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Vidéo de la leçon: Multiplication de nombres complexes Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier deux nombres complexes.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à généraliser aux nombres complexes l’opération de multiplication. Commençons par voir comment multiplier un nombre complexe par un nombre réel, puis par un nombre complexe. Ensuite, nous établirons la formule générale du carré d’un nombre complexe et verrons comment élever un nombre complexe à des exposants supérieurs à deux. Enfin, nous apprendrons à appliquer ces méthodes pour résoudre des équations.

Si vous étudiez les nombres complexes depuis un moment, vous savez peut-être que les opérations sur les nombres complexes sont très similaires sinon identiques aux opérations sur les expressions algébriques. En fait, multiplier des nombres complexes, c’est comme multiplier des expressions algébriques, sauf que la lettre 𝑖 n’est pas une variable. Bien sûr, 𝑖 est la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Cela signifie que 𝑖 au carré est égal à moins un, d’ailleurs on dit souvent que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Donc, commençons par voir comment multiplier un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 par une constante. Appelons cette constante 𝑐, où 𝑐 est un nombre réel. 𝑐 multiplié par 𝑧 — qu’on écrit simplement 𝑐𝑧 — c’est 𝑐 multiplié par le nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖. Et on met des parenthèses pour l’indiquer.

Rappelons la propriété de distributivité qui permet de multiplier chaque partie du nombre complexe par le nombre réel 𝑐. On observe que 𝑐𝑧 est égal à 𝑐𝑎 plus 𝑐𝑏𝑖. Précisons qu’on peut aussi l’écrire 𝑎𝑐 plus 𝑏𝑐𝑖. Ça n’a rien de bien surprenant. C’est exactement ce à quoi on s’attendrait en multipliant une expression algébrique à deux termes par une constante réelle.

Voyons maintenant comment ça fonctionne sur un exemple.

Soit 𝑟 égale moins cinq plus deux 𝑖 et 𝑠 égale moins huit moins deux 𝑖, calculez deux 𝑟 plus trois 𝑠.

On nous donne ici deux nombres complexes 𝑟 et 𝑠. On cherche la somme de deux 𝑟 et de trois 𝑠. Procédons par étapes et commençons par calculer séparément deux 𝑟 et trois 𝑠. Deux 𝑟 est deux multiplié par le nombre complexe moins cinq plus deux 𝑖. Nous allons développer en multipliant chaque partie du nombre complexe par la constante deux. Deux multiplié par moins cinq égale moins 10 et deux multiplié par deux 𝑖 égale quatre 𝑖. Et on obtient deux 𝑟 égale moins 10 plus quatre 𝑖.

Procédons de même pour trois 𝑠. Cette fois, on multiplie chaque partie du nombre complexe 𝑠 par la constante trois. Trois multiplié par moins huit égale moins 24 et trois multiplié par moins deux 𝑖 égale moins six 𝑖. Et maintenant qu’on connaît les nombres complexes deux 𝑟 et trois 𝑠, il s’agit de calculer leur somme. C’est moins 10 plus quatre 𝑖 plus moins 24 moins six 𝑖.

N’oubliez pas, pour additionner deux nombres complexes, on additionne leurs parties réelles d’une part, leurs parties imaginaires d’autre part. Moins 10 plus moins 24 égale moins 34 et quatre 𝑖 plus moins six 𝑖 égale moins deux 𝑖. Donc, pour les nombres complexes donnés, deux 𝑟 plus trois 𝑠 égale moins 34 moins deux 𝑖.

Jusque là, tout va bien. Mais que se passe-t-il si on multiplie un nombre complexe par un nombre imaginaire pur ? On a déjà vu que la distributivité est très utile pour multiplier des nombres complexes par une constante réelle. Et on peut utiliser cette propriété pour multiplier un nombre complexe par un nombre imaginaire pur. C’est un nombre de la forme 𝑐𝑖, où 𝑐 est un nombre réel et 𝑖 est un nombre imaginaire, la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un.

Cette fois, on multiplie un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 par 𝑐𝑖. On obtient 𝑐𝑖 multiplié par 𝑎 plus 𝑏𝑖. 𝑐𝑖 multiplié par 𝑎 égale 𝑐𝑎𝑖 et 𝑐𝑖 multiplié par 𝑏𝑖 égale 𝑐𝑏 𝑖 au carré. Mais comme 𝑖 au carré égale moins un, on peut écrire ceci moins 𝑐𝑏. Et si on l’écrit sous forme de nombre complexe, on voit que ce nombre complexe multiplié par un nombre imaginaire pur est égal à moins 𝑐𝑏 plus 𝑐𝑎𝑖.

