Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à approximer la racine 𝑛-ième d’un
nombre. Une autre façon de le dire, nous apprendrons à rapprocher les racines.
Tout d’abord, nous commencerons par définir ce que nous entendons par racines. Lorsque nous utilisons le mot racine, nous parlons d’une expression contenant le
symbole racine. Le symbole racine représente la racine carrée de tout ce qui se trouve sous la barre
de la racine. Si nous avons un trois comme exposant avec notre racine, nous appelons cela la racine
cubique. Avec un quatre, cela s’appelle la quatrième racine. Et puis le format général si on utilise une variable 𝑛, c’est la racine 𝑛-ième. Pour penser à ce que ces racines signifient, regardons quelques exemples.
Tout d’abord, la racine carrée de quatre demande quel nombre multiplié par lui-même
est égal à quatre. Nous savons que deux fois deux est égal à quatre, et cela rend la racine carrée de
quatre est égale à deux. En ce qui concerne la racine cubique, il y aura trois de ces valeurs : 𝑥 fois 𝑥
fois 𝑥. Dans ce cas, si on veut calculer la racine cubique de huit, on se demande, « quelle
est le nombre, multiplié lui-même deux fois, donne huit ? » Nous savons déjà que deux fois deux est égal à quatre, fois deux, donne huit, ce
qui rend la racine cubique de huit est égale à deux. Dans notre dernier exemple, nous avons besoin de cette valeur quatre fois. Je sais que quatre fois quatre est égal à 16 et que deux fois deux est égal à quatre,
ce qui fait que la racine quatrième de 16 est égale à deux.
Tous les exemples que nous avons examinés avaient des solutions entières, ce qui rend
ces racines rationnelles. Elles peuvent être écrites sous forme d’un entier ou d’une fraction. Mais souvent, lorsque nous travaillons avec des racines, nous nous retrouverons avec
des solutions irrationnelles. Un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction dont le numérateur et
le dénominateur sont des entiers est un nombre irrationnel. Nous pensons à un nombre comme 𝜋 mais aussi à quelque chose comme la racine carrée
de trois. Si vous tapez la racine carrée de trois sur votre calculatrice, vous verrez que vous
obtenez 1,732050808 en continuant. C’est un nombre décimal qui ne se termine pas, et nous savons que cela ne peut pas
être écrit comme une fraction, ce qui rend la racine carrée de trois
irrationnelle.
Mais plusieurs fois, il est utile pour nous de pouvoir prendre ces valeurs
irrationnelles et racines et de leur trouver une valeur approximative. Et c’est ce que nous allons regarder maintenant. Si nous avons deux carrés, le premier carré a un côté de longueur trois et le second
carré a un côté de longueur quatre. Cela signifie que l’aire du premier carré est égale à trois au carré, la longueur du
côté élevée au carré. Et l’aire du second carré est égale à quatre au carré. Trois au carré est neuf, quatre au carré est 16. Et en se basant sur cette image, nous pouvons dire que la racine carrée de neuf est
trois et que la racine carrée de 16 est égale à quatre.
Maintenant, disons que nous avons un troisième carré et nous ne connaissons pas la
longueur de son côté, mais nous savons qu’il avait une aire de 12. Si ce carré a une aire de 12, alors la longueur de son côté sera égale à la racine
carrée de 12. La racine carrée de 12 doit être supérieure à trois et inférieure à quatre. Et c’est une forme d’approximation des racines. Nous l’avons fait en trouvant le nombre carré parfait inférieur à 12 et le nombre
carré parfait supérieur à 12, ce qui nous a indiqué les deux entiers entre lesquels
la racine carrée de 12 se situerait.
