Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Addition de vecteurs Physique

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment ajouter deux vecteurs ou plus dans un espace à deux dimensions, en utilisant à la fois des méthodes graphiques et algébriques.

Rappelons qu’un vecteur est une grandeur qui a à la fois une intensité et une direction.

La graphique ci-dessous montre deux vecteurs, représentés par des flèches:

L’intensité de chaque vecteur est représentée par la longueur de chaque flèche. Les deux flèches représentées sur le graphique ont la même longueur que quatre carrés du graphique, les deux vecteurs ont donc la même intensité. Cependant, ils pointent dans des directions différentes. Le vecteur bleu pointe selon l’axe 𝑥, tandis que le vecteur rouge pointe selon l’axe 𝑦.

Le graphique ci-dessous montre deux vecteurs différents.

Le vecteur vert et le vecteur orange sont dirigés dans la même direction, mais ils ont des longueurs différentes. Le vecteur orange a une longueur de 3 carrés, tandis que le vecteur vert a une longueur de 6 carrés.

Dans cette fiche explicative, le symbole d’un vecteur sera écrit en caractères gras, par exemple, 𝐴. Dans d’autres documents, vous pouvez voir des vecteurs notés de différentes manières, par exemple, avec une demi-flèche au-dessus:A.

Maintenant, regardons les deux vecteurs illustrés sur le graphique ci-dessous:

Quel serait le résultat de l’addition des vecteurs 𝐴 et 𝐵?On peut résoudre cela en utilisant le graphique. Imaginons que nous déplaçons le vecteur 𝐵 pour que « l’origine » de la flèche (l’extrémité sans la pointe de la flèche) soit au même point sur la grille que la « pointe » de la flèche (l’extrémité avec la pointe de la flèche) qui représente le vecteur 𝐴. Ceci est illustré par le graphique ci-dessous:

Notons que la longueur et la direction du vecteur 𝐵 n’ont pas changé. Il a simplement été traduit sur le graphique. La somme des deux vecteurs est maintenant donnée par un vecteur, 𝑉, qui va de « l’origine » du vecteur 𝐴 à la « pointe » du vecteur 𝐵, comme indiqué par la flèche magenta sur le graphique ci-dessous:

On aurait également pu faire la même chose dans l’autre sens. On aurait pu déplacer l’origine de 𝐴 à la pointe du vecteur 𝐵, et on aurait obtenu le même résultat, comme indiqué ci-dessous:

Quand on additionne des vecteurs en utilisant cette méthode, peu importe l’ordre dans lequel on les ajoute, tant qu’on place les vecteurs bout à bout, sans changer la longueur ou la direction de chaque vecteur.

On peut également utiliser cette méthode pour additionner plus que deux vecteurs. On peut observer ci-dessous trois vecteurs dans un graphique.

On peut trouver la somme des trois vecteurs, 𝑉, en les plaçant bout à bout, comme illustré ci-dessous:

Le vecteur résultant, 𝑉, commence toujours de l’origine du premier vecteur à la pointe du dernier vecteur. Cette méthode peut être utilisée pour ajouter un nombre quelconque de vecteurs.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1: Additionner deux vecteurs graphiquement

Lequel des vecteurs 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 et 𝑇 représenté sur le graphique est égal à 𝐴+𝐵?

Réponse

Commençons par redessiner le graphique, en mettant en évidence les vecteurs 𝐴 et 𝐵 et en noircissant les autres:

On peut trouver la somme de 𝐴 et 𝐵 graphiquement en déplaçant le vecteur 𝐵 pour que « l’origine » de la flèche soit sur « l’origine » de la flèche représentant le vecteur 𝐴. En voici une illustration ci-dessous:

Le vecteur résultant est celui qui part de l’origine du vecteur 𝐴 jusqu’à la pointe du vecteur 𝐵, c’est le vecteur 𝑄.

Exemple 2: Ajouter graphiquement trois vecteurs

Lequel des vecteurs 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 et 𝑇 représenté sur le graphique est égal à 𝐴+𝐵+𝐶?

Réponse

Commençons par redessiner le graphique, en mettant en évidence les vecteurs 𝐴, 𝐵 et 𝐶 et en noircissant les autres:

On peut trouver la somme de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 graphiquement en déplaçant les vecteurs 𝐵 et 𝐶 de sorte que les « origines » de chaque flèche soient sur les « pointes » de chacune des flèches précédentes. Ceci est illustré ci-dessous:

Le vecteur résultant est celui qui part de l’origine du vecteur 𝐴 jusqu’à la pointe du vecteur 𝐶, c’est le vecteur 𝑄.

Rappelons que l’on peut également représenter des vecteurs de manière algébrique. Dans le graphique ci-dessous, le vecteur 𝐴 peut s’écrire 2𝑖+3𝑗, avec 𝑖 et 𝑗 qui sont des vecteurs unitaires. Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1 qui pointe selon l’un des axes. Le vecteur unitaire 𝑖 pointe selon l’axe 𝑥, et le vecteur unitaire 𝑗 pointe selon l’axe 𝑦. La composante horizontale de 𝐴 a une longueur de 2 carrés de la grille, sa composante horizontale peut donc s’écrire 2𝑖 , ou « deux fois le vecteur unitaire selon l’axe 𝑥 ». La composante verticale de 𝐴 a une longueur de 3 carrés de la grille, sa composante verticale peut donc s’écrire 3𝑗, ou « trois fois le vecteur unitaire selon l’axe 𝑦 ». Ainsi, on a le vecteur 𝐴=2𝑖+3𝑗.

