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Déterminez l’ensemble solution de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 185 égal zéro sur l’ensemble des nombres complexes.
Bien, ce que nous allons faire ici, c’est résoudre cette équation du second degré. Et la manière dont je vais aborder cela va être la suivante, je vais d’abord soustraire 185 à chaque membre de cette équation. Et cela me donne 𝑥 au carré moins huit 𝑥 sur le membre gauche et moins 185 sur le membre droit. Je me retrouve donc avec un 𝑥 carré sur le côté gauche moins huit 𝑥.
Maintenant, nous allons utiliser ce que nous avons appris pour écrire sous la forme d’un carré. On peut avoir comme première idée d’exprimer par 𝑥 moins quatre le tout au carré ou 𝑥 moins quatre facteur de 𝑥 moins quatre. Comme nous avions un 𝑥 au carré, nous avons juste eu un 𝑥 et un 𝑥 ici. Et comme nous avions moins huit 𝑥 ici, nous allons prendre la moitié de moins huit, ce qui donne moins quatre.
Maintenant, quand je multiplie cela, je trouve 𝑥 fois 𝑥 qui donne 𝑥 au carré, 𝑥 fois moins quatre qui donne moins quatre 𝑥, moins quatre fois 𝑥 qui donne un autre moins quatre 𝑥 et moins quatre fois moins quatre qui donne plus 16. Donc, 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins quatre 𝑥 plus 16. Eh bien, moins quatre 𝑥 moins quatre 𝑥 vaut moins huit 𝑥.
Donc, il s’avère que je peux supposer que nous avons légèrement tort. Ceci ici, 𝑥 moins quatre au carré, n’est pas tout à fait égal à 𝑥 au carré moins huit 𝑥. Oui, il y a 𝑥 au carré moins huit 𝑥, mais il y a aussi un plus 16 en trop - un 16 ajouté en trop. Donc, si je retirais ce 16 de 𝑥 moins quatre facteur de 𝑥 moins quatre, alors je me retrouverais avec 𝑥 au carré moins huit 𝑥. Ainsi, 𝑥 moins quatre au carré moins 16 est égal à 𝑥 au carré moins huit 𝑥 et cela vaut moins 185. Eh bien, j’essaie de résoudre cette équation d’inconnue 𝑥. Je vais ajouter 16 aux deux membres et cela me donne 𝑥 moins quatre le tout au carré à gauche et moins 169 au membre de droite.
Et pour résoudre cette équation d’inconnue 𝑥, nous allons devoir prendre les racines carrées des deux membres afin que, quand on a ici 𝑥 moins quatre au carré, nous ayons juste 𝑥 moins quatre. Mais nous rencontrons un léger problème car il n’y a pas de solutions réelles pour la racine carrée de moins 169. Donc, je vais réexprimer le moins 169 comme 169 fois moins un.
Ainsi, en prenant la racine carrée du membre de gauche, cela me donne juste 𝑥 moins quatre et pour le membre de droite, la racine carrée de 169 est 13. Donc, en fait, il y a deux solutions ici. Le moins 13 nous donnerait également 169 si nous le mettions au carré.
Et puis nous pouvons utiliser la définition des nombres imaginaires ; 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc 𝑖 est la racine carrée de moins un, ce qui signifie que la racine carrée de moins un est 𝑖. Donc 𝑥 moins quatre est égal à plus ou moins 13𝑖. Maintenant, si j’ajoute quatre à chaque membre de l’équation, j’obtiens 𝑥 au membre de gauche et plus ou moins 13𝑖 plus quatre ou quatre plus ou moins 13𝑖 au membre de droite.
Maintenant, si nous regardons la question depuis le début, on nous a demandé de déterminer l’ensemble de solutions. Donc, je dois écrire cela avec la notation des ensembles solution. L’ensemble solution contient deux valeurs quatre plus 13𝑖 et quatre moins 13𝑖.