Prenons un autre exemple. Cette fois, nous avons un troisième carré dont l’aire est 10, ce qui signifie que la
longueur du côté que nous recherchons sera la racine carrée de 10. Maintenant, c’est absolument vrai par le même processus que nous pouvons dire qu’elle
va se situer entre trois et quatre. Cependant, nous pouvons dire autre chose à ce sujet. Comme 10 est beaucoup plus proche de neuf, nous pouvons dire que tandis que la racine
carrée de 10 se situera entre trois et quatre, son entier le plus proche sera
trois. C’est-à-dire que la racine carrée de 10 est plus proche de trois que de quatre. À l’aide de ces informations, nous sommes prêts à examiner quelques exemples.
Michael essaie de trouver quels deux nombres entiers se trouvent de chaque côté de la
racine carrée de 51. Il décide qu’il sera utile d’utiliser ce qu’il a appris sur les nombres carrés
parfaits. Quel est le plus grand nombre carré parfait inférieur à 51 ? Quel est le plus petit nombre carré parfait supérieur à 51 ? Par conséquent, déterminez les deux nombres entiers consécutifs entre lesquels se
trouve la racine carrée de 51.
Tout d’abord, nous devons penser à ce que nous savons des nombres carrés
parfaits. Un nombre carré parfait est le résultat de la multiplication d’un entier par
lui-même. Par exemple, un au carré est égal à un et deux au carré à quatre. Donc, nous appelons quatre un nombre carré parfait. Il est utile de mémoriser les 10 premiers nombres carrés parfaits. Trois au carré, c’est neuf. Lorsque on écrit les nombres carrés parfaits, les trois premiers sont un, quatre,
neuf, puis quatre au carré, qui est égal à 16, cinq au carré, qui est égal à 25, six
au carré, qui est égal à 36, sept au carré, qui est égal à 49, huit au carré, qui
est égal à 64, puis 81, puis 100. Ce sont les 10 premiers nombres carrés parfaits, et nous pouvons les utiliser pour
répondre aux questions ci-dessous.
Quel est le plus grand nombre carré parfait inférieur à 51 ? Cela signifie que nous recherchons le nombre carré parfaits le plus proche de 51 mais
pas plus grand. Et ça va être 49. La prochaine question est similaire. Quel est le plus petit nombre carré parfait supérieur à 51 ? Cela signifie que nous avons besoin du nombre carré parfait le plus proche de 51 mais
qui doit être supérieur à 51. Et ici, cela va être 64. Si nous mettons 49 et 64 sur une droite numérique, 51 se situerait entre eux mais
plus près de 49.
Maintenant, sur une autre droite numérique, nous pouvons mettre la racine carrée de
49 et la racine carrée de 64. Encore une fois, lorsque nous ajoutons la racine carrée de 51, elle tombe plus près
de la racine carrée de 49 que de la racine carrée de 64. Mais nous savons que la racine carrée de 49 est sept et la racine carrée de 64 est
huit. Ce qui signifie que nous pouvons dire que la racine carrée de 51 se situe quelque
part entre les nombres entiers consécutifs de sept et huit.
Dans l’exemple suivant, nous allons considérer à nouveau quelques carrés parfaits sur
une droite numérique pour nous aider à résoudre pour une racine carrée
irrationnelle.
Les positions des nombres racine carrée de 120, racine carrée de 102 et racine carrée
de 111 ont été identifiées sur la droite numérique. En considérant leur valeur, décidez quel nombre est représenté par 𝑎.
On nous a donné la racine carrée de 120, la racine carrée de 102 et la racine carrée
de 111. Nous ne reconnaissons aucune de ces valeurs comme des carrés parfaits, ce qui
signifie que le résultat ne sera pas un entier. Cependant, lorsque nous regardons notre droite numérique, nous voyons deux nombres
entiers ; nous voyons 10 et 11. Et nous savons que 10 est égal à la racine carrée de 100. 10 au carré est égal à 100. Et donc, la racine carrée de 100 est égale à 10. Nous pouvons suivre la même procédure pour trouver qu’est ce qui arrive à 11. 11 est égal à la racine carrée de 121. C’est parce que 11 fois 11 est 121. Lorsque nous voyons la racine carrée de 121, l’une de nos valeurs est la racine
carrée de 120. Et la racine carrée de 120 sera très proche de la racine carrée de 121 sur une droite
numérique.
