dire lorsque nous avons un axe horizontal et un axe vertical, nous devons connaître deux vecteurs unitaires spéciaux, 𝐢 et 𝐣. Nous pouvons voir que lorsque nous écrivons les symboles pour 𝐢 et 𝐣, nous pouvons mettre un petit chapeau sur le dessus de la lettre pour signifier que c’est un vecteur unitaire. Pour cette raison, ces vecteurs unitaires sont parfois appelés 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau. Et sous forme de texte, nous verrons parfois ces vecteurs représentés par un 𝐢 ou un 𝐣 en gras également.
Nous pouvons voir que le vecteur unitaire 𝐢 ou 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire qui suit la direction 𝑥, alors que le vecteur unitaire 𝐣 ou 𝐣 chapeau suit la direction 𝑦. Ces vecteurs sont utiles car n’importe quel vecteur bidimensionnel peut être exprimé en fonction de 𝐢 et 𝐣. Plus précisément, nous pouvons exprimer la composante horizontale en fonction de 𝐢 et la composante verticale en fonction de 𝐣. Par exemple, ce vecteur 𝐀 a une composante horizontale ou 𝑥 de plus un et une composante verticale ou 𝑦 de plus trois. Cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à 𝐢 plus trois fois 𝐣.
Pour prendre un autre exemple, ce vecteur 𝐁 a une composante 𝑥 de moins deux et une composante 𝑦 de moins un. Cela signifie que nous pouvons dire que 𝐁 est égal à moins deux fois 𝐢 moins 𝐣. Ainsi, l’expression de vecteurs bidimensionnels en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 nous donne un moyen de décrire séparément leurs composantes horizontales en fonction de 𝐢 et leurs composantes verticales en fonction de 𝐣. Nous pouvons l’utiliser pour nous aider à additionner des vecteurs ensemble. Pour additionner des vecteurs en utilisant la notation unitaire, il suffit d’additionner séparément les composantes horizontales et les composantes verticales. Cela signifie que pour tous les vecteurs que nous additionnons, nous ajoutons leurs composantes 𝐢 pour trouver la composante 𝐢 du vecteur résultant et nous ajoutons leurs composantes 𝐣 pour trouver la composante 𝐣 du vecteur résultant.
Disons donc que nous avons deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, et ils sont tous deux exprimés en utilisant la notation vectorielle unitaire. Disons que 𝐀 est égal à quatre 𝐢 plus neuf 𝐣 et 𝐁 est égal à sept 𝐢 plus cinq 𝐣. Disons que nous voulons additionner ces deux vecteurs pour trouver le vecteur résultant 𝐕. Eh bien, pour ce faire, nous commençons par additionner les 𝐢. Quatre 𝐢 plus sept 𝐢 nous donnent 11𝐢. Ensuite, nous ajoutons les 𝐣 ensemble. Neuf 𝐣 plus cinq 𝐣 font 14𝐣. Donc, ici notre vecteur résultant 𝐕 est égal à 11𝐢 plus 14𝐣; c’est-à-dire qu’il a une composante horizontale de 11 et une composante verticale de 14.
Essayons un autre exemple. Cette fois, 𝐀 est égal à trois 𝐢 plus cinq 𝐣 et 𝐁 est égal à quatre 𝐢 moins six 𝐣. La grande différence dans cet exemple est que l’un de nos vecteurs a une composante négative. La composante 𝑦 du vecteur 𝐁 est moins six 𝐣. Cependant, même si nous avons affaire à des composantes négatives, nous additionnons toujours les composantes 𝐢 et 𝐣 séparément. Nous devons juste prendre en compte les signes négatifs.
En commençant par les 𝐢, nous avons trois 𝐢 plus quatre 𝐢, ce qui nous donne sept 𝐢. Et maintenant, en regardant les 𝐣, nous avons cinq 𝐣 plus moins six 𝐣. Cinq 𝐣 plus moins six 𝐣 est égal à cinq 𝐣 moins six 𝐣, ce qui nous laisse avec moins un 𝐣. Et la façon la plus simple d’écrire cela est moins 𝐣. Donc, au total, dans ce cas, le vecteur résultant 𝐕 est égal à sept 𝐢 moins 𝐣.
Voyons maintenant deux exemples d’addition de vecteur, l’un où nous les ajoutons graphiquement et l’un où nous les ajoutons en utilisant la notation vectorielle unitaire.
