Vidéo : Multiplier des nombres complexes

Dans cette vidéo, nous apprendrons à multiplier deux nombres complexes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à étendre les opérations sur les nombres complexes à la multiplication. Nous allons commencer par voir comment effectuer la multiplication d’un nombre complexe d’abord par des nombres réels, puis par un autre nombre complexe. Nous allons ensuite étendre cela pour inclure une règle générale pour la mise au carré des nombres complexes et examiner comment cela pourrait nous aider à élever un nombre complexe à des exposants supérieurs à deux. Et enfin, nous apprendrons comment appliquer ces processus pour nous aider à résoudre des équations.

Si vous étudiez les nombres complexes depuis un petit moment maintenant, vous savez peut-être que les opérations sur les nombres complexes sont très similaires sinon parfois identiques aux opérations sur les expressions algébriques. En fait, multiplier des nombres complexes, c’est comme multiplier des expressions algébriques, sauf que nous nous souvenons que la lettre 𝑖 n’est pas une variable. 𝑖 est bien sûr la solution de l’équation 𝑥 au carré est égal à moins un. Cela signifie que 𝑖 au carré est égal à moins un et en fait, nous disons souvent que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Commençons donc par examiner comment multiplier un nombre complexe de la forme 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖 par une constante. Appelons notre constante 𝑐, où 𝑐 est un nombre réel. 𝑐 multiplié par 𝑧 — écrit simplement comme 𝑐𝑧 — est exactement le même que 𝑐 multiplié par le nombre complexe entier 𝑎 plus 𝑏𝑖. Et nous ajoutons des parenthèses pour montrer que c’est le cas.

On rappelle la propriété de distributivité qui permet de multiplier chaque partie du nombre complexe par le nombre réel 𝑐. Ce faisant, nous voyons que 𝑐𝑧 est égal à 𝑐𝑎 plus 𝑐𝑏𝑖. Et pour plus de clarté, cela peut parfois s’écrire 𝑎𝑐 plus 𝑏𝑐𝑖. Et cela n’est probablement pas surprenant. C’est exactement ce à quoi nous nous attendrions si nous multiplions toute expression littérale à deux termes par une constante réelle.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont cela pourrait fonctionner.

Si 𝑟 est égal à moins cinq plus deux 𝑖 et 𝑠 est égal à moins huit moins deux 𝑖, trouvez deux 𝑟 plus trois 𝑠.

Ici, on nous a donné deux nombres complexes 𝑟 et 𝑠. Nous voulons trouver la somme de deux 𝑟 et de trois 𝑠. Nous allons donc diviser le problème et commencer par travailler séparément sur deux 𝑟 et trois 𝑠. Deux 𝑟 est deux multiplié par le nombre complexe moins cinq plus deux 𝑖. Nous distribuerons ces parenthèses en multipliant chaque partie du nombre complexe par nos deux constants. Deux multipliés par moins cinq est moins 10 et deux multipliés par deux 𝑖 est quatre 𝑖. Et nous voyons que deux 𝑟 est égal à moins 10 plus quatre 𝑖.

Nous allons maintenant répéter ce processus pour trois 𝑠. Cette fois, nous multiplions chaque partie du nombre complexe 𝑠 par la constante trois. Trois multiplié par moins huit est moins 24 et trois multiplié par moins deux 𝑖 est moins six 𝑖. Et maintenant que nous connaissons les nombres complexes deux 𝑟 et trois 𝑠, nous devons trouver leur somme. C’est moins 10 plus quatre 𝑖 plus moins 24 moins six 𝑖.

Et n’oubliez pas d’ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons simplement leurs parties réelles puis ajoutons individuellement leurs parties imaginaires. Moins 10 plus moins 24 est moins 34 et quatre 𝑖 plus moins six 𝑖 est moins deux 𝑖. Donc, pour les nombres complexes donnés, deux 𝑟 plus trois 𝑠 sont égaux à moins 34 moins trois 𝑖.