Si on sait quelles sont les composantes horizontale et verticale de deux vecteurs ou plus, on peut déterminer la somme de ces vecteurs de manière algébrique.

Le graphique ci-dessous montre deux vecteurs:

On peut voir sur le graphique que le vecteur 𝐴 a une longueur de 4 carrés selon la direction 𝑥 et de 1 carré selon la direction 𝑦. Le vecteur 𝐵 a une longueur de 3 carrés selon la direction 𝑥 et de 3 carrés selon la direction 𝑦. On peut donc écrire:𝐴=4𝑖+1𝑗,𝐵=3𝑖+3𝑗.

Afin de trouver ce que représente 𝐴+𝐵, on ajoute simplement chacune des composantes 𝑥 et chacune des composantes 𝑦, ce qui nous donne:𝐴+𝐵=(4+3)𝑖+(1+3)𝑗𝐴+𝐵=7𝑖+4𝑗.

Notons que si l’une des composantes d’un vecteur a un signe moins devant elle, on doit inclure ce signe lorsque l’on ajoute les composantes 𝑥 et 𝑦 de deux vecteurs ou plus. Par exemple, si:𝐴=4𝑖2𝑗,, on doit voir cela comme:𝐴=4𝑖+(2)𝑗. Donc, si l’on ajoute les deux vecteurs:𝐴=4𝑖2𝑗,𝐵=3𝑖+3𝑗, Pour les composantes 𝑦, on ajouterait 2 et 3, et on obtiendrait:𝐴+𝐵=(4+3)𝑖+((2)+3)𝑗𝐴+𝐵=7𝑖+1𝑗.

Regardons quelques exemples de questions supplémentaires.

Exemple 3: Additionner deux vecteurs donnés sous forme de composantes

Considérons deux vecteurs 𝐴 et 𝐵, avec 𝐴=2𝑖+3𝑗 et 𝐵=7𝑖+5𝑗. Calcule 𝐴+𝐵.

Réponse

Afin de trouver 𝐴+𝐵, il faut ajouter les composantes 𝑥 et les composantes 𝑦 de chaque vecteur, on a donc:𝐴+𝐵=(2+7)𝑖+(3+5)𝑗𝐴+𝐵=9𝑖+8𝑗.

On a maintenant la somme de ces deux vecteurs, écrite sous forme de composantes.

Exemple 4: Additionner deux vecteurs donnés sous forme de composantes

Considérons deux vecteurs:𝐴 et 𝐵. 𝐴=3𝑖3𝑗 et 𝐵=4𝑖+9𝑗. Calcule 𝐴+𝐵.

Réponse

Afin de trouver 𝐴+𝐵 , il faut ajouter les composantes 𝑥 et les composantes 𝑦 de chaque vecteur. On ne doit pas oublier d’inclure les signes moins avant les nombres dans notre calcul. En faisant cela, on obtient:𝐴+𝐵=(3+(4))𝑖+((3)+9)𝑗𝐴+𝐵=1𝑖+6𝑗.

On a maintenant la somme de ces deux vecteurs, écrite sous forme de composantes.

On peut aussi relier l’addition de deux vecteurs graphiquement et l’addition de deux vecteurs de manière algébrique, comme c’est le cas dans la question suivante.

Exemple 5: Ajouter deux vecteurs illustrés sur un graphique et donner le résultat sous forme de composantes

Le graphique montre deux vecteurs:𝐴 et 𝐵. Les carrés de la grille sur le graphique ont un côté de 1. Qu’est-ce que 𝐴+𝐵 sous forme de composantes?

Réponse

Il y a deux façons de résoudre ce problème.

La première consiste à additionner graphiquement les vecteurs, puis à déterminer les composantes du résultat. Le graphique ci-dessous montre les deux vecteurs additionnés, avec le vecteur 𝐵 déplacé de sorte que son origine soit à la pointe du vecteur 𝐴. Le vecteur 𝑉 est le résultat:

On peut voir sur le graphique que le vecteur 𝑉 a une composante horizontale de 3𝑖 et une composante verticale de 5𝑗, il peut donc s’écrire 𝑉=3𝑖+5𝑗. C’est notre réponse.

La deuxième façon dont on aurait pu résoudre la question est simplement en déterminant les composantes vectorielles de 𝐴 et 𝐵 puis en ajoutant les composantes 𝑥 et 𝑦 de chaque vecteur. D’après le graphique original, on peut voir que:𝐴=2𝑖+4𝑗,𝐵=5𝑖+1𝑗, donc 𝐴+𝐵=(2+(5))𝑖+(4+1)𝑗𝐴+𝐵=3𝑖+5𝑗.

Comme vous pouvez le voir, on obtient le même résultat. Quand on ajoute deux vecteurs graphiquement ou algébriquement, on effectue la même opération sur les vecteurs.

Points clés

  • On peut ajouter graphiquement deux vecteurs ou plus en les plaçant de sorte que « l’origine » de chaque vecteur soit située à la « pointe » du vecteur précédent.
  • On peut ajouter deux vecteurs ou plus algébriquement en ajoutant les composantes 𝑥 et 𝑦 de chaque vecteur.
  • Additionner des vecteurs graphiquement ou algébriquement sont deux façons différentes d’effectuer la même opération sur des vecteurs.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.