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On suppose que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction 𝑓 de 𝑥 est cinq, la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction 𝑔 de 𝑥 est huit, et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction ℎ de 𝑥 est neuf. Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction combinée 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥.
Soit 𝑢 de 𝑥 égale à la fonction combinée 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 moins ℎ de 𝑥. Précisons l'ordre des opérations dans la fonction mixte 𝑢 de 𝑥 dont on cherche la limite lorsque 𝑥 tend vers trois. En rappelant l'acronyme PEMDAS, on comprend que la multiplication précède la soustraction. Il faut d'abord multiplier la fonction 𝑓 de 𝑥 par la fonction 𝑔 de 𝑥, puis soustraire la fonction ℎ de 𝑥 pour obtenir la fonction 𝑢 de 𝑥. On veut trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction 𝑢 de 𝑥. Pour cela, on va utiliser les propriétés suivantes des limites.
Premièrement, la limite d'une différence de fonctions est la différence de leurs limites où l'ordre de la différence est conservé. Deuxièmement, la limite d'un produit de fonctions est le produit de leurs limites. La limite que l'on nous demande de trouver dans la question est une différence de la fonction combinée 𝑓 fois 𝑔 et de la fonction ℎ. En utilisant la première propriété, on peut donc réécrire la limite en question comme la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction combinée 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction ℎ de 𝑥.
On peut ensuite utiliser la deuxième propriété pour réécrire la limite lorsque 𝑥 tend vers trois du produit 𝑓 de 𝑥 𝑔 de 𝑥 comme le produit de la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 avec la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥. Il ne reste plus qu'à substituer les limites de 𝑓, 𝑔 et ℎ lorsque 𝑥 tend vers trois par les valeurs données dans l’énoncé. La limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 égale cinq. La limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥 égale huit. Et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de ℎ de 𝑥 égale neuf. En calculant cinq fois huit moins neuf, on obtient 40 moins neuf, soit 31. On obtient donc que la limite en question est bien égale à 31.