Par ce même raisonnement, nous savons que la racine carrée de 102 sera très proche de
la racine carrée de 100 sur une droite numérique. Et nous avons enfin la racine carrée de 111, qui se situe à mi-chemin entre la racine
carrée de 100 et la racine carrée de 121. D’après les données de la droite numérique, nous pouvons voir que la racine carrée de
102 est entre 10 et 10,2. Notre question cherchait la valeur que 𝑎 représentait. Et ici, 𝑎 représente la racine carrée de 102.
Prenons un autre exemple.
Lequel des nombres suivants est le plus proche de cinq ? (A) La racine carrée de huit, (B) la racine carrée de 24, (C) la racine carrée de 94,
(D) la racine carrée de 106 ou (E) la racine carrée de 120.
Une façon de résoudre ce problème serait de penser aux 10 premiers nombres carrés
parfaits. Un au carré est un, deux au carré quatre, trois au carré neuf, puis 16, 25, 36, 49,
64, 81 et 100. Et en observant ces nombres, on sait que 25 est égal à cinq au carré. Si cinq au carré est égal à 25, alors la racine carrée de 25 est cinq. Maintenant, nous recherchons la valeur la plus proche de cinq. La valeur exacte de cinq serait la racine carrée de 25. Et cela signifie que nous recherchons la racine la plus proche de la racine carrée de
25. Dans nos exemples, nous avons la racine carrée de 24, qui est beaucoup plus proche de
la racine carrée de 25 que tous les autres exemples. La racine carrée de 24, à l’entier près, serait cinq.
Dans notre prochain exemple, nous allons examiner la façon dont l’approximation des
racines pourrait nous aider lorsque nous travaillons avec des problèmes impliquant
l’aire.
La formule de l’aire d’un carré est 𝐴 égale à 𝑠 au carré, où 𝑠 est la longueur
d’un côté. Estimez la longueur du côté d’un carré dont l’aire est de 74 pouces carrés à l’entier
près.
Nous travaillons avec un carré dont l’aire est de 74 pouces carrés, et nous voulons
savoir à quoi correspond la longueur du côté. Puisque l’aire est égale au côté au carré, nous savons également que la longueur du
côté est égale à la racine carrée de l’aire. Pour notre carré, nous pouvons dire que la longueur du côté sera égale à la racine
carrée de 74. Mais pour approximer cette valeur, nous voudrons trouver les nombres carrés parfaits
au-dessus et en dessous de 74. Vous pouvez soit essayer de vous rappeler ce qui serait au-dessus et en dessous de 74
ou faites une liste des 10 premiers nombres carrés parfaits.
Dans la liste, nous voyons que 64 est juste en dessous de 74 et que 81 est juste
au-dessus de 74. Si 64 est le nombre carré parfait juste en dessous de 74 et la racine carrée de 64
est huit, le nombre carré parfait juste au-dessus de 74 est 81 et la racine carrée
81 est neuf. À ce stade, nous pouvons dire avec confiance que la racine carrée de 74 sera comprise
entre huit et neuf. Mais dans ce cas, nous essayons d’arrondir à l’entier près. Et cela signifie que nous devons prendre la décision : la racine carrée de 74
sera-t-elle plus proche de neuf ou de huit ? Et pour cela, nous devons déterminer la distance entre 74 et 64, soit 10 unités, et
la distance entre 74 et 81, soit 7 unités.
Comme 74 est légèrement plus proche de 81, alors, lorsqu’on arrondit à l’entier près,
on arrondit vers neuf. Cependant, nous ne pouvons pas oublier le contexte de notre question. Ce neuf représente le côté d’un carré. Et puisque l’aire a été mesurée en pouces carrés, la longueur d’un côté sera mesurée
en pouces. À l’entier près, la longueur du côté d’un carré ayant une aire de 74 pouces carrés
est de neuf pouces.
