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Fiche explicative de la leçon : Système de forces équivalant à un couple Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier les conditions pour qu’un ensemble de forces coplanaires soit équivalent à un couple et à calculer son moment.

Rappelons la définition d’un couple de force.

Définition : Couple de force

Une paire de vecteurs de force forme un couple de forces si la paire de vecteurs satisfait toutes les conditions suivantes:

  • Les vecteurs de force ont la même direction mais sont de sens opposés.
  • Les vecteurs de force agissent le long de droites distinctes.
  • Les vecteurs de force sont de même norme.

Un couple de forces agissant sur un corps rigide avec un point de référence fait tourner le corps rigide autour de ce point de référence, également appelé centre de rotation. Ce phénomène est illustré sur la figure suivante.

On voit que les forces 𝐹 et 𝐹 ont la même norme et la même direction mais des sens opposés et qu’elles agissent le long de droites distinctes. Par conséquent, cette paire de forces forme un couple. On remarque par ailleurs que ce couple imprime au corps rigide un mouvement de rotation dans le sens horaire autour du point de référence 𝑂.

Lorsqu’un ensemble de forces s’applique sur un corps rigide, leur action peut causer la translation du corps ainsi que sa rotation autour d’un axe de révolution en mouvement. Toutefois, si la résultante des forces est nulle, alors le corps rigide va seulement être en rotation autour d’un axe de révolution stationnaire et ne pas subir de translation. Un ensemble de forces dont l’action consiste purement en un mouvement de rotation est équivalent à un couple.

Définition : Ensemble de forces équivalent à un couple

Un ensemble de forces est équivalent à un couple si la résultante des forces est nulle.

Dans le premier exemple, nous allons déterminer des constantes inconnues dans un ensemble de forces équivalent à un couple.

Exemple 1: Calculer des forces inconnues agissant sur un carré et dont l’ensemble est équivalent à un couple

Le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 est soumis à l’action de cinq forces, mesurées en newtons, comme illustré sur la figure ci-dessous. En supposant que cet ensemble de forces est équivalent à un couple, calculez 𝐹 et 𝐹.

Réponse

On rappelle que qu’un ensemble de forces est équivalent à un couple si leur résultante est nulle. Puisque cet ensemble de forces est équivalent à un couple, les composantes horizontales et verticales de ces forces doivent chacune avoir des sommes nulles.

Avant de pouvoir calculer ces sommes, nous devons définir un repère. Nous travaillerons dans un repère cartésien standard, dans lequel la direction horizontale positive pointe vers la droite et la direction verticale positive pointe vers le haut.

Les forces verticales 𝐹 et 20 ont une composante horizontale nulle. Par ailleurs, nous avons des forces purement horizontales, 𝐹 et 13, ainsi qu’une force diagonale 92N dont les composantes horizontale et verticale sont non nulles. Calculons les composantes horizontale et verticale de la force diagonale à l’aide des rapports trigonométriques dans un triangle rectangle.

Puisque 𝐴𝐶 est la diagonale d’un carré, il est la bissectrice de l’angle 𝐷𝐴𝐵. Par conséquent, 𝑚𝐵𝐴𝐶=45. On note 𝐹 la composante horizontale de cette force et 𝐹 sa composante verticale. On peut dessiner le triangle rectangle correspondant.

La composante horizontale 𝐹 est le côté adjacent à l’angle 45. En utilisant les rapports trigonométriques dans un triangle rectangle, on a cosadjacenthypoténuse45==𝐹92.

Par conséquent, |𝐹|=9245=92×22=9.cos

Puisque 𝐹 pointe vers la droite, il est positif. Par conséquent, 𝐹=9N. En outre, un triangle rectangle dont l’un des angles mesure 45 est isocèle, donc la composante verticale 𝐹 est égale, en valeur absolue, à |𝐹|=|𝐹|=9N. Puisque 𝐹 pointe vers le haut, il est de signe positif. Par conséquent, nous obtenons 𝐹=9N.

