Transcription de la vidéo
Un plan passe par le point de coordonnées moins deux, moins deux, trois et a pour vecteur normal moins quatre, un, moins quatre. Déterminez son équation sous forme vectorielle.
Dans ce cas, nous avons un plan qui est orienté par rapport à un repère de coordonnées 𝑥𝑦𝑧. On nous indique que ce plan a un vecteur normal, que nous allons appeler 𝐧, avec des composantes moins quatre, un, moins quatre. Nous savons également que notre plan contient le point, que nous appellerons 𝑃 zéro, de coordonnées moins deux, moins deux, trois.
Sachant tout cela, nous voulons déterminer l'équation vectorielle de ce plan. Nous pouvons rappeler qu’une équation de plan sous forme vectorielle est donnée par cette expression. Si nous prenons le produit scalaire d'un vecteur normal au plan et d'un vecteur position d’un point quelconque du plan, cela est égal au produit scalaire de ce même vecteur normal et d'un vecteur position d'un point connu du plan. Dans notre cas, ce point connu est 𝑃 zéro et le vecteur position de ce point, que nous appelons 𝐫 zéro, ressemble à ceci. Le vecteur 𝐫 zéro a des composantes égales aux coordonnées du point 𝑃 zéro. Nous connaissons aussi les composantes d'un vecteur normal à notre plan, ainsi que les composantes d'un vecteur position d'un point connu du plan. Nous pouvons maintenant utiliser toutes ces informations pour déterminer l'équation vectorielle du plan.
Nous remplaçons dans cette équation 𝐧 par le vecteur moins quatre, un, moins quatre. Nous laissons le vecteur 𝐫 qui, comme nous l'avons dit, est un vecteur position d'un point arbitraire du plan. Ensuite, pour 𝐫 zéro, nous utilisons le vecteur moins deux, moins deux, trois. Nous pouvons simplifier un peu ce résultat en calculant ce produit scalaire. Rappelez-vous que cela consiste à multiplier les composantes respectives de ces deux vecteurs. Nous obtenons donc huit moins deux moins 12, soit moins six. Nous avons maintenant simplifié autant que nous le pouvions. L’équation vectorielle de notre plan est le produit scalaire du vecteur moins quatre, un, moins quatre et 𝐫 qui est égal à moins six.
