Vidéo : Résolution d’équations quadratiques avec des racines complexes

Dans cette vidéo, nous apprendrons à résoudre des équations quadratiques dont les racines sont des nombres complexes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à résoudre des équations quadratiques dont les racines sont des nombres complexes. Nous commencerons par apprendre à résoudre des équations simples qui ont des solutions complexes, puis nous verrons ce que l’introduction de l’ensemble de nombres complexes fait à notre compréhension de la formule quadratique et du discriminant. Enfin, nous apprendrons à reconstruire une équation quadratique à partir d’une racine complexe.

Au cours de notre exploration du concept des nombres, nous aurons rencontré des équations qui n’ont pas de solutions ou du moins celles que nous supposons n’avoir pas de solutions réelles. Cependant, l’introduction de l’ensemble des nombres complexes ouvre un tout nouveau monde quand il s’agit de ce type d’équations.

Considérons l’équation deux 𝑥 au carré égale moins huit. Pour résoudre cette équation, nous commençons par diviser par deux. Cela nous dit que 𝑥 au carré est égal à moins quatre. Nous trouverons alors la racine carrée des deux côtés de l’équation.

Dans le passé, nous aurions pu dire que cette équation, dont la solution est trouvée en trouvant la racine carrée d’un nombre négatif, n’a pas réellement de solutions réelles. Et bien sûr, cette affirmation serait tout à fait correcte. Cependant, nous ne traitons plus uniquement de chiffres réels. Nous avons maintenant l’ensemble de nombres imaginaires. Et nous rappelons que ceux-ci tournent autour de la lettre unique 𝑖, où 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré est égale à moins un. Mais nous disons souvent que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. Et cela signifie que nous pouvons maintenant résoudre notre équation en trouvant la racine carrée de moins quatre.

Pour trouver la racine carrée d’un nombre négatif, nous le séparons. Ainsi, par exemple, la racine carrée de moins 𝑎 est la même que la racine carrée de 𝑎 multipliée par moins un, qui à son tour est égale à la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de moins un. Et puisque la racine carrée de moins un est 𝑖, nous voyons que la racine carrée de moins 𝑎 est la même que 𝑖 racine 𝑎. Dans cet exemple, 𝑥 est égal à plus ou moins 𝑖 racine quatre. Et bien sûr, la racine carrée de quatre est deux. Et nous voyons que l’équation deux 𝑥 au carré est égale à moins huit a deux solutions : deux 𝑖 et moins deux 𝑖. Prenons une autre équation que nous n’aurions pas pu résoudre auparavant.

Résolvez l’équation cinq 𝑥 au carré plus un égal à moins 319.

Nous pouvons commencer par résoudre cette équation comme nous le ferions pour toute autre, en effectuant une série d’opérations inverses. Nous commencerons par soustraire un des deux côtés de l’équation. Cinq 𝑥 au carré plus un moins un est tout simplement cinq 𝑥 au carré. Et moins 319 moins un est moins 320.

Ensuite, nous divisons par cinq. Et nous voyons que 𝑥 au carré est égal à moins 64. Notre dernière étape consiste à trouver la racine carrée des deux côtés de l’équation. La racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. Et rappelez-vous, nous pouvons prendre à la fois les racines positives et négatives de moins 64. Et nous voyons que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de moins 64.

À ce stade, nous choisissons de réécrire le moins 64 comme 64 multiplié par moins un. Et nous voyons alors que la racine carrée du moins 64 est la même que la racine carrée du 64 multipliée par la racine carrée de moins un. La racine carrée de moins un est cependant 𝑖, et la racine carrée de 64 est huit. Et nous avons fini de résoudre notre équation. 𝑥 a deux solutions. C’est huit 𝑖 et moins huit 𝑖.

Maintenant, en fait, nous pouvons appliquer les méthodes habituelles de résolution d’équations pour nous aider à résoudre toute équation avec des racines non réelles. Dans le cas d’une équation quadratique, nous pourrions avoir du mal à factoriser une expression quadratique. Mais nous pouvons appliquer les deux autres méthodes auxquelles nous sommes confiants. Ce sont la formule quadratique et la complétion du carré. Et il y a des avantages et des inconvénients dans les deux cas.

La formule quadratique peut être un peu plus agréable à utiliser lorsque le coefficient de 𝑥 au carré n’est pas égal à un. Et nous verrons dans un instant que nous pouvons utiliser une partie de la formule pour nous aider à trouver la nature et le nombre de racines de l’équation. Cependant, l’achèvement de la méthode du carré peut être assez efficace lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un.