Nous pouvons à présent calculer les composantes horizontale et verticale de la résultante. La composante horizontale de la résultante est donnée par 𝐹+13+9=𝐹+22.

Celle-ci devant être nulle, on a 𝐹+22=0, ce qui implique 𝐹=22N.

Calculons maintenant la composante verticale de la résultante:𝐹20+9=𝐹11.

Celle-ci étant nulle, on a 𝐹11=0 , ce qui implique 𝐹=11N.

Ainsi, si cet ensemble de forces est bien équivalent à un couple, on a 𝐹=22N et 𝐹=11N.

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé des forces inconnues dans un ensemble de forces équivalent à un couple. Si un ensemble de forces est équivalent à un couple, alors cet ensemble engendre un moment de rotation. On rappelle comment calculer le moment engendré par une force par rapport à un centre de rotation.

Définition : Moments

Soit 𝑂 un point de référence (ou un centre de rotation) et 𝐹 une force agissant sur un corps rigide contenant ce point de référence. Si 𝑑 est la distance entre le point 𝑂 et la droite le long de laquelle la force 𝐹 agit, alors le moment généré par la force 𝐹 par rapport à 𝑂 est donnée par ||=𝐹𝑑.moment

Nous pouvons déterminer le signe du moment après avoir défini une orientation positive. Par convention, les rotations dans le sens trigonométrique sont positives et celles dans le sens horaire sont négatives. Toutefois, dans certains problèmes, la convention inverse pourra être imposée.

Le moment d’un ensemble de forces est la somme des moments induits par les forces de cet ensemble. Dans ce cas, il est important de déterminer le signe de chaque moment avant de les sommer entre eux.

Dans notre prochain exemple, nous allons calculer le moment engendré par un ensemble de forces équivalent à l’action d’un couple sur une barre légère, où le centre de rotation est le milieu de la barre.

Exemple 2: Calcul du moment d’un ensemble de forces équivalent à un couple agissant sur une barre

Sur la figure donnée, si les forces qui agissent sur une barre 𝐴𝐵 sont équivalentes à un couple, calculez le moment de ce couple.

Réponse

On rappelle qu’un ensemble de forces est équivalent à un couple si la résultante des forces est nulle. On peut facilement observer sur la figure que la résultante, qui est verticale, est nulle puisque 2+35=0.N

Cet ensemble de forces étant équivalent à un couple, il engendre un moment rotationnel. Calculons le moment engendré par le système. On ne connait pas ici le centre de rotation pour ce problème, on prend donc le milieu 𝐶 de la barre comme centre de rotation, ou point de référence.

On rappelle que la norme d’un moment engendré par une force de norme 𝐹 est |𝑀|=𝐹𝑑,𝑑 est la distance (orthogonale) entre le point de référence et la droite d’action de la force.

On rappelle également qu’un moment a un signe et que nous pouvons déterminer le signe du moment après avoir défini une orientation positive. Sauf spécification contraire, le sens trigonométrique est défini comme étant le sens de rotation positif dans le plan. Utilisons donc cette convention.

On voit sur la figure que la droite d’action de la force de norme 5 N contient le point de référence 𝐶. Ainsi, la distance 𝑑 du point à cette droite est nulle. D’après la définition d’un moment, le moment 𝑀 engendré par cette force est, lui aussi, nul. Par conséquent, 𝑀=0.Ncm

Dans le cas de la force de norme 2 N, la distance entre le point de référence 𝐶 et la droite d’action de la force est égale à 8 cm. Ainsi, |𝑀|=2×8=16.

On peut voir sur la figure que cette force imprime à la barre un mouvement de rotation dans le sens horaire autour du centre 𝐶. Cette rotation est donc, d’après notre convention, de signe négatif. Ainsi, nous avons 𝑀=16Ncm.

Quant à la force de norme 3 N, la distance entre le point de référence 𝐶 et la droite d’action de la force est, elle aussi, égale à 8 cm. Ainsi, |𝑀|=3×8=24.