Maintenant, tout va bien. Mais que se passerait-il si nous avions effectivement multiplié nos nombres complexes par un nombre purement imaginaire ? Nous avons déjà vu que la propriété de distributivité est vraiment utile pour multiplier des nombres complexes par une constante réelle. Et en fait, nous pouvons utiliser cette propriété pour multiplier un nombre complexe par un nombre purement imaginaire. C’est un nombre de la forme 𝑐𝑖, où 𝑐 est un nombre réel et 𝑖 est un nombre imaginaire, la solution de l’équation 𝑥 au carré est égale à moins un.

Cette fois, nous allons multiplier un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 par 𝑐𝑖. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑐𝑖 multiplié par 𝑎 plus 𝑏𝑖. 𝑐𝑖 multiplié par 𝑎 est 𝑐𝑎𝑖 et 𝑐𝑖 multiplié par 𝑏𝑖 est 𝑐𝑏𝑖 au carré. Mais comme 𝑖 au carré est égal à moins un, nous pouvons l’écrire comme moins 𝑐𝑏. Et si nous écrivons plutôt ceci sous forme de nombre complexe, nous voyons que notre nombre complexe multiplié par un nombre purement imaginaire est moins 𝑐𝑏 plus 𝑐𝑎𝑖.

Nous avons maintenant développé une formule pour multiplier un nombre complexe par un nombre purement imaginaire. Nous devons vraiment nous concentrer sur l’application des processus à chaque fois plutôt que d’essayer de les apprendre par cœur. Ici, nous allons considérer un exemple où nous pouvons appliquer ces processus pour multiplier un nombre complexe par un nombre purement imaginaire.

Qu’est-ce que moins sept 𝑖 multiplié par moins cinq plus cinq 𝑖 ?

Nous avons un nombre complexe moins cinq plus cinq 𝑖 et nous voulons le multiplier par un nombre purement imaginaire moins sept 𝑖. Et nous savons que multiplier des nombres complexes, c’est comme multiplier des expressions algébriques. Ici, nous pouvons appliquer la propriété de distributivité pour développer les crochets. Nous multiplions chaque partie à l’intérieur du support par le nombre à l’extérieur. C’est moins sept 𝑖 multiplié par moins cinq qui est 35𝑖 et moins sept 𝑖 multiplié par cinq 𝑖 qui est moins 35𝑖 au carré.

Et ici, nous rappelons le fait que 𝑖 est la solution à l’équation 𝑥 au carré est égal à moins un tel que 𝑖 au carré doit être égal à moins un. Donc, 35𝑖 au carré est le même que le moins 35 multiplié par moins un qui est simplement 35. Et comme nous avons maintenant un nombre complexe qui est bien sûr le résultat de l’ajout d’un nombre réel et purement imaginaire, nous l’écrivons comme 35 plus 35𝑖.

Maintenant, comme nous pouvons nous y attendre, nous pouvons étendre ces idées en multipliant deux nombres complexes. Et nous commencerons par considérer le produit général de deux nombres complexes. Disons que nous avons deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux tels que 𝑧 un est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑧 deux est égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖. Leur produit 𝑧 un 𝑧 deux est le produit 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖.

Et nous avons déjà vu que nous pouvons appliquer des techniques algébriques à des nombres complexes. Ici, nous pouvons utiliser n’importe quelle technique que nous aimons pour multiplier deux binômes. La méthode FOIL et la méthode grille sont deux méthodes courantes. Nous allons examiner la méthode FOIL.

F signifie premier. Nous multiplions le premier terme de la première tranche par le premier terme de la deuxième tranche. 𝑎 multiplié par 𝑐 est simplement 𝑎𝑐. O signifie extérieur. On multiplie les termes extérieurs et on obtient 𝑎𝑑𝑖. Je représente l’intérieur. On multiplie les termes intérieurs et on obtient 𝑏𝑐𝑖. Et L représente le dernier. Nous multiplions le dernier terme dans chaque tranche qui est 𝑏𝑑𝑖 au carré.

