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Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐶 est égal à 32 centimètres et la mesure de l’angle 𝐵 est de 120 degrés. Des forces d’intensités deux, deux et deux racine de trois newtons agissent respectivement sur 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴. Si le système équivaut à un couple, déterminez la norme de son moment en considérant que le sens positif est 𝐴𝐵𝐶.
D’accord, disons que c’est notre triangle 𝐴𝐵𝐶, et on nous dit ici que la mesure de l’angle 𝐵 est de 120 degrés. Et nous savons aussi que les longueurs des deux côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont identiques. Cela signifie que nous travaillons avec un triangle isocèle, et donc cet angle intérieur est le même que celui-ci. Si nous appelons cet angle 𝜃, nous pouvons dire que deux fois 𝜃 plus 120 degrés est égal à 180 degrés. Si nous résolvons cette équation pour 𝜃, nous le trouvons égale à 30 degrés. Une fois que nous avons bien étudié la géométrie de ce triangle, on nous parle également des forces qui agissent sur ses côtés. Il y a une force de deux newtons agissant de 𝐴 à 𝐵, une force identique de deux newtons de 𝐵 à 𝐶, puis de 𝐶 à 𝐴, une force de deux fois racine de trois newtons.
On nous dit que ce système de forces équivaut à un couple. Cela signifie que la force résultante sur ce triangle est nulle. Cependant, il y a un moment qui est créé autour de son centre. Et en fait, c’est la norme de ce moment que nous voulons calculer. Pour commencer, faisons un peu d’espace. Et pour commencer à analyser les forces impliquées ici, nous allons mettre en place un système de coordonnées. Nous dirons que le sommet 𝐴 de notre triangle est à l’origine de ce repère, et que l’axe des 𝑦 se déplace verticalement vers le haut et l’axe des 𝑥 horizontalement vers la droite.
Ensuite, comme nous l’avons vu, il y a trois forces qui agissent sur ce triangle. L’un d’entre eux agit uniquement dans la direction de l’axe des 𝑥. Mais les deux autres forces, ces forces de deux newtons des autres côtés, peuvent être décomposer en leurs composantes verticale et horizontale. Nous disons ici que cette force de deux newtons provient effectivement de ce point, à l’origine, alors que cette autre force de deux newtons provient effectivement du point 𝐶. C’est en choisissant ces deux points d’origine, nous pourrions les appeler 𝐴 et 𝐶 dans notre triangle, que nous pouvons schématiser toutes les forces impliquées dans le couple.
Lorsque nous allons calculer les composantes de ces deux forces de deux newtons, nous pouvons rappeler que dans un triangle rectangle, où l’un des autres angles intérieurs est appelé 𝜃, le sinus de cet angle est donné par le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur de l’hypoténuse, tandis que le cosinus est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Si nous considérons alors toutes les forces horizontales agissant sur notre triangle, il y a d’abord cette composante de la force de deux newtons. Cette composante est égale à deux fois le cos de 30 degrés. Deuxièmement, il y a cette composante de l’autre force de deux newtons. Cela équivaut également à deux fois le cos de 30 degrés.
Enfin, il y a cette force agissant du point 𝐶 au point 𝐴 dans notre triangle. En fonction de la façon dont nous avons choisi notre axe des 𝑥, cette force sera négative. Si nous rappelons que le cos de 30 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux, alors nous obtenons deux racine trois sur deux plus deux racine trois sur deux moins deux racine trois. Et comme nous l’espérons, cela équivaut à zéro. L’important pour nous c’est que toutes ces composantes horizontales des forces suivent la même ligne d’action. Puisqu’elles sont aussi égales à zéro, cela signifie que elles n’appliquent aucun moment au centre de notre triangle. En d’autres termes, les composantes horizontales des forces ne contribuent pas à ce moment.
Ensuite, considérons les composantes verticales des forces impliquées ici. Tout d’abord, nous voyons cette composante verticale de ce que nous pouvons appeler notre première force de deux newtons. Cela équivaudra à deux fois le sin de 30 degrés. Et puis il y a notre deuxième composante verticale ici. Cela équivaut à moins deux fois le sin de 30 degrés. Donc, comme nous l’espérons, la force résultante dans la direction verticale est nulle. Mais notez que ces deux forces n’agissent pas selon la même ligne d’action. Par conséquent, ils appliqueront un moment à notre triangle, et sa norme dépendra de la distance perpendiculaire entre cette ligne pointillée qui traverse le centre de notre triangle et les lignes d’action de nos deux forces verticales. Nous pouvons appeler cette distance perpendiculaire 𝑑. Et nous voyons qu’elle est égale à la moitié de la longueur du côté le plus long de notre triangle.
En rappelant que chacun des côtés les plus courts a une longueur de 32 centimètres, on peut dire que la distance 𝑑 est égale à 32 fois le cos de 30 degrés. C’est 32 fois la racine carrée de trois sur deux ou simplement 16 racine de trois. Nous sommes prêts à calculer la norme du moment créé par nos forces verticales. Chacune de ces deux forces a une intensité de deux newtons fois le sin de 30 degrés. Et nous multiplions cela par la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de ces forces et l’axe de rotation de notre triangle. Au total, ce moment est égal à 32 fois la racine carrée de trois. Et en ce qui concerne les unités, nos forces ont des unités de newtons et nos distances ont des unités de centimètres. La norme du moment créé par ce système de forces est égale à 32 fois la racine carrée de trois newton centimètres.