On voit sur la figure que cette force imprime à la barre une rotation dans le sens trigonométrique autour du centre 𝐶. Ce moment est donc de signe positif:𝑀=24Ncm.

En additionnant les trois moments, on obtient le moment net 𝑀 de ce système:𝑀=𝑀+𝑀+𝑀=16+24+0=8.

Le moment de cet ensemble de forces est égal à 8Ncm.

La distance entre le point de référence et la droite d’action de la force sert à déterminer le moment. En d’autres termes, la position du point de référence par rapport à la droite d’action est importante lorsque l’on calcule un moment d’un ensemble de force. Toutefois, dans le cas d’un couple, ou d’un ensemble de forces équivalent à un couple, on remarque que la position du point de référence n’affecte pas le moment engendré par l’ensemble de forces.

Voyons pourquoi la position du centre de rotation n’affecte pas le moment généré par un couple de forces. Premièrement, nous considérons un couple de forces et un point de référence entre les deux droites d’action parallèles.

Dans le diagramme ci-dessus, 𝑑 et 𝑑 sont les distances du point de référence 𝑂 à la droite d’action des forces 𝐹 et 𝐹 respectivement. Soient 𝑀 et 𝑀 les moments de 𝐹 et 𝐹 respectivement. Alors, |𝑀|=𝐹𝑑,|𝑀|=𝐹𝑑.

Ces deux forces induisant une rotation dans le sens horaire autour du centre de rotation 𝑂, en suivant notre convention, les moments correspondants sont tous les deux de signe négatif. De plus, comme ces forces forment un couple, elles sont de normes égales. Notons 𝐹 la norme commune de ces forces. En additionnant les moments, on obtient le moment résultant 𝑀:𝑀=𝑀+𝑀=𝐹𝑑𝐹𝑑=𝐹𝑑𝐹𝑑=𝐹(𝑑+𝑑)=𝐹𝑑.

Notons que nous avons pu écrire la dernière égalité en remarquant que la somme des distances 𝑑 et 𝑑 est en fait égale à la distance 𝑑 entre les deux droites d’action des deux forces. Puisque 𝑑 est constante quelle que soit la position de 𝑂, le moment ne dépend pas de la position du point de référence, dès lors que celui-ci est entre les deux droites d’action.

Considérons à présent l’action d’un couple de forces par rapport à un centre de rotation comme sur la figure ci-dessous.

Dans ce cas, les normes des moments induits par les forces 𝐹 et 𝐹 par rapport au centre de rotation 𝑂 ont la même expression que précédemment. Plus précisément, on a |𝑀|=𝐹𝑑,|𝑀|=𝐹𝑑.

Étudions l’orientation de ces moments. On peut voir sur la figure que la force 𝐹 entraîne une rotation dans le sens trigonométrique autour du centre 𝑂;par conséquent, 𝑀 est positif. En revanche, la force 𝐹 entraîne une rotation dans le sens horaire autour de 𝑂, ce qui définit un moment 𝑀 de signe négatif. En notant de nouveau 𝐹 la norme des deux forces, le moment résultant 𝑀 est donnée par 𝑀=𝑀+𝑀=𝐹𝑑𝐹𝑑=𝐹𝑑𝐹𝑑=𝐹(𝑑𝑑)=𝐹(𝑑𝑑)=𝐹𝑑.

On remarque que la dernière égalité est vraie seulement parce qu’ici, la différence entre les distances 𝑑 et 𝑑 est égale à la distance 𝑑 entre les deux droites d’action parallèles. Cela nous donne la même expression pour le moment résultant que précédemment. Ainsi, le moment résultant dans un couple de forces ne dépend pas de la position du centre de rotation. Dans le cas d’un ensemble de forces équivalent à un couple, cette propriété reste vraie grâce à l’équivalence.

Théorème : Centre de rotation dans un ensemble de forces équivalent à un couple

Soit 𝑂 et 𝑂 deux points de référence distincts. Alors le moment résultant par rapport au point de référence 𝑂 d’un ensemble de forces équivalent à un couple est égal au moment par rapport au point de référence 𝑂.