Et comme 𝑖 au carré est égal à moins un, nous pouvons écrire cette dernière partie comme moins 𝑏𝑑. Et nous pouvons réorganiser cela légèrement et nous voyons que les produits de 𝑧 un et 𝑧 deux est 𝑎𝑐 moins 𝑏𝑑 plus 𝑎𝑑 plus 𝑏𝑐𝑖. C’est un nombre complexe avec une partie réelle 𝑎𝑐 moins 𝑏𝑑 et une partie imaginaire 𝑎𝑑 plus 𝑏𝑐. Encore une fois, nous avons développé une formule pour multiplier un nombre complexe par un autre nombre complexe. Mais nous devons vraiment nous concentrer sur l’application des processus à chaque fois.

Multipliez moins trois plus 𝑖 par deux plus cinq 𝑖.

Multiplier deux nombres complexes, c’est comme multiplier deux binômes et nous pouvons utiliser n’importe quelle technique que nous aimons. Essayons la méthode de la grille. Deux multiplié par moins trois est moins six et deux multiplié par 𝑖 est deux 𝑖. Cinq 𝑖 multipliés par moins trois égal moins 15𝑖 et cinq 𝑖 multipliés par 𝑖 égal cinq 𝑖 au carré. Et bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, cinq 𝑖 au carré est cinq multiplié par moins un qui est moins cinq.

Nous allons simplifier dans un instant en collectant des termes similaires. Mais actuellement, en ajoutant chaque partie, nous obtenons un résultat de moins six moins cinq plus deux 𝑖 moins 15𝑖. Moins six moins cinq est moins 11 et deux 𝑖 moins 15𝑖 est moins 13𝑖. Ainsi, lorsque nous multiplions moins trois plus 𝑖 par deux plus cinq 𝑖, nous obtenons moins un 11 moins 13𝑖.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment nous allons étendre ces idées en quadrature de nombres complexes.

Si 𝑟 est égal à moins deux plus quatre 𝑖 et 𝑠 est égal à huit moins 𝑖, trouvez 𝑟 moins 𝑠 tous au carré.

Dans cette question, on nous a donné deux nombres complexes et on nous demande de trouver le carré de leur différence, 𝑟 moins 𝑠. Maintenant, nous pourrions absolument écrire 𝑟 moins 𝑠 au carré comme 𝑟 moins 𝑠 multiplié par 𝑟 moins 𝑠 et étendre ces crochets comme d’habitude. Lorsque nous le faisons, nous voyons que nous avons trois parties uniques : 𝑟 au carré, 𝑠 au carré et moins deux 𝑟𝑠. C’est assez de travail pour nous d’évaluer chacun de ces nombres complexes.

Au lieu de cela, nous trouverons d’abord la différence entre les termes, puis nous les ajusterons. 𝑟 moins 𝑠 est moins deux plus quatre 𝑖 moins huit moins 𝑖. Et pour soustraire des nombres complexes, nous soustrayons leurs parties réelles et leurs parties imaginaires. Alternativement, nous pouvons penser à cela et un peu comme collecter des termes similaires. Avant de faire cela, distribuons le deuxième lot de supports en multipliant chaque partie à l’intérieur du support par moins un. Cela nous donne moins huit plus 𝑖.

Moins deux moins huit est moins 10 et quatre 𝑖 plus est cinq 𝑖. Donc, 𝑟 moins 𝑠 est moins 10 plus cinq 𝑖. Cela signifie que 𝑟 moins 𝑠 au carré est moins un de 10 plus cinq 𝑖 au carré. Mais comme la mise au carré d’un nombre équivaut à le multiplier par lui-même, nous l’écrivons comme moins 10 plus cinq 𝑖 multiplié par moins 10 plus cinq 𝑖.

Et multiplier deux nombres complexes, c’est comme multiplier des binômes. Nous pouvons utiliser n’importe quelle technique que nous aimons. Regardons la méthode FOIL. Nous commencerons par multiplier le premier terme de la première parenthèse par le premier terme de la deuxième parenthèse. Moins 10 multiplié par moins 10 est égal à 100, nous multiplions les termes externes : moins 10 multiplié par cinq 𝑖 est moins 50𝑖. Et nous obtenons la même chose si nous multiplions les deux termes intérieurs.

