Transcription de la vidéo
Multipliez moins trois plus 𝑖 par deux plus cinq 𝑖.
Il y a plusieurs choses dont nous devons nous rappeler ici. Tout d’abord, on remarque qu’on a deux nombres complexes sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Rappelez-vous, 𝑎 est la composante réelle du nombre complexe et 𝑏 est sa composante imaginaire. Rappelons également que 𝑖 est la solution à l’équation 𝑥 au carré égale moins un de sorte que 𝑖 est souvent écrit comme la racine carrée de moins un.
On cherche à trouver le produit de moins trois plus 𝑖 et de deux plus cinq 𝑖. Et lorsque on l’écrit ainsi, on remarque que cela ressemble beaucoup au produit de deux binômes. En fait, on traite cela de la même manière. On peut développer les parenthèses soit en utilisant la méthode de la double distributivité ou les tableaux de calcul. Utilisons la méthode de la double distributivité.
On la fait selon les étapes suivantes. Nous multiplions le premier terme de la première parenthèse par le premier terme de la seconde. Moins trois fois deux est égal à moins six. Ensuite, on fait l’opération suivante. Nous multiplions les termes extérieurs des deux parenthèses. Moins trois fois cinq est moins 15. Donc, moins trois fois cinq 𝑖 est égal à moins 15𝑖. Puis, on fait l’opération suivante. Nous multiplions les termes intérieurs. Cela nous donne deux 𝑖. Puis, enfin, on s’intéresse aux derniers termes Nous multiplions le dernier terme de la première parenthèse par le dernier terme de la seconde. Et cela nous donne cinq 𝑖 au carré.
Maintenant, nous n’avons pas tout à fait terminé ici. Nous pouvons simplifier davantage. Tout d’abord, nous constatons que nous pouvons regrouper les termes semblables, moins 15𝑖 et deux 𝑖. Cela nous donne moins six moins 13𝑖 plus cinq 𝑖 au carré. Mais alors nous rappelons que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. Cela signifie que 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous remplaçons donc 𝑖 au carré par moins un. Et nous voyons que le produit de ces deux nombres complexes est moins six moins 13𝑖 moins cinq, ce qui est moins 11 moins 13𝑖. Le produit des deux nombres complexes moins trois plus 𝑖 et deux plus cinq 𝑖 est moins 11 moins 13𝑖.