On a maintenant une formule pour multiplier un nombre complexe par un nombre imaginaire pur. Il faut bien comprendre chaque étape plutôt que de les apprendre par cœur. Passons à un exemple où on peut appliquer ces procédés pour multiplier un nombre complexe par un nombre imaginaire pur.

Calculez moins sept 𝑖 multiplié par moins cinq plus cinq 𝑖.

On a un nombre complexe moins cinq plus cinq 𝑖 et on veut le multiplier par le nombre imaginaire pur moins sept 𝑖. Et on sait que multiplier des nombres complexes, c’est comme multiplier des expressions algébriques. On peut appliquer la distributivité pour développer les parenthèses. On multiplie chaque partie à l’intérieur des parenthèses par le nombre à l’extérieur. C’est moins sept 𝑖 multiplié par moins cinq égale 35𝑖, et moins sept 𝑖 multiplié par cinq 𝑖 égale moins 35𝑖 au carré.

Rappelons que 𝑖 est la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un, donc 𝑖 au carré égale moins un. Donc, moins 35𝑖 au carré égale moins 35 multiplié par moins un, égale 35. Et on a maintenant un nombre complexe qui est bien sûr la somme d’un nombre réel et imaginaire pur, on l’écrit 35 plus 35𝑖.

Comme on peut s’y attendre, ce principe se généralise à la multiplication de deux nombres complexes. Commençons par calculer le produit de deux nombres complexes dans le cas général. Soient deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux tels que 𝑧 un égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑧 deux égale 𝑐 plus 𝑑𝑖. Leur produit 𝑧 un 𝑧 deux est le produit 𝑎 plus 𝑏𝑖 par 𝑐 plus 𝑑𝑖.

On a déjà vu que les techniques algébriques s’appliquent aux nombres complexes. On peut appliquer n’importe quelle technique de multiplication de binômes. On peut utiliser la distributivité ou dessiner un tableau. Procédons par distributivité.

Calculons le premier produit. On multiplie le premier terme des premières parenthèses par le premier terme des deuxièmes parenthèses. 𝑎 multiplié par 𝑐 égale 𝑎𝑐. Calculons le deuxième produit. On multiplie les termes aux extrémités, ce qui donne 𝑎𝑑𝑖. Calculons le troisième produit. On multiplie les deux termes intérieurs, ce qui donne 𝑏𝑐𝑖. Calculons le dernier produit. On multiplie le dernier terme de chaque paire de parenthèses, on trouve 𝑏𝑑 𝑖 au carré.

Et comme 𝑖 au carré égale moins un, on écrit ce dernier terme moins 𝑏𝑑. On arrange un peu et on voit que le produit de 𝑧 un par 𝑧 deux est 𝑎𝑐 moins 𝑏𝑑 plus 𝑎𝑑 plus 𝑏𝑐 𝑖. C’est un nombre complexe de partie réelle 𝑎𝑐 moins 𝑏𝑑 et de partie imaginaire 𝑎𝑑 plus 𝑏𝑐. Ainsi, on a trouvé une formule pour multiplier un nombre complexe par un autre nombre complexe. Mais le plus important est de savoir appliquer chaque procédé.

Multipliez moins trois plus 𝑖 par deux plus cinq 𝑖.

Pour multiplier deux nombres complexes, on peut utiliser les mêmes techniques que pour multiplier deux binômes. Essayons la méthode du tableau. Deux multiplié par moins trois égale moins six et deux multiplié par 𝑖 égale deux 𝑖. Cinq 𝑖 multiplié par moins trois égale moins 15 𝑖 et cinq 𝑖 multiplié par 𝑖 égale cinq 𝑖 au carré. Et bien sûr, 𝑖 au carré égale moins un. Donc, cinq 𝑖 au carré égale cinq fois moins un, égale moins cinq.

On simplifie en regroupant les termes similaires. Pour le moment, si on additionne tous les termes, on obtient moins six moins cinq plus deux 𝑖 moins 15𝑖. Moins six moins cinq égale moins 11 et deux 𝑖 moins 15𝑖 égale moins 13𝑖. Ainsi, lorsqu’on multiplie moins trois plus 𝑖 par deux plus cinq 𝑖, on obtient moins 11 moins 13𝑖.

Dans l’exemple qui suit, nous verrons comment calculer le carré d’un nombre complexe.

Soient 𝑟 égale moins deux plus quatre 𝑖 et 𝑠 égale huit moins 𝑖, calculez 𝑟 moins 𝑠 au carré.