Dans notre prochain exemple, nous allons appliquer cette propriété à un ensemble de forces équivalent à un couple pour calculer l’intensité du moment résultant.

Exemple 3: Calcul du moment résultant dans un ensemble de forces équivalent à un couple

Soient 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle de côtés 𝐴𝐵=45cm et 𝐵𝐶=55cm, et 𝐷𝐸=28cm. Des forces d’intensités 225, 275, 265 et 135 newtons agissent dans les sens 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐸 et 𝐸𝐴 respectivement. Si l’ensemble de forces est équivalent à un couple, déterminez la norme du moment résultant.

Réponse

Rappelons la formule du moment induit par une force par rapport à un centre de rotation. Si 𝑑 est la distance entre le centre de rotation et la droite d’action d’une force de norme 𝐹, alors la norme du moment 𝑀 de cette force est donnée par |𝑀|=𝐹𝑑.

On rappelle également qu’un moment a un signe et que ce signe peut être déterminé une fois que l’on a fixé une orientation positive pour les moments. On fixe la convention usuelle dans le plan consistant à faire du sens trigonométrique le sens positif pour les moments.

On rappelle par ailleurs que si un ensemble de forces est équivalent à un couple, alors le moment induit par ces forces est indépendant de la position du point de référence. En étudiant la formule qui définit un moment, écrite plus haut, on peut voir qu’un moment est nul dès lors que le point de référence appartient à la droite d’action de la force, puisque la distance du point à la droite est nulle dans ce cas-là.

Ainsi, pour simplifier les calculs, le meilleur point que l’on puisse choisir comme point de référence est un point d’intersection de plusieurs droites d’action. Dans notre exemple, on a donc le choix entre les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 et le point 𝐸. Le point 𝐶 serait le choix optimal ici, puisque les distances entre ce point et les deux droites d’action ne passant pas par ce point sont données par les longueurs des côtés du rectangle. Ainsi, on fixe le centre de rotation au sommet 𝐶 et on ajoute les longueurs des côtés du rectangle sur la figure.

Le centre de rotation étant sur la droite d’action des forces 𝐶𝐸 et 𝐵𝐶, on sait que ces forces ne contribuent pas au moment résultant autour du centre 𝐶. Par conséquent, 𝑀=0,𝑀=0.

La distance entre le centre de rotation et la droite d’action dirigée par 𝐸𝐴 est de 45 cm et la norme de la force est de 135 N. On voit sur la figure que la force 𝐸𝐴 induit un moment dans le sens horaire autour de 𝐶, de sorte que, d’après la convention que nous avons adoptée, le moment est de signe négatif. Par conséquent, le moment induit par cette force est égal à 𝑀=135×45=6075.Ncm

La distance entre le centre de rotation et la droite d’action dirigée par 𝐴𝐵 est de 55 cm et la force qui s’exerce le long de cette droite est de norme 225 N. On peut voir sur la figure que la force 𝐴𝐵 induit également un mouvement dans le sens horaire autour du point 𝐶, ce qui implique que ce moment est de signe négatif. Par conséquent, le moment induit par cette force est égal à 𝑀=225×55=12375.Ncm

En sommant ces moments, on obtient le moment résultant 𝑀, induit par cet ensemble de forces, agissant sur le point 𝐶:𝑀=𝑀+𝑀+𝑀+𝑀=0+0607512375=18450.

Ainsi, la norme du moment résultant de ces forces est égale à 18450Ncm.

Étudions un autre exemple de calcul de moment engendré par un ensemble de forces équivalent à un couple.

Exemple 4: Calcul du moment résultant d’un ensemble de forces équivalent à un couple

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un carré de côté de longueur 50 cm. Des forces de normes 30, 60, 160 et 10 newtons agissent dans le sens de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴 respectivement, tandis que deux autres forces de normes 402 et 902newtons agissent dans le sens de 𝐴𝐶 et 𝐷𝐵 respectivement. Sachant que cet ensemble de forces est équivalent à un couple et ayant fixé 𝐷𝐶𝐵𝐴 comme direction positive, calculez le moment résultant.

