Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré dont les racines sont des nombres complexes. Nous allons d’abord apprendre à résoudre des équations à solutions complexes, puis nous verrons ce qu’apporte l’utilisation des nombres complexes à la compréhension de la formule quadratique et du discriminant. Enfin, nous apprendrons à retrouver une équation du second degré dont on connaît une racine complexe.
En explorant les concepts des nombres, nous avons rencontré des équations ne possédant aucune solution, ou du moins aucune solution réelle. Mais l’introduction des nombres complexes ouvre de nouveaux horizons pour ce genre d’équations.
Soit l’équation deux 𝑥 au carré égale moins huit. Pour résoudre cette équation, on commence par diviser par deux. On obtient 𝑥 au carré égale moins quatre. Calculons la racine carrée de chaque membre de l’équation.
Jusque là, on disait que cette équation, dont la solution est la racine carrée d’un nombre négatif, n’a pas de solutions réelles. Bien sûr, cette affirmation est tout à fait exacte. Mais on n’est plus limité aux nombres réels. On a maintenant les nombres imaginaires. Ceux-ci font intervenir la lettre 𝑖, où 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Mais on dit souvent que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. Cela nous permet maintenant de résoudre l’équation en trouvant la racine carrée de moins quatre.
Pour trouver la racine carrée d’un nombre négatif, on le sépare en deux parties. Ainsi, par exemple, la racine carrée de moins 𝑎 est égale à la racine carrée de 𝑎 multiplié par moins un, qui est égale à la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de moins un. Et comme la racine carrée de moins un est 𝑖, la racine carrée de moins 𝑎 est 𝑖 racine de 𝑎. Dans cet exemple, 𝑥 est égal à plus ou moins 𝑖 racine de quatre. Et bien sûr, la racine carrée de quatre est deux. Donc, l’équation deux 𝑥 au carré égale moins huit a deux solutions : deux 𝑖 et moins deux 𝑖. Prenons une autre équation qu’on n’aurait pas pu résoudre auparavant.
Résolvez l’équation cinq 𝑥 au carré plus un égale moins 319.
Commençons par résoudre cette équation comme on le ferait pour toute autre, en effectuant une série d’opérations inverses. On commence par retrancher un de chaque côté de l’équation. Cinq 𝑥 au carré plus un moins un donne tout simplement cinq 𝑥 au carré. Et moins 319 moins un égale moins 320.
Ensuite, on divise par cinq. On obtient que 𝑥 au carré est égal à moins 64. La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation. La racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. Et rappelez-vous, on prend les racines positive et négative de moins 64. On obtient que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de moins 64.
Ensuite, on écrit le moins 64 comme 64 multiplié par moins un. Et on voit alors que la racine carrée de moins 64 est égale à la racine carrée de 64 multipliée par la racine carrée de moins un. La racine carrée de moins un est 𝑖, et la racine carrée de 64 est huit. Et on a résolu l’équation. 𝑥 a deux solutions. Huit 𝑖 et moins huit 𝑖.
En fait, on peut appliquer les méthodes usuelles de résolution d’équations pour résoudre les équations à racines non réelles. Dans le cas d’une équation du second degré, on pourrait se demander comment la factoriser. Mais on peut appliquer deux méthodes qui nous sont familières. Il s’agit de la formule quadratique et de la complétion du carré. Chaque méthode a des avantages et des inconvénients.
La formule quadratique est un peu plus pratique lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est différent de un. Nous allons voir qu’une partie de cette formule permet de déterminer la nature et le nombre de racines de l’équation. La méthode de complétion du carré est assez efficace lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est un.
Mais c’est une préférence très personnelle. Dans cette vidéo, nous utiliserons principalement la formule quadratique. Nous appliquerons les deux méthodes dans le prochain exemple. Rappelons la formule quadratique et le discriminant. Pour une équation du second degré 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎 est différent de zéro, les racines sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Le discriminant permet de déterminer la nature des racines de l’équation. C’est la partie de la formule qui se trouve sous la racine carrée : 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐.
De manière logique, si le discriminant est supérieur à zéro, la racine carrée du discriminant est un nombre réel. Cela implique que l’équation possède deux racines réelles. Si le discriminant est égal à zéro, il y a exactement une solution. On l’appelle racine double. Elle se produit lorsque le sommet de la courbe touche exactement une fois l’axe des 𝑥. Et qu’en est-il si le discriminant est inférieur à zéro ? Eh bien, on a vu que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel. Il n’y a donc pas de racines réelles. Cela signifie que la courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥. Voyons un exemple d’équation du second degré à racines non réelles.
Résolvez l’équation du second degré 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit égale zéro. Avant de résoudre cette équation, on peut déterminer la nature des racines de l’équation en calculant le discriminant. Pour rappel, le discriminant d’une équation de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro est égal à 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. On le note par un petit triangle appelé delta.
Dans notre équation, 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré. C’est un. 𝑏 est le coefficient de 𝑥. C’est moins quatre. Et 𝑐 est la constante. C’est huit. Le discriminant de l’équation est donc moins quatre au carré moins quatre multiplié par un multiplié par huit, ce qui donne moins 16.