Enfin, nous multiplions le dernier terme dans chaque tranche. Et nous obtenons 25𝑖 au carré. Mais puisque 𝑖 au carré est égal à moins un, nous pouvons l’écrire comme 25 multiplié par moins un qui est moins 25. 100 moins 25 est 75. Et moins 50 moins 50 est moins 100. Donc, nous obtenons moins 100𝑖. Et nous pouvons voir que 𝑟 moins 𝑠 tout au carré est 75 moins 100𝑖.

Maintenant que nous avons vu un exemple de mise en carré d’un nombre complexe, étendons cela et dérivons la forme générale. Disons que nous avons un nombre complexe 𝑧 sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. 𝑧 au carré est 𝑎 plus 𝑏𝑖 tous au carré. Mais nous savons que nous pouvons quadriller un nombre complexe en le multipliant par lui-même et en appliquant les mêmes techniques que nous utilisons pour développer les crochets.

Nous multiplions le premier terme dans chaque tranche et nous obtenons 𝑎 au carré. Lorsque nous multiplions les termes externes, nous obtenons 𝑎𝑏𝑖. Et quand nous multiplions les termes intérieurs, nous obtenons à nouveau 𝑎𝑏𝑖. Et quand on multiplie les derniers termes, on obtient 𝑏 au carré 𝑖 au carré. Mais bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, ce dernier terme est moins 𝑏 au carré. Et nous voyons que 𝑧 au carré est égal à 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖.

Et nous pouvons dire qu’en général lorsque nous quadrillons un nombre complexe 𝑧 sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, la partie réelle de 𝑧 au carré est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré et la partie imaginaire est deux 𝑎𝑏. Nous avons vu tout au long de cette vidéo que se souvenir de la technique est plus important que de se souvenir de la formule. Dans ce cas, l’apprentissage de la formule d’un carré d’un nombre complexe peut être extrêmement utile.

Voyons un exemple où cela pourrait nous aider à simplifier un calcul.

Trouvez la partie réelle de sept moins deux 𝑖 le tout au carré.

Ici, on nous a donné un nombre complexe sept moins deux 𝑖 pour lequel on nous demande de trouver la partie réelle de son carré. Nous pourrions commencer par écrire sept moins deux 𝑖 au carré comme sept moins deux 𝑖 multiplié par sept moins deux 𝑖, puis étendre complètement les crochets. Et nous pourrions utiliser n’importe quelle technique pour multiplier les binômes. Par exemple, nous pourrions utiliser la méthode FOIL.

Nous multiplions le premier terme de la première tranche par le premier terme de la deuxième tranche. C’est sept multiplié par sept qui est 49. Nous multiplions les termes extérieurs. C’est sept multiplié par moins deux 𝑖 qui est moins 14𝑖. Et nous obtenons le même nombre lorsque nous multiplions les termes internes. Nous pouvons multiplier le dernier terme dans chaque tranche et nous obtenons un carré positif de quatre 𝑖. Mais bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, cela simplifie quelque peu à 49 moins 28𝑖 moins quatre, ce qui correspond à 45 moins 28𝑖.

Maintenant, pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, sa partie réelle est 𝑎 et sa partie imaginaire est 𝑏. Et dans ce cas, nous pouvons dire que la partie réelle de notre nombre complexe est 45. Maintenant, alors que cette méthode est parfaitement valide, la quantité de travail est un peu inutile. Au lieu de cela, nous allons rappeler la forme générale du carré d’un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖. Il est donné par la formule 𝑧 au carré égale 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖.

La partie réelle est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré et la partie imaginaire est deux 𝑎𝑏. Maintenant, dans notre nombre complexe, la partie réelle est sept ; 𝑎 est égal à sept. Et la partie imaginaire 𝑏 est égale à moins deux. On peut donc dire que la partie réelle de 𝑧 au carré est sept au carré moins moins deux au carré ou 49 moins quatre. 49 moins quatre est égal à cinq. Et c’est la même réponse que nous avons élaborée plus tôt.