Maintenant, c’est une préférence très personnelle. Nous utiliserons la formule quadratique principalement tout au long de cette vidéo. Ensuite, nous examinerons les deux méthodes lors de notre prochain exemple. Rappelons-nous la formule quadratique et le discriminant. Pour une équation quadratique donnée par 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎 n’est pas égal à zéro, les racines sont données par 𝑥 est moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et nous utilisons le discriminant pour trouver la nature des racines de l’équation. C’est la partie de la formule qui se trouve à l’intérieur de la racine carrée : 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐.

Il est logique que si le discriminant est supérieur à zéro, la racine carrée du discriminant sera un nombre réel. Et cela signifie qu’il y aura deux vraies racines pour notre équation. Si la valeur du discriminant est égale à zéro, il y aura exactement une solution. Ceci est connu comme une racine répétée. Elle se produit lorsque le point de retournement de la courbe touche exactement une fois l’axe 𝑥. Et si la valeur est inférieure à zéro ? Eh bien, nous avons vu que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un vrai nombre. Il n’y a donc pas de véritables racines. Cela signifie que la courbe ne coupe pas réellement l’axe 𝑥. Regardons un exemple d’une équation quadratique qui a des racines non réelles.

Résoudre l’équation quadratique 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit égale zéro. Avant de résoudre cette équation, nous pouvons, si nous le voulons, revérifier la nature des racines de l’équation en trouvant la valeur du discriminant. Rappelez-vous que le discriminant d’une équation de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro est donné par la formule 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Et c’est parfois indiqué par ce petit triangle.

Dans notre équation, 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré. C’est un. 𝑏 est le coefficient de 𝑥. C’est moins quatre. Et 𝑐 est la constante. Il est huit heures. Le discriminant de notre équation est donc moins quatre au carré moins quatre multiplié par un multiplié par huit, ce qui est moins 16.

Nous savons que si le discriminant est supérieur à zéro, l’équation a deux racines réelles. S’il est égal à zéro, il a exactement une racine réelle. Et s’il est inférieur à zéro, il n’a pas de véritables racines. Notre discriminant est inférieur à zéro. Donc, l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit égale zéro n’a pas de racines réelles.

Sachant que nous allons obtenir deux racines complexes, résolvons cette équation en examinant d’abord la formule quadratique. Les solutions de l’équation sont trouvées par moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

Nous avons déjà vu que 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 dans notre exemple est égal à moins 16. Ainsi, les solutions à notre équation quadratique sont données par moins moins quatre plus ou moins la racine carrée de moins 16 sur deux multiplié par un. Cela simplifie à quatre plus ou moins la racine carrée de moins 16 sur deux.

Et à ce stade, nous allons réécrire la racine carrée de moins 16 comme la racine carrée de 16 multipliée par la racine carrée de moins un. Et cela est utile car nous savons que la racine carrée de 16 est quatre et nous savons que la racine carrée de moins un est 𝑖. Donc 𝑥 est égal à quatre plus ou moins quatre 𝑖 sur deux. Et nous pouvons simplifier. Et nous voyons que les solutions à l’équation quadratique sont 𝑥 est égal à deux plus deux 𝑖 et 𝑥 est égal à deux moins deux 𝑖.

Maintenant, en fait, ce n’est pas la seule méthode pour résoudre cette équation. Nous aurions pu terminer la place. Et c’est une préférence très personnelle dans un exemple comme celui-ci. Voyons à quoi cela aurait ressemblé.

La première chose que nous faisons est de diviser par deux le coefficient de 𝑥. La moitié des moins quatre est moins deux. Nous écrivons donc 𝑥 moins deux tous au carré. Maintenant, moins deux au carré sont quatre. Nous soustrayons donc ces quatre, puis ajoutons cette valeur de huit. Et bien sûr, tout cela est égal à zéro.

Nous pouvons simplifier quelque peu notre équation, et nous obtenons 𝑥 moins deux tous au carré plus quatre est égal à zéro. Nous allons résoudre ce problème en soustrayant quatre des deux côtés. Et cela nous donne 𝑥 moins deux au carré équivaut à moins quatre. Nous allons ensuite trouver la racine carrée des deux côtés de cette équation. La racine carrée de 𝑥 moins deux au carré est 𝑥 moins deux. Et rappelez-vous, nous pouvons prendre à la fois les racines positives et négatives de moins quatre. Nous voyons donc que 𝑥 moins deux est égal à plus ou moins la racine carrée de moins quatre.