On sait que si le discriminant est supérieur à zéro, l’équation a deux racines réelles. S’il est égal à zéro, elle a exactement une racine réelle. Et s’il est inférieur à zéro, il n’y a pas de racines réelles. Le discriminant est inférieur à zéro. Donc, l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit égale zéro n’a pas de racines réelles.
Sachant qu’elle possède deux racines complexes, nous allons résoudre cette équation à l’aide de la formule quadratique. Les solutions de l’équation sont moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.
On a déjà vu que 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à moins 16 dans notre exemple Ainsi, les solutions de cette équation du second degré sont moins moins quatre plus ou moins racine carrée de moins 16 sur deux fois un. Cela se simplifie à quatre plus ou moins racine carrée de moins 16 sur deux.
On va alors réécrire la racine carrée de moins 16 comme la racine carrée de 16 multipliée par la racine carrée de moins un. C’est utile car on sait que la racine carrée de 16 est quatre et la racine carrée de moins un est 𝑖. Donc 𝑥 est égal à quatre plus ou moins quatre 𝑖 sur deux. Et on peut simplifier. Les solutions de cette équation du second degré sont donc 𝑥 égale deux plus deux 𝑖 et 𝑥 égale deux moins deux 𝑖.
Mais ce n’est pas la seule méthode pour résoudre cette équation. On peut la résoudre par complétion du carré. C’est une question de préférence personnelle dans cet exemple. Voyons ce que ça donne.
On commence par diviser par deux le coefficient de 𝑥. Moins quatre sur deux égale moins deux. On écrit donc 𝑥 moins deux au carré. Or, moins deux au carré égale quatre. Donc on soustrait ce quatre, puis on ajoute ce huit. Et bien sûr, c’est égal à zéro.
On simplifie un peu cette équation, on obtient 𝑥 moins deux au carré plus quatre égale zéro. Résolvons ceci en retranchant quatre de chaque côté. On obtient 𝑥 moins deux au carré égale moins quatre. Prenons la racine carrée de chaque côté de cette équation. La racine carrée de 𝑥 moins deux au carré est 𝑥 moins deux. Rappelez-vous, on prend les racines positive et négative de moins quatre. On a donc 𝑥 moins deux égale plus ou moins racine carrée de moins quatre.
En utilisant la même méthode que précédemment, on voit que la racine carrée de moins quatre est deux 𝑖. On termine la résolution en ajoutant deux de chaque côté de l’équation. Et on trouve à nouveau que les solutions de cette équation sont deux plus deux 𝑖 et deux moins deux 𝑖.
Mais ce n’est pas un hasard si les racines de l’équation sont conjuguées l’une de l’autre. Il est bien logique, surtout avec cette deuxième méthode de résolution, que c’est vrai pour toute équation du second degré à racines complexes.
On peut affirmer que les racines non réelles d’une équation du second degré à coefficients réels sont conjuguées. Et il en existe une jolie petite preuve. Soit une équation du second degré de la forme 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Soit 𝛼 une solution de cette équation. Soit 𝛼 étoile le conjugué de 𝛼.
On va substituer ce conjugué dans notre équation. On obtient 𝑎 multiplié par 𝛼 étoile au carré plus 𝑏 multiplié par 𝛼 étoile plus 𝑐. Il faut rappeler ici que le conjugué du produit de deux nombres complexes quelconques est égal au produit de leurs conjugués. Cela implique que le carré du conjugué de la solution est égal au conjugué de son carré.
La première partie devient 𝑎 multiplié par 𝛼 au carré étoile. 𝑎, 𝑏 et 𝑐 étant des nombres réels — rappelons que cette équation du second degré est à coefficients réels, de plus le conjugué d’un nombre réel est égal à ce nombre — on peut la réécrire ainsi. Enfin, rappelons que, pour deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux, le conjugué de leur somme est égal à la somme de leurs conjugués. Et on voit que 𝑓 de 𝛼 étoile est égal à 𝑎 multiplié par 𝛼 au carré plus 𝑏 multiplié par 𝛼 plus 𝑐 étoile.
Or, on a dit que 𝛼 était une solution de l’équation. Cela signifie que 𝑎 𝛼 au carré plus 𝑏𝛼 plus 𝑐 est égal à zéro. Et bien sûr, le conjugué de zéro est zéro. On a montré que 𝑓 de 𝛼 étoile est égal à zéro, donc 𝛼 étoile est également une solution de cette équation. C’est le théorème des racines conjuguées, et il s’étend à la résolution de polynômes. Nous allons voir des exemples où ce théorème permet de résoudre des problèmes impliquant des équations du second degré.
Les nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des réels, sont les racines d’une équation du second degré à coefficients réels.
Sachant que 𝑏 est différent de zéro, quelles conditions éventuelles doivent vérifier 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 ?
D’après l’énoncé, 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 sont les racines d’une équation du second degré à coefficients réels. Une telle équation est de la forme 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, mais il ne faut pas confondre ces 𝑎, 𝑏 et 𝑐 avec les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 de nos nombres complexes. Nous allons donc l’écrire 𝑝 𝑥 au carré plus 𝑞𝑥 plus 𝑟 égale zéro.
