Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment multiplier deux nombres complexes.
L’algèbre des nombres complexes est très semblable à celle des binômes. Par conséquent, l’application des connaissances que nous avons sur les binômes nous aide grandement lorsque nous travaillons avec des nombres complexes. Avant d’étudier la multiplication de nombres complexes de manière générale, nous allons examiner les cas plus simples d’un nombre complexe multiplié par un nombre réel et d’un nombre complexe multiplié par un nombre imaginaire pur.
On considère un nombre complexe . Si on multiplie les deux membres de cette équation par un nombre réel on obtient . En utilisant la propriété de distributivité, on peut le réécrire comme comme attendu.
Exemple 1: Multiplier des nombres complexes par des nombres réels
Soient et , déterminez .
Réponse
En substituant les valeurs de et dans l’expression, on obtient
En développant les parenthèses en utilisant la propriété de distributivité, on obtient
On peut enfin regrouper les termes semblables pour trouver
Après avoir considéré le cas le plus simple de la multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel, on peut maintenant envisager de multiplier un nombre complexe par un nombre imaginaire pur. En prenant , on peut multiplier les deux membres de l’équation par un nombre imaginaire pur pour obtenir . Une fois encore, on peut utiliser la propriété de distributivité pour le réécrire comme
Comme , on peut le simplifier par
Les formules pour multiplier des nombres complexes par des nombres réels et imaginaires purs ne sont pas des formules que vous devez apprendre par cœur. Nous devons plutôt nous concentrer sur la connaissance des techniques algébriques nécessaires pour travailler avec des nombres complexes en général.
Exemple 2: Multiplier des nombres complexes par des nombres imaginaires
Calculez .
Réponse
En développant les parenthèses en utilisant la propriété de distributivité, on peut écrire
Comme , on peut simplifier cela par
On considère maintenant le produit de deux nombres complexes et :
En utilisant une technique pour multiplier deux binômes (double distributivité, tableau de calcul, ou poser la multiplication), on peut l’exprimer par
En utilisant le fait que , et en regroupant les termes semblables, on peut le réécrire comme
Nous le résumons comme suit.
Produit de deux nombres complexes
Pour deux nombres complexes et , on définit le produit
Bien que nous ayons énoncé une forme générale, il est plus important de se familiariser avec les techniques de multiplication des nombres complexes plutôt que de simplement la mémoriser.
Maintenant, considérons un exemple où nous démontrons la multiplication de deux nombres complexes.
Exemple 3: Multiplier des nombres complexes
Multipliez par .
Réponse
En utilisant la double distributivité, ou toute autre technique, on peut développer les parenthèses comme suit :
Comme , on peut le réécrire comme
Enfin, en regroupant les termes semblables, on a
Dans l’exemple suivant, voyons comment calculer le carré de la différence de deux nombres complexes.
Exemple 4: Carrés de nombres complexes
Soient et , calculez .
Réponse
Pour une question comme celle-ci, on a le choix : doit-on multiplier puis substituer les valeurs de et , ou faire le contraire ? Si on essaie la première méthode, on voit que l’on doit calculer , et . Cela représente beaucoup de calculs. Cependant, si on calcule d’abord , on a seulement besoin de calculer le carré du résultat, ce qui est beaucoup plus efficace. C’est la technique que l’on utilise ici.
On calcule d’abord comme suit :
Pour déterminer le carré de ce nombre, on peut l’exprimer comme un produit et utiliser la technique de multiplication des nombres complexes. Par conséquent,
En utilisant la double distributivité ou une autre technique pour développer les parenthèses, on a
En utilisant le fait que , on peut regrouper les termes semblables et le réécrire comme
Cet exemple soulève la question de la forme générale du carré d’un nombre complexe . En utilisant les techniques que l’on a développées pour multiplier des nombres complexes, on peut en déduire une formule comme suit :
En développant les parenthèses, on obtient
En regroupant les termes semblables, nous pouvons énoncer la forme générale comme suit.
Carré d’un nombre complexe
Pour un nombre complexe ,
Même s’il est très important de connaître les techniques nécessaires pour obtenir des équations comme celle-ci, il peut aussi être utile de mémoriser la forme générale du carré d’un nombre complexe. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment la mémorisation de la formule peut simplifier les calculs.
Maintenant, considérons un exemple où nous devons calculer la partie réelle du carré d’un nombre complexe.
Exemple 5: Carrés de nombres complexes
Déterminez .
Réponse
On commence par calculer le carré de comme suit :
En développant les parenthèses, on a
En utilisant le fait que , et en regroupant les termes semblables, on a
Enfin, en prenant la partie réelle, on obtient
Alternativement, on aurait pu s’épargner du calcul en utilisant le fait que pour un nombre complexe , . En prenant la partie réelle, on a
Par conséquent,
Exemple 6: Puissances de nombres complexes
Soit , exprimez sous la forme .
Réponse
On commence par calculer :
En développant les parenthèses, on a
Pour calculer , on peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par pour obtenir ; en développant les parenthèses, on obtient
De toute évidence, cette méthode pour calculer des puissances de plus en plus élevées de nombres complexes pourrait devenir assez fastidieuse. Cependant, en continuant notre apprentissage sur les nombres complexes, nous apprendrons des techniques alternatives qui simplifieront considérablement le processus. Nous terminons par étudier un dernier exemple où nous pouvons appliquer ce que nous savons sur les nombres complexes et la multiplication pour résoudre une équation impliquant des nombres complexes.
Exemple 7: Résoudre des équations impliquant des nombres complexes
Résolvez l’équation .
Réponse
À première vue, on pourrait penser que l’on doit diviser les deux membres de l’équation par pour isoler . Cependant, en se souvenant que , on peut simplement multiplier l’équation par ou, mieux encore, par .
Ainsi, en multipliant les deux membres de l’équation par on obtient
En développant les parenthèses, et en simplifiant, on arrive à la solution :
C’est toujours une bonne pratique de vérifier sa réponse. Pour ce faire, on peut multiplier la solution par et vérifier que l’on retrouve l’équation d’origine :
En développant les parenthèses et en simplifiant, on trouve comme attendu
Points clés
- Pour multiplier des nombres complexes, on utilise les mêmes techniques que pour multiplier des binômes.
- Pour deux nombres complexes et , nous définissons le produit comme
- Pour un nombre complexe ,
- Bien que l’on puisse théoriquement calculer des puissances arbitrairement grandes de nombres complexes en utilisant ces techniques, cela nécessite une grande quantité de calculs.