Les règles que nous avons apprises pour la quadrature de nombres complexes peuvent également nous aider à trouver des puissances supérieures de ces nombres.

Si 𝑟 est égal à deux plus 𝑖, exprimez 𝑟 au cube sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Nous allons commencer ici par la réécriture 𝑟 légèrement coupée au cube. 𝑟 au cube est égal à 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟 qui est identique à deux plus 𝑖 fois deux plus 𝑖 fois deux plus 𝑖. Nous allons commencer par multiplier deux plus 𝑖 par deux plus 𝑖. Et nous pourrions étendre ces deux crochets tout comme l’expansion des binômes.

Alternativement, nous rappelons que pour le nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖, le carré de ce nombre complexe est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖. La partie réelle de notre nombre complexe 𝑎 est deux. Et la partie imaginaire est le coefficient de 𝑖 ; c’est un. Nous pouvons alors quadriller ce nombre en substituant 𝑎 est égal à deux et B est égal à un dans cette formule. Nous obtenons deux au carré moins un carré plus deux fois deux fois un 𝑖 et tout cela est multiplié par deux plus 𝑖.

Deux au carré est quatre et un carré est un. Donc, deux au carré moins un carré est trois et deux fois deux fois un est quatre. Nous avons donc trois plus quatre 𝑖 multipliés par deux plus 𝑖. Et nous pouvons multiplier ces parenthèses en utilisant la méthode FOIL. Nous multiplions le premier terme dans chaque tranche. Trois fois deux font six. Nous multiplions les termes externes pour obtenir trois 𝑖. Et pour les termes intérieurs, c’est quatre 𝑖 multipliés par deux, ce qui fait huit 𝑖. On multiplie ensuite les derniers termes quatre 𝑖 multipliés par 𝑖 soit quatre 𝑖 au carré.

Et puis, puisque nous savons que 𝑖 au carré est égal à moins un, quatre 𝑖 au carré deviennent moins quatre. Et nous savons aussi que trois 𝑖 plus huit 𝑖 font 11𝑖. Nous voyons donc que notre expression se simplifie à deux plus 11𝑖. Donc 𝑟 au cube dans la forme requise est deux plus 11𝑖.

Il existe maintenant des techniques pour simplifier ce processus pour des puissances supérieures de 𝑧, que nous découvrirons à mesure que nous deviendrons plus confiants en travaillant avec des nombres complexes. Notre dernier exemple montrera cependant comment résoudre une équation en utilisant des nombres complexes.

Résoudre l’équation 𝑖𝑧 est égale à moins quatre plus trois 𝑖.

Habituellement, nous cherchons à appliquer les règles de résolution des expressions algébriques. Ici, cela sera divisé par 𝑖. Mais il existe une autre technique que nous pouvons utiliser. Nous savons que 𝑖 au carré est moins un. Nous allons donc multiplier les deux côtés de cette équation par 𝑖. Nous répartissons ensuite les parenthèses en multipliant chaque bit à l’intérieur de la parenthèse par 𝑖. Et puisque 𝑖 au carré est moins un, nous obtenons moins 𝑧 est égal à moins quatre 𝑖 moins trois 𝑖. Nous allons multiplier par moins un et nous voyons que 𝑧 est égal à trois plus quatre 𝑖.

Et il est toujours judicieux de vérifier nos réponses en les replaçant dans l’équation originale : 𝑖 multiplié par trois plus quatre 𝑖 est trois 𝑖 plus quatre 𝑖 au carré. Et puisque quatre 𝑖 au carré est quatre multiplié par moins un, nous obtenons moins quatre. Et c’est bien sûr la même chose que moins quatre plus trois 𝑖.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons multiplier deux nombres complexes en utilisant des méthodes standard telles que la méthode de la grille ou la méthode FOIL. Nous avons vu que le carré d’un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖. Et nous avons également vu comment utiliser ces techniques pour des puissances supérieures de 𝑧 bien que ce ne soit pas nécessairement la méthode la plus efficace.

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