Réponse

On commence par faire une figure des différentes forces en action.

Dans cet exemple, on définit la direction positive comme suivant 𝐷𝐶𝐵𝐴, qui est donc le sens trigonométrique. On rappelle que si un ensemble de forces est équivalent à un couple, alors le moment résultant ne dépend pas de la position du centre de rotation. Étant donné un centre de rotation, la norme d’un moment induit par une force est donnée par |𝑀|=𝐹𝑑,𝐹 est la norme de la force et 𝑑 est la distance entre le centre de rotation et la droite d’action. En particulier, cela implique que si une force s’applique le long d’une droite qui contient le centre de rotation, alors le moment résultant de cette force est nul.

Ainsi, on peut simplifier les calculs en choisissant un point idéal pour le centre de rotation. On devrait choisir un point d’intersection de plusieurs droites d’actions afin que les moments induits par celles-ci ne contribuent pas au moment résultant de l’ensemble des forces. On peut donc choisir un des sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 ou 𝐷 ou bien le point d’intersection des deux diagonales. Bien que le choix d’un des sommets implique d’annuler trois des moments induits par les forces dont les droites d’action passent par ce sommet, il est préférable de choisir comme centre de rotation l’intersection des diagonales, car cela rend le calcul des distances entre le point de référence et les droites d’action restantes beaucoup plus simples. Faisons une nouvelle figure où l’on ajoute ce centre, noté 𝑂.

Le centre 𝑂 se situant sur les droites d’action des forces de directions 𝐴𝐶 et 𝐷𝐵, les moments induits par ces forces sont égaux à zéro. Ainsi, 𝑀=0,𝑀=0.

On peut constater sur la figure que la distance entre le centre 𝑂 et les droites d’action des forces de direction 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴 sont égaux à la moitié de la longueur des côtés de ce carré. Ainsi, le point de référence est à une distance 𝑑=502=25cm de chacune des quatre droites d’action des forces le long du périmètre du carré. Ainsi, on calcule les normes de ces moments comme suit:||𝑀||=30×25=750,||𝑀||=60×25=1500,||𝑀||=160×25=4000,||𝑀||=10×25=250.

On peut voir sur la figure que chacune de ces forces induit une rotation dans le sens horaire. Ainsi, ces moments sont de signe négatif. En faisant la somme de ces moments, on obtient le moment résultant 𝑀:𝑀=𝑀+𝑀+𝑀+𝑀=75015004000250=6500.

Par conséquent, le moment résultant de cet ensemble de forces est égal à 6500Ncm.

Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer des forces inconnues dans un ensemble de forces équivalent à un couple agissant sur une barre légère, avec un moment donné.

Exemple 5: Calcul de forces inconnues dans un ensemble de forces équivalent à un couple de moment connu

Sur la figure suivante, en supposant que les forces agissant sur la barre 𝐴𝐵 sont équivalentes à un couple de moment égal à 17, calculez 𝐹 et 𝐹

Réponse

On rappelle qu’un ensemble de forces est équivalent à un couple si leur force résultante est nulle. On peut voir sur la figure que toutes les forces s’exercent dans la direction verticale. Ainsi, la composante verticale de la résultante doit être nulle. En définissant la direction positive comme allant du bas vers le haut, on obtient une résultante égale à (5+2𝐹+𝐹)N, qui se simplifie en (3𝐹+𝐹)N. En posant cette expression égale à zéro, on obtient

𝐹𝐹=3.(1)

Considérons à présent le moment. On sait que le moment de cet ensemble de forces est égal à 17Ncm. On rappelle que si un ensemble de forces est équivalent à un couple, alors le moment résultant est le même quelle que soit la position du centre de rotation.

