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Sachant que 𝐴𝑀 égale 50 centimètres, déterminez la longueur de 𝐵𝐶.
On a donc le dessin d'un cercle de centre 𝑀. On nous demande de déterminer la longueur de 𝐵𝐶, qui est une corde du cercle. On nous dit aussi que la longueur du segment 𝐴𝑀 est de 50 centimètres.
Si on considère ce segment 𝐴𝑀, on voit qu'il s'agit en fait d'un rayon du cercle puisque ses extrémités sont le centre du cercle 𝑀 et un point de la circonférence 𝐴. Le segment 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle car ses deux extrémités sont des points de la circonférence et il passe par le centre.
La relation entre le diamètre et le rayon d'un cercle est que le diamètre est deux fois plus long que le rayon. Donc si 𝐴𝑀 mesure 50 centimètres, la longueur totale de 𝐴𝐵 sera le double. Elle est donc de 100 centimètres.
On cherche à déterminer la longueur de la corde 𝐵𝐶, qui est un côté du triangle 𝐴𝐵𝐶, dont nous connaissons un autre côté, 100 centimètres, et un angle de 30 degrés. Avons-nous d'autres informations sur ce triangle ?
En fait, oui. Le segment 𝐴𝐵, dont on a déjà parlé, est le diamètre du cercle qui le divise en deux demi-cercles. On sait que l'angle inscrit dans un demi-cercle est de 90 degrés. Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle, c'est-à-dire le point 𝐶, et dont les côtés sont des cordes du cercle, c'est-à-dire les cordes 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶.
On sait donc que l'angle 𝐵𝐶𝐴 est un angle droit, de 90 degrés. Ainsi, nous avons maintenant un triangle rectangle dans lequel on connaît la longueur d'un côté, la mesure d'un autre angle, et on cherche à calculer la longueur d'un deuxième côté. On peut donc appliquer la trigonométrie à ce problème.
Il faut d'abord choisir le rapport trigonométrique à appliquer. Pour cela, il faut commencer par désigner les trois côtés du triangle par rapport à l'angle de 30 degrés. On a 𝐵𝐶 est le côté opposé. Puis 𝐴𝐶 est le côté adjacent. Et 𝐴𝐵 est l'hypoténuse.
On peut se rappeler l'acronyme SOHCAHTOA pour décider lequel des trois rapports trigonométriques on peut utiliser. Le côté à calculer est l'opposé. Et le côté que nous connaissons est l'hypoténuse. Le O et le H apparaissent ensemble dans la partie SOH de cet acronyme, ce qui nous indique que c'est le rapport sinus que nous devons utiliser dans cette question.
Rappelons sa définition. Le sinus d'un angle thêta égale le côté opposé divisé par l'hypoténuse. Dans cette question, l'angle thêta est de 30 degrés. Le côté opposé est le côté que nous voulons calculer, 𝐵𝐶. Et l'hypoténuse vaut 100. On a donc l'équation : sinus 30 degrés égale 𝐵𝐶 sur 100.
On aimerait résoudre cette équation pour trouver la longueur de 𝐵𝐶. On va commencer par multiplier les deux côtés par 100. À cette étape, j'ai également écrit les deux côtés de l'équation dans l'autre sens, ce qui permet de mettre 𝐵𝐶 à gauche. On a donc 𝐵𝐶 égale 100 sinus 30 degrés.
On peut en fait répondre à cette question sans utiliser de calculatrice car 30 degrés est l'un des angles particuliers dont on doit apprendre par cœur les rapports sinus, cosinus et tangente.
La valeur de sinus 30 degrés est en fait juste égale à un demi. Donc, 𝐵𝐶 sera égale à 100 fois un demi. La réponse à la question est que la longueur de 𝐵𝐶 est de 50 centimètres. On a répondu à cette question en appliquant la trigonométrie dans un triangle rectangle. Pour cela, il nous fallait rappeler que l'angle inscrit dans un demi-cercle est de 90 degrés.