En utilisant maintenant la même méthode que précédemment, nous pouvons voir que la racine carrée de moins quatre est en fait la même que deux 𝑖. Et nous pouvons compléter cette solution en ajoutant deux des deux côtés de l’équation. Et encore une fois, nous voyons que les solutions de notre équation sont deux plus deux 𝑖 et deux moins deux 𝑖.

En fait, ce n’est pas un hasard si les racines de l’équation sont des conjugués complexes les uns des autres. Il est vraiment très logique, surtout compte tenu de notre deuxième méthode de résolution, que cela soit vrai pour toute équation quadratique à racines complexes.

On peut dire que les racines non réelles d’une équation quadratique à coefficients réels se produisent dans des paires conjuguées complexes. Et il y a en fait une belle petite preuve de cela. Disons que nous avons une équation quadratique de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Nous allons poser 𝛼 être une solution à cette équation. Et nous disons que 𝛼 étoile est le conjugué complexe à 𝛼.

Nous allons remplacer ce conjugué complexe dans notre équation. Et quand nous le faisons, nous obtenons 𝑎 multiplié par 𝛼 étoile tout carré plus 𝑏 multiplié par 𝛼 étoile plus 𝑐. Et ici nous rappelons le fait que, pour deux nombres complexes quelconques, le conjugué de leur produit est égal au produit de leurs conjugués. Cela signifie que le carré du conjugué de notre solution est égal au conjugué du carré.

Et nous voyons que la première partie devient 𝑎 multipliée par 𝛼 étoile au carré. Puisque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels - rappelez-vous, notre équation quadratique a des coefficients réels et nous savons également que le conjugué d’un nombre réel est juste ce nombre — cela peut être réécrit comme indiqué. Enfin, nous rappelons que, pour deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux, le conjugué de leur somme est égal à la somme de leurs conjugués. Et nous voyons que 𝑓 de 𝛼 étoile est égal à 𝑎 multiplié par 𝛼 au carré plus 𝑏 multiplié par 𝛼 plus 𝑐 étoile.

Maintenant, nous avons déjà dit que 𝛼 est une solution à l’équation. Cela signifie que 𝑎𝛼 étoile plus 𝑏𝛼 plus 𝑐 doit être égal à zéro. Et nous savons, bien sûr, que le conjugué de zéro est tout simplement zéro. Et nous avons vu que puisque 𝑓 de 𝛼 étoile est égale à zéro, 𝛼 étoile doit également être une solution à cette équation. Et en fait, cela s’appelle le théorème racine complexe conjugué. Et il peut être étendu à la résolution de polynômes. Jetons un coup d’œil à un certain nombre d’exemples où ce théorème peut être utilisé pour résoudre des problèmes impliquant des quadratiques.

Les nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des nombres réels, sont les racines d’une équation quadratique avec des coefficients réels.

Étant donné que 𝑏 n’est pas égal à zéro, quelles conditions, le cas échéant, doivent 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 satisfaire ?

Dans cette question, on nous dit que 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 sont des racines de notre équation quadratique avec des coefficients réels. Cette équation serait généralement de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, bien que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ne doivent pas être confondus avec les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans nos nombres complexes. Nous allons donc réécrire ceci comme 𝑝𝑥 au carré plus 𝑞𝑥 plus 𝑟 est égal à zéro.

Nous savons maintenant que les racines non réelles d’une équation quadratique à coefficients réels se produisent dans des paires conjuguées complexes. Et rappelez-vous, pour trouver le conjugué, nous changeons le signe de la partie imaginaire. Ainsi, le conjugué de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 doivent être des conjugués complexes l’un de l’autre par ce théorème. Cela signifie que le conjugué de 𝑎 plus 𝑏𝑖 doit être égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖. Nous disons donc que 𝑎 moins 𝑏𝑖 est égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖.

Et pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles doivent être égales. Alors ici, nous assimilons 𝑎 et 𝑐. Mais leurs parties imaginaires doivent également être égales. Nous assimilons donc les parties imaginaires. Et nous voyons que moins 𝑏 est égal à 𝑑. Ainsi, les conditions que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 doivent remplir ici sont que 𝑎 doit être égal à 𝑐 et moins 𝑏 doit être égal à 𝑑. Cette fois, nous allons utiliser notre connaissance de la nature des racines complexes des équations quadratiques pour reconstruire une équation donnée à l’une de ses racines.

Trouvez l’équation quadratique avec des coefficients réels qui a cinq plus 𝑖 comme l’une de ses racines.