Lequel des vecteurs 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 ou 𝐓 sur le graphique est égal à 𝐀 plus 𝐁?
Nous avons donc ici un graphique nous montrant sept vecteurs, y compris les vecteurs 𝐀 et 𝐁. Et on nous demande, parmi les cinq autres vecteurs 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 et 𝐓, lequel sera égal à la somme de 𝐀 et 𝐁. Puisque les vecteurs nous ont été donnés sous forme graphique - ils sont représentés par les flèches bleues - nous pouvons les additionner graphiquement en utilisant la méthode bout à bout. Dans la méthode bout à bout, un vecteur est déplacé jusqu’à ce que la base de sa « flèche » soit sur la pointe de la « flèche » de l’autre vecteur. La résultante est dessinée de la base de la « flèche » du vecteur immobile à la pointe de la « flèche » du vecteur déplacé.
Dans notre problème, nous voulons additionner les vecteurs 𝐀 et 𝐁. Alors gardons le vecteur 𝐀 immobile et déplaçons le vecteur 𝐁 de sorte que la base de la « flèche » repose sur la pointe de la « flèche » du vecteur 𝐀, en nous assurant que les composantes horizontale et verticale du vecteur 𝐁 telles que nous l’avons dessiné sont les mêmes que le vecteur 𝐁 d’origine. Dans ce cas, la composante horizontale est de deux unités à droite et la composante verticale est de trois unités vers le haut. Nous pouvons maintenant dessiner sur le vecteur résultant, c’est-à-dire le vecteur qui est équivalent à 𝐀 plus 𝐁. Ceci est dessiné de la base de la « flèche » du vecteur immobile 𝐀 jusqu’à la pointe de la « flèche » du vecteur déplacé 𝐁.
Nous pouvons voir que ce vecteur résultant a la même direction et la même intensité que le vecteur 𝐐. En d’autres termes, il est égal au vecteur 𝐐. Cela signifie que le vecteur 𝐐 est égal à la somme de 𝐀 et 𝐁. Parmi les cinq vecteurs 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 et 𝐓 dessinés sur le graphique, c’est le vecteur 𝐐 qui est égal à 𝐀 plus 𝐁.
Maintenant, regardons un autre exemple où nous ajoutons des vecteurs en utilisant la notation vectorielle unitaire.
Considérons deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. 𝐀 est égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣, et 𝐁 est égal à sept 𝐢 plus cinq 𝐣. Calculez 𝐀 plus 𝐁.
Dans ce problème, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 ont été écrits en gras pour montrer que ce sont des vecteurs.
Puisque nous allons résoudre ce problème à la main, nous pouvons indiquer que 𝐀 et 𝐁 sont des vecteurs en traçant des demi-flèches sur le dessus. De même, les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 ont été écrits en gras. Lorsque nous les écrivons à la main, nous dessinons un chapeau au-dessus pour indiquer que ce sont des vecteurs unitaires.
Chaque fois que nous ajoutons des vecteurs qui sont exprimés en notation vectorielle unitaire, comme 𝐀 et 𝐁, nous devons nous rappeler d’additionner les composantes 𝐢 et les composantes 𝐣 séparément.
Il peut être utile d’écrire les vecteurs les uns au-dessus des autres avec un signe plus pour que les composantes 𝐢 et les composantes 𝐣 soient alignées verticalement. L’addition des deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous donnera un vecteur résultant. Nous pouvons donner un nom à ce vecteur résultant. Appelons-le 𝐕. Pour déterminer les composantes de 𝐕, nous commençons par additionner les composantes 𝐢 de 𝐀 et 𝐁. Deux 𝐢 plus sept 𝐢 font neuf 𝐢. Ensuite, nous additionnons les composantes 𝐣, et trois 𝐣 plus cinq 𝐣 font huit 𝐣. Si le vecteur 𝐀 est égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣 et le vecteur 𝐁 est égal à sept 𝐢 plus cinq 𝐣, alors 𝐀 plus 𝐁 est égal à neuf 𝐢 plus huit 𝐣.
Alors, maintenant que nous avons examiné quelques exemples, résumons les points clés de cette leçon. Nous avons vu que nous pouvons additionner graphiquement des vecteurs en utilisant la méthode bout à bout. Nous avons également vu comment additionner des vecteurs en utilisant la notation vectorielle unitaire. Lorsque nous faisons cela, nous devons additionner les composantes 𝐢 ensemble et les composantes 𝐣 ensemble, séparément.