On rappelle également que la norme d’un moment induit par une force agissant sur un centre de rotation est donnée par |𝑀|=𝐹𝑑,𝐹 est l’ordre de la force et 𝑑 est la distance entre le centre de rotation et la droite d’action. En particulier, si la droite d’action contient le centre de rotation, alors le moment induit par cette force est nul.

Si on place le centre de rotation en 𝐷 alors la contribution de la force 𝐹 au moment résultant est nulle. Il ne reste alors que 𝐹 comme inconnue, que nous pouvons déterminer en nous servant de la valeur du moment que l’on connait. On commence par faire une nouvelle figure où le centre de rotation est en 𝐷.

On rappelle également qu’un moment peut être positif ou négatif et qu’on ne peut déterminer son signe qu’après avoir défini une orientation positive. Puisqu’aucune orientation n’est spécifiée ici, on peut suivre la convention qui consiste à fixer le sens trigonométrique comme étant le sens positif.

Nous allons maintenant calculer le moment engendré par chaque force dans ce système. Commençons par la force agissant au point 𝐴. Cette force est de norme 5N et la distance du point 𝐷 à la droite d’action de la force est égale à 1+2=3cm. Ainsi, le moment engendré par cette force est égal à |𝑀|=5×3=15.

On peut voir sur la figure que la force agissant sur 𝐴 induit une rotation dans le sens trigonométrique autour de 𝐷;par conséquent, suivant notre convention, le moment de cette force est de signe positif. On a donc 𝑀=15Ncm.

La force agissant au point 𝐶 est de norme 2N et la distance du point 𝐷 à la droite d’action de la force est égale à 2cm. Ainsi, le moment engendré par cette force est de norme |𝑀|=2×2=4.

On peut voir sur la figure que cette force induit une rotation dans le sens horaire autour du point 𝐷, donc le moment induit est négatif;par conséquent 𝑀=4Ncm.

Comme nous l’avons remarqué précédemment, la force agissant au point 𝐷 ne contribue pas au moment résultant car sa droite d’action passe par le centre de rotation 𝐷. Par conséquent, 𝑀=0.Ncm

Enfin, la norme de la force agissant en 𝐵 est égale à 𝐹N et la distance entre le point 𝐷 et la droite d’action de cette force est de 1cm. Ainsi, le moment engendré par cette force est égal à |𝑀|=𝐹×1=𝐹.

On peut voir sur la figure que cette force induit une rotation dans le sens trigonométrique autour du point 𝐷, ce moment est donc positif;par conséquent, 𝑀=𝐹Ncm.

En sommant tous les moments obtenus jusqu’ici, on trouve le moment résultant 𝑀:𝑀=𝑀+𝑀+𝑀+𝑀=15+𝐹4+0=11+𝐹.

On sait que ce moment est égal à 17Ncm;par conséquent, 17=11+𝐹.

On a donc 𝐹=6N. En substituant cette valeur dans l’équation (1), on obtient 6𝐹=3, ce qui entraîne 𝐹=3N.

Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un ensemble de force est équivalent à un couple si la force résultante est nulle.
  • La norme d’un moment de rotation 𝑀 engendré par une force par rapport à un centre de rotation (ou à un point de référence) est donnée par |𝑀|=𝐹𝑑,𝐹 est la norme de la force et 𝑑 est la distance entre le centre de rotation et la droite d’action de la force.
  • Si le centre de rotation (ou le point de référence) est sur la droite d’action d’une force, alors cette force n’engendre aucun moment.
  • Un moment est une quantité qui a un signe. On ne peut déterminer le signe d’un moment qu’après avoir défini une orientation positive, en regardant dans quel sens la rotation induite par la force s’effectue. Sauf indication contraire, on suivra toujours la convention consistant à faire du sens trigonométrique l’orientation positive.
  • Dans un ensemble de forces, le moment résultant est calculé en sommant les moments engendrés par chaque force dans le système.
  • Si un ensemble de forces est équivalent à un couple, alors le moment résultant ne dépend pas de la position du centre de rotation. Cela signifie que nous pouvons choisir la position du point de référence de sorte à simplifier les calculs.

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