Dans notre dernier exemple, nous allons examiner l’approximation d’une racine au
dixième près au lieu de l’entier près.
Trouvez les deux nombres consécutifs, au dixième près, entre lesquels se trouve la
racine carrée de 151.
Au dixième près signifie un chiffre après la virgule. Et nous voulons examiner la racine carrée de 151. Pour résoudre des problèmes comme celui-ci, une stratégie que nous utilisons souvent
est d’essayer de trouver un nombre carré parfait au-dessus et en dessous de la
valeur que nous utilisons. Si nous essayons de trouver la racine carrée de 151, nous voudrions un nombre carré
parfait au-dessus et en dessous de cette valeur. Au début, vous pourriez penser à 100, soit 10 au carré. Mais quand on pense à 11 au carré, c’est 121. Et puis 12 au carré est 144. Après cela, nous avons 13 au carré, qui est 169. Et cela signifie que nous avons trouvé les deux valeurs au-dessus et en dessous de
151.
Lorsque nous allons mettre ces valeurs sur une droite numérique, nous voyons que la
racine carrée de 151 est beaucoup plus proche de la racine carrée de 144. C’est parce que 151 est plus proche de 144 que de 169. Nous, bien sûr, savons que la racine carrée de 144 est 12 et la racine carrée de 169
est 13. Et donc, bien sûr, nous pouvons dire que la racine carrée de 151 sera supérieure à 12
mais inférieure à 13. Mais parfois, nous voulons être un un peu plus précis. Pour faire cela, imaginez qu’on agrandit cette droite graduée et que nous commencions
par la racine carrée de 144, qui est 12. Mais ensuite, nous voulons observer les nombres arrondis au dixième, ce qui signifie
qu’on observe 12,1, 12,2, etc.
Afin de décider où se trouvera la racine carrée de 151, nous calculons 12,1 carrés,
soit 146,41. Si nous sautons et regardons 12,3 carrés, nous voyons que c’est 151,29. Il est supérieur à 151. Donc, cela signifie que nous avons découvert que la racine carrée de 151 ne peut pas
dépasser 12,3. Et cela signifie que nous devons vérifier 12,2. 12,2 au carré est 148,84, ce qui est inférieur à 151. Et cela signifie que la racine carrée de 151 se situe quelque part entre 12,2 et
12,3. Nous pouvons l’écrire sous forme d’inégalité 12,2 est inférieure à la racine carrée
de 151 qui est inférieure à 12,3.
Avant de terminer, nous avons juste besoin de prendre note de l’approximation des
racines d’ordres supérieures. Dans tous nos exemples, nous avons fait une approximation pour les racines
carrées. Mais les racines cubiques et les racines d’ordres supérieures suivent la même
procédure. Par exemple, si nous traitons des nombres cubes, vous pouvez lister les valeurs des
cubes parfaits. Tracez une droite numérique. La racine cubique de un est un, la racine cubique de huit vaut deux, la racine
cubique de 27 est trois. Et cela signifie que si nous cherchions la racine cubique de cinq, elle se situerait
entre un et deux. Et la même chose fonctionnerait avec la racine quatrième jusqu’à la 𝑛-ième
racine.
Nous pouvons résumer ce que nous avons appris avec quelques points clés. La valeur d’une racine carrée irrationnelle 𝑎 peut être approximée en trouvant les
deux nombres carrés parfaits les plus proches de la racine carrée de 𝑎. De sorte que le carré parfait numéro un est inférieur à 𝑎 et le carré parfait numéro
deux est supérieur à 𝑎. Par conséquent, la racine carrée du carré numéro un est inférieure à la racine carrée
de 𝑎 qui est inférieure à la racine carrée du carré numéro deux.