On sait maintenant que les racines non réelles d’une équation du second degré à coefficients réels sont des nombres complexes conjugués. Rappelons que, pour trouver le conjugué, on change le signe de la partie imaginaire. Ainsi, le conjugué de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et d’après ce théorème, 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 sont des nombres complexes conjugués. Cela signifie que le conjugué de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑐 plus 𝑑𝑖. Donc, 𝑎 moins 𝑏𝑖 est égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖.
Or, si deux nombres complexes sont égaux, leurs parties réelles sont égales. Donc, ici, 𝑎 égale 𝑐. Et leurs parties imaginaires doivent aussi être égales. On écrit l’égalité des parties imaginaires. On obtient que moins 𝑏 égale 𝑑. Ainsi, les conditions que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 doivent vérifier sont que 𝑎 doit être égal à 𝑐 et moins 𝑏 doit être égal à 𝑑. Nous allons à présent utiliser la nature des racines complexes des équations du second degré pour retrouver une équation à partir d’une de ses racines.
Trouvez l’équation du second degré à coefficients réels dont une des racines est cinq plus 𝑖.
On sait que cinq plus 𝑖 est une racine de cette équation du second degré. Pour rappel, les racines non réelles d’une équation du second degré à coefficients réels sont des nombres complexes conjugués. Pour trouver le conjugué, on inverse le signe de la partie imaginaire. On en déduit que les racines de cette équation sont cinq plus 𝑖 et cinq moins 𝑖. Donc, l’équation du second degré est de la forme 𝑥 moins cinq plus 𝑖 multiplié par 𝑥 moins cinq moins 𝑖 égale zéro. Cela vient du fait que lorsqu’on résout une équation du second degré factorisée, on fixe à zéro chaque expression entre parenthèses.
Donc, ici, on a 𝑥 moins cinq plus 𝑖 égale zéro et 𝑥 moins cinq moins 𝑖 égale zéro. On résout cette première équation en ajoutant cinq plus 𝑖 de chaque côté. Et on obtient que 𝑥 est égal à cinq plus 𝑖. Puis on résout la deuxième équation en ajoutant cinq moins 𝑖 de chaque côté. Et on obtient la deuxième racine 𝑥 égale cinq moins 𝑖.
Nous allons développer ce produit. Nous allons dessiner un tableau car il y a beaucoup de termes, ce qui pourrait causer des erreurs. 𝑥 multiplié par 𝑥 égale 𝑥 au carré. 𝑥 multiplié par moins cinq plus 𝑖 égale moins 𝑥 cinq plus 𝑖. De même, on obtient moins 𝑥 multiplié par cinq moins 𝑖. Et moins cinq plus 𝑖 multiplié par moins cinq moins 𝑖 égale plus cinq moins 𝑖 multiplié par cinq plus 𝑖. Nous allons développer ce produit par distributivité.
On multiplie le premier terme de la première parenthèse par le premier terme de la deuxième parenthèse, ce qui donne 25. On multiplie les deux termes aux extrémités — ce qui donne cinq 𝑖 — et les deux termes centraux — ce qui donne moins cinq 𝑖. Et cinq 𝑖 moins cinq 𝑖 égale zéro. Donc, ils s’annulent. Et puis on multiplie les derniers termes de chaque paire de parenthèses. Moins 𝑖 multiplié par 𝑖 égale moins 𝑖 au carré. Comme 𝑖 au carré est égal à moins un, le développement de ces parenthèses donne 25 moins moins un, soit 26. Donc, notre équation du second degré est 𝑥 au carré moins 𝑥 multiplié par cinq plus 𝑖 moins 𝑥 multiplié par cinq moins 𝑖 plus 26.
Regroupons les termes similaires. On obtient 𝑥 au carré moins cinq plus 𝑖 plus cinq moins 𝑖 multiplié par 𝑥 plus 26. 𝑖 moins 𝑖 égale zéro. On obtient 𝑥 carré moins 10𝑥 plus 26 égale zéro.
Mais il existe une formule qui permet de gagner du temps. Si une équation du second degré à racines réelles possède une solution complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖, cette équation s’écrit 𝑥 au carré moins deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale zéro. 𝑎 est la partie réelle de la solution. Ici, c’est cinq. Et 𝑏 est la partie imaginaire. Dans notre solution, c’est un.
On peut appliquer la formule à notre nombre complexe. On obtient 𝑥 au carré moins deux fois cinq fois 𝑥 plus cinq au carré plus un au carré. Deux fois cinq font 10, et cinq au carré plus un au carré font 26. On obtient bien la même équation du second degré. On constate que cette formule permet effectivement de gagner du temps.
Dans cette vidéo, on a appris que la formule quadratique ou la complétion du carré permettent de résoudre des équations sans racines réelles et donnent des solutions sous forme de nombres complexes. On a également vu que ces solutions sont des nombres complexes conjugués. On a également appris à retrouver une équation du second degré à partir de l’une de ses solutions complexes. Si la solution est 𝑎 plus 𝑏𝑖, cette équation du second degré est 𝑥 au carré moins deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale zéro.