On nous dit que cinq plus 𝑖 est une racine de l’équation quadratique. Et rappelez-vous, nous savons que les racines non réelles d’une équation quadratique qui a des coefficients réels se produisent dans des paires conjuguées complexes. Pour trouver le conjugué complexe, nous changeons le signe de la partie imaginaire. Et nous pouvons donc voir que les racines de notre équation sont cinq plus 𝑖 et cinq moins 𝑖. Et cela signifie que notre équation quadratique est de la forme 𝑥 moins cinq plus 𝑖 multipliée par 𝑥 moins cinq moins 𝑖 est égale à zéro. Et cela vient du fait que lorsque nous résolvons une équation quadratique en factorisant, nous égalisons chaque expression à l’intérieur des parenthèses à zéro.

Donc, dans ce cas, nous aurions 𝑥 moins cinq plus 𝑖 est égal à zéro et 𝑥 moins cinq moins 𝑖 est égal à zéro. Nous résoudrions cette première équation en ajoutant cinq plus 𝑖 des deux côtés. Et nous voyons que 𝑥 est égal à cinq plus 𝑖. Et nous résolvons la deuxième équation en ajoutant cinq moins 𝑖 des deux côtés. Et nous obtenons que la deuxième racine 𝑥 est égale à cinq moins 𝑖.

Nous allons devoir distribuer ces parenthèses. Utilisons la méthode de la grille ici car il y a un certain nombre de morceaux qui pourraient nous faire trébucher. 𝑥 multiplié par 𝑥 est 𝑥 au carré. 𝑥 multiplié par moins cinq plus 𝑖 est moins 𝑥 cinq plus 𝑖. De même, nous obtenons moins 𝑥 multiplié par cinq moins 𝑖. Et moins cinq plus 𝑖 multiplié par cinq moins moins 𝑖 nous donne cinq positifs moins 𝑖 multiplié par cinq plus 𝑖. Et nous distribuerons ces supports en utilisant la méthode FOIL.

La multiplication du premier terme de la première tranche par le premier terme de la deuxième tranche nous donne 25. Nous multiplions les deux termes externes — c’est-à-dire cinq 𝑖 — et les deux termes intérieurs — c’est-à-dire moins cinq 𝑖. Et cinq 𝑖 moins cinq 𝑖 est zéro. Donc, ceux-ci s’annulent. Et puis on multiplie les derniers termes. Moins 𝑖 multiplié par 𝑖 est moins 𝑖 au carré. Et puisque 𝑖 au carré est égal à moins un, nous voyons que ces parenthèses distribuent pour être 25 moins moins un, ce qui est égal à 26. Donc, notre équation quadratique est actuellement de la forme 𝑥 au carré moins 𝑥 multipliée par cinq plus 𝑖 moins 𝑥 multipliée de cinq moins 𝑖 plus 26.

Nous collectons des termes similaires. Et nous obtenons 𝑥 au carré moins cinq plus 𝑖 plus cinq moins 𝑖 multiplié par 𝑥 plus 26. 𝑖 moins 𝑖 est zéro. Et nous nous retrouvons avec 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 26 est égal à zéro.

Maintenant, il existe une formule que nous pouvons utiliser et qui nous fera gagner du temps. Si nous avons une équation quadratique avec des racines réelles et une solution compacte 𝑎 plus 𝑏𝑖, l’équation de ce quadratique est 𝑥 au carré moins deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale zéro. 𝑎 est la partie réelle de la solution. Voilà cinq. Et 𝑏 est la partie imaginaire. Dans notre solution, c’est un.

Nous pouvons remplacer ce que nous savons de notre nombre complexe dans la formule. Et nous obtenons 𝑥 au carré moins deux fois cinq fois 𝑥 plus cinq au carré plus un carré. Deux fois cinq, c’est 10, et cinq au carré plus un carré est 26. Et nous voyons encore une fois que nous avons la même équation quadratique. Et nous devrions être en mesure de voir maintenant pourquoi cette méthode peut nous faire gagner un peu de temps.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser la formule quadratique ou compléter le carré pour résoudre des équations sans racines réelles en donnant nos réponses sous forme de nombres complexes. Nous avons également vu que ces solutions se produisent dans des paires conjuguées complexes. Et nous avons également appris que nous pouvons reconstruire une équation quadratique compte tenu de l’une de ses solutions complexes. Si la solution est 𝑎 plus 𝑏𝑖, l’équation quadratique est 𝑥 au carré moins deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à zéro.

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