Dans cette question, on nous donne deux nombres complexes et on nous demande de calculer le carré de leur différence 𝑟 moins 𝑠. On pourrait tout à fait écrire 𝑟 moins 𝑠 au carré 𝑟 moins 𝑠 multiplié par 𝑟 moins 𝑠 et développer comme d’habitude. On obtiendrait trois termes : 𝑟 au carré, 𝑠 au carré et moins deux 𝑟𝑠. Calculer chacun de ces nombres complexes demande du travail.

À la place, on va d’abord déterminer la différence de ces nombres puis l’élever au carré. 𝑟 moins 𝑠 égale moins deux plus quatre 𝑖 moins huit moins 𝑖. Et pour soustraire deux nombres complexes, on soustrait leurs parties réelles et leurs parties imaginaires. Sinon, on peut regrouper les termes similaires. Mais commençons par développer les deuxièmes parenthèses en multipliant chaque terme à l’intérieur des parenthèses par moins un. On obtient moins huit plus 𝑖.

Moins deux moins huit égale moins 10 et quatre 𝑖 plus 𝑖 égale cinq 𝑖. Donc 𝑟 moins 𝑠 égale moins 10 plus cinq 𝑖. Donc, 𝑟 moins 𝑠 au carré égale moins 10 plus cinq 𝑖 au carré. Mais calculer le carré d’un nombre revient à le multiplier par lui-même, écrivons ceci moins 10 plus cinq 𝑖 multiplié par moins 10 plus cinq 𝑖.

Et multiplier deux nombres complexes, c’est comme multiplier deux binômes. On peut utiliser n’importe quelle technique. Procédons par distributivité. Commençons par multiplier le premier terme des premières parenthèses par le premier terme des deuxièmes parenthèses. Moins 10 multiplié par moins 10 égale 100, multiplions les termes aux extrémités : moins 10 multiplié par cinq 𝑖 égale moins 50𝑖. On obtient la même chose si on multiplie les deux termes intérieurs.

Enfin, on multiplie les derniers termes de chaque parenthèse. On obtient 25 𝑖 au carré. Mais comme 𝑖 au carré égale moins un, on peut l’écrire 25 multiplié par moins un, égale moins 25. 100 moins 25 égale 75. Et moins 50 moins 50 égale moins 100. On obtient donc moins 100𝑖. On a donc 𝑟 moins 𝑠 au carré égale 75 moins 100𝑖.

Maintenant qu’on a vu un exemple de carré d’un nombre complexe, cherchons la formule générale. Soit un nombre complexe 𝑧 de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. 𝑧 au carré égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 au carré. Mais on sait qu’on peut élever au carré un nombre complexe en le multipliant par lui-même et en appliquant les techniques usuelles de développement.

On multiplie les premiers termes de chaque parenthèse, on trouve 𝑎 au carré. Si on multiplie les termes aux extrémités, on obtient 𝑎𝑏𝑖. Et si on multiplie les deux termes intérieurs, on obtient aussi 𝑎𝑏𝑖. Et si on multiplie les derniers termes de chaque parenthèse, on obtient 𝑏 au carré 𝑖 au carré. Mais bien sûr, 𝑖 au carré égale moins un. Donc, ce dernier terme est moins 𝑏 au carré. Ainsi, 𝑧 au carré égale 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖.

De manière générale, si on calcule le carré d’un nombre complexe 𝑧 de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, la partie réelle de 𝑧 au carré est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré et la partie imaginaire est deux 𝑎𝑏. On a vu tout au long de cette vidéo que retenir la technique est plus important que retenir la formule. Mais il peut être utile d’apprendre la formule du carré d’un nombre complexe.

Voyons un exemple où elle aide à simplifier un calcul.

Calculez la partie réelle de sept moins deux 𝑖 au carré.

Ici, on nous donne le nombre complexe sept moins deux 𝑖 et on nous demande de calculer la partie réelle de son carré. On pourrait commencer par écrire sept moins deux 𝑖 au carré égale sept moins deux 𝑖 multiplié par sept moins deux 𝑖, puis développer entièrement les parenthèses. Et on peut utiliser n’importe quelle technique de multiplication de binômes. Par exemple, la distributivité.

On multiplie le premier terme des premières parenthèses par le premier terme des deuxièmes parenthèses. Cela fait sept multiplié par sept, soit 49. On multiplie les termes aux extrémités. C’est sept fois moins deux 𝑖, ce qui donne moins 14𝑖. Et on obtient le même nombre en multipliant les deux termes intérieurs. On multiplie le dernier terme de chaque paire de parenthèses et on obtient plus quatre 𝑖 au carré. Mais bien sûr, 𝑖 au carré égale moins un. Donc, ça se simplifie à 49 moins 28𝑖 moins quatre, soit 45 moins 28𝑖.

Pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, sa partie réelle est 𝑎 et sa partie imaginaire est 𝑏. Et ici, la partie réelle de notre nombre complexe est 45. Or, bien que cette méthode soit parfaitement valide, ça représente trop de calculs. À la place, rappelons la formule générale du carré d’un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖. C’est la formule 𝑧 au carré égale 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖.

La partie réelle est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré et la partie imaginaire est deux 𝑎𝑏. Or, dans notre nombre complexe, la partie réelle est sept ; 𝑎 égale sept. Et la partie imaginaire 𝑏 égale moins deux. Donc la partie réelle de 𝑧 au carré est sept au carré moins moins deux au carré, soit 49 moins quatre. 49 moins quatre égale quarante-cinq. Et on trouve la même réponse que tout à l’heure.

La formule du carré d’un nombre complexe peut aussi aider à calculer des puissances supérieures de ce nombre.

Soit 𝑟 égale deux plus 𝑖, exprimez 𝑟 au cube sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Commençons par réécrire 𝑟 au cube. 𝑟 au cube égale 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟 égale deux plus 𝑖 fois deux plus 𝑖 fois deux plus 𝑖. Commençons par multiplier deux plus 𝑖 par deux plus 𝑖. On peut développer ces deux paires de parenthèses comme on développe des binômes.

Sinon, rappelons que pour un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖, le carré de ce nombre complexe est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖. La partie réelle 𝑎 de ce nombre complexe est deux. Et la partie imaginaire est le coefficient de 𝑖 ; c’est un. On peut calculer le carré de ce nombre en prenant 𝑎 égale deux et 𝑏 égale un dans cette formule. On obtient deux au carré moins un au carré plus deux fois deux fois un 𝑖 et on multiplie tout ça par deux plus 𝑖.

Deux au carré égale quatre et un au carré égale un. Donc, deux au carré moins un au carré égale trois et deux fois deux fois un égale quatre. On a donc trois plus quatre 𝑖 multiplié par deux plus 𝑖. On peut multiplier ces parenthèses par distributivité. Multiplions le premier terme de chaque paire de parenthèses. Trois fois deux font six. Multiplions les termes aux extrémités ; on obtient trois 𝑖. Et pour les deux termes intérieurs, c’est quatre 𝑖 multiplié par deux, soit huit 𝑖. On multiplie ensuite les derniers termes quatre 𝑖 multiplié par 𝑖 égale quatre 𝑖 au carré.

Et comme 𝑖 au carré égale moins un, quatre 𝑖 au carré égale moins quatre. Et on sait aussi que trois 𝑖 plus huit 𝑖 font 11𝑖. On voit donc que cette expression se simplifie à deux plus 11𝑖. Donc, 𝑟 au cube s’écrit deux plus 11𝑖, qui est la forme demandée.

Or, il existe des techniques pour simplifier ce calcul pour des puissances supérieures de 𝑧, nous les découvrirons à mesure que les nombres complexes nous seront plus familiers. Le dernier exemple montre comment résoudre une équation en utilisant des nombres complexes.

Résolvez l’équation 𝑖𝑧 égale moins quatre plus trois 𝑖.

Habituellement, on applique les techniques de résolution des expressions algébriques. Ici, on diviserait par 𝑖. Mais il existe une autre méthode. On sait que 𝑖 au carré égale moins un. On va donc multiplier chaque côté de cette équation par 𝑖. Puis on développe en multipliant par 𝑖 chaque terme à l’intérieur des parenthèses. Et comme 𝑖 au carré égale moins un, on obtient moins 𝑧 égale moins quatre 𝑖 moins trois. Multiplions par moins un ; on a 𝑧 égale trois plus quatre 𝑖.

Il est toujours judicieux de vérifier nos résultats en les replaçant dans l’équation initiale : 𝑖 multiplié par trois plus quatre 𝑖 égale trois 𝑖 plus quatre 𝑖 au carré. Et comme quatre 𝑖 au carré égale quatre multiplié par moins un, on obtient moins quatre. Et c’est bien sûr la même chose que moins quatre plus trois 𝑖.

Dans cette vidéo, on a appris qu’on peut multiplier deux nombres complexes en utilisant des méthodes usuelles telles que la distributivité. On a vu que le carré d’un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré plus deux 𝑎𝑏𝑖. On a également vu comment utiliser ces techniques pour des puissances supérieures de 𝑧, même si ce n’est pas nécessairement la méthode la plus efficace.

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