Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les conditions pour qu’un système de forces coplanaires soit équivalent à un couple, comment trouver son moment. Pour commencer, rappelons-nous ce que certains termes signifient.
Premièrement, un couple est une paire de forces qui agissent avec la même intensité, dans des sens opposés et qui ne se trouvent pas dans la même ligne d’action. Ainsi, par exemple, si chacune de ces deux flèches représente un vecteur de force, nous pouvons voir que, puisque ces flèches sont de même longueur, ces vecteurs doivent avoir la même intensité. Elles pointent également dans des sens opposées. Et les lignes d’action de ces deux forces ne se chevauchent pas. Par conséquent, elles forment un couple. Une autre chose que nous pouvons dire à propos de ces forces, c’est qu’elles sont coplanaires, c’est-à-dire qu’elles se trouvent dans le même plan, dans ce cas, le plan de notre écran.
Maintenant, nous voyons que nous avions une barre très mince, effectivement sans masse, positionnée de sorte que les forces de notre couple poussent la barre dans des directions opposées. Dans ce cas, le couple créerait ce qu’on appelle un moment par rapport au centre de la barre. Nous pouvons appeler ce moment 𝑀 indice c car il est causé par un couple. Et en général, le moment dû à un couple est égal à deux fois l’une des forces de ce couple multipliée par la distance perpendiculaire entre l’endroit où cette force est appliquée et le centre de rotation. Dans notre cas spécifique, cette distance 𝑑 serait indiquée ici en pointillé en rose. C’est la moitié de la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de nos deux forces.
Si nous disons plus loin que l’intensité de chacune de ces forces est de 𝐹, alors comme notre équation générale nous le dit, l’intensité du moment créé par ce couple serait deux fois 𝐹 fois 𝑑. Maintenant, dans cette leçon, nous considérons des systèmes de forces qui, lorsque nous les combinons ensemble, sont équivalent à un couple. Par exemple, sur notre écran d’ouverture, quatre personnes poussaient un manège. Si nous regardions le manège par le haut, cela ressemblerait à ceci avec ces vecteurs de force. C’est un système de forces. Et du point de vue du moment qu’il crée par rapport au centre du manège, on peut dire que ce système de forces équivaut à un couple comme celui-ci.
En étudiant ce sujet, nous nous poserons deux questions fondamentales. Premièrement, selon le système de forces, nous voulons savoir si ce système équivaut à un couple. Et sinon, nous voulons déterminer la ou les forces avec lesquelles ce serait le cas. Pour voir comment nous travaillons avec ces questions en pratique, regardons maintenant un exemple.
Sur la figure, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un trapèze rectangle en A, avec 𝐴𝐵 égal à 12 centimètres, 𝐵𝐶 égal à 32 centimètres et 𝐴𝐷 égal à 16 centimètres. Les forces indiquées sont mesurées en newtons et sont complètement représentées par les côtés du trapèze, où l’intensité des forces est proportionnelle à leurs longueurs de côté correspondantes. Si le système de forces est équivalent à un couple, trouvez 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois.
Très bien, alors nous voyons ce trapèze avec les angles 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Et nous voyons également les trois forces inconnues 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois que nous cherchons. Chacune de ces forces agit le long d’un côté du trapèze avec cette force connue de 30 newtons. L’énoncé de notre problème nous dit que la longueur du côté 𝐴𝐵 est de 12 centimètres, 𝐵𝐶 est de 32 centimètres et la longueur du côté 𝐴𝐷 est de 16. On nous dit aussi que l’intensité des forces agissant sur ce trapèze est proportionnelle à la longueur des côtés correspondante.
Cela signifie, par exemple, que puisque la longueur du côté 𝐵𝐶 est deux fois plus grande que la longueur du côté 𝐴𝐷, alors l’intensité de la force 𝐹 trois doit être deux fois plus grande que l’intensité de 𝐹 un. Cette même relation de proportionnalité s’applique aux autres côtés. Et on nous dit aussi que ce système de quatre forces équivaut à un couple. Cela signifie que nous pouvons assimiler ces quatre forces à deux forces de même intensité, de sens opposé, qui agissent selon des lignes d’action différentes. Sachant tout cela, ce sont les forces inconnues 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois que nous voulons trouver.
Pour commencer, laissons de l’espace sur l’écran et réfléchissons à ce que cela signifie que ces quatre forces soient équivalentes à un couple. Si nous traçons les lignes d’action de ces quatre forces, elles tracent les côtés de ce trapèze. Parce que ces quatre forces sont équivalentes à un couple, cela signifie que nous pouvons choisir deux points d’intersection de ces lignes d’action. Comme ces points se situent le long des quatre lignes d’action, alors nous pouvons dire qu’un couple de forces provient effectivement de ces points.
Voici ce que nous entendons par là. Disons que nous avons choisi les angles du trapèze 𝐵 et 𝐷. Au point 𝐵, les lignes d’action des forces 𝐹 deux et 𝐹 trois se rencontrent. Et le point 𝐷, nous le voyons, est une intersection des lignes d’action de notre force de 30 newtons et de 𝐹 un. En ce sens, nous avons représenté les quatre forces. Donc, si nous dessinons ces forces comme si elles venaient de ces deux angles de notre trapèze, elles ressembleraient à ceci.
Nous modélisons donc les quatre forces comme si elles commençaient à ces deux angles de notre trapèze. Notez que nous aurions tout aussi bien pu choisir les angles 𝐴 et 𝐶 puisque ces deux angles coupent les quatre lignes d’action. Quel que soit notre choix, nous pouvons analyser ces quatre forces comme un couple. Cela signifie que la force nette agissant au point 𝐷 est d’intensité égale, mais de sens opposée à la force nette agissant au point 𝐵. Et, en fait, puisque les forces dans ce que nous pourrions appeler la direction verticale sont indépendantes des forces dans la direction horizontale, nous pouvons également dire que la force verticale totale en 𝐷 est égale en intensité et de sens opposée à celle en 𝐵, et de même pour les composantes horizontales.
Cela signifie que nous pouvons écrire deux équations d’équilibre des forces, une pour la direction verticale et une pour l’horizontale. Si nous décidons que les forces vers la droite et les forces pointant vers le haut sont positives, alors pour les forces verticales agissant aux points 𝐵 et 𝐷, nous pouvons écrire que la composante verticale de notre force de 30 newtons, nous l’appellerons 30 indice v, moins la force 𝐹 deux agissant au point 𝐵 est égale à zéro. En réarrangeant légèrement cette équation, nous voyons alors que si nous pouvons trouver cette composante verticale de notre force de 30 newtons, nous aurons 𝐹 deux.
En revenant à notre dessin, nous voyons que cette force de 30 newtons est effectivement l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Si nous pensons à ce triangle, pas en termes de forces mais plutôt en termes de distances, nous savons que ce côté est égal à 12 centimètres, ce côté est de 32 moins 16 soit 16 centimètres. Et cela signifie que l’hypoténuse est égale à la racine carrée de 12 au carré plus 16 au carré, soit 20 centimètres. Connaître ces longueurs latérales est utile car si nous appelons cet angle intérieur de notre triangle rectangle 𝜃, alors nous pouvons dire que la composante verticale de notre force de 30 newtons est égale à 30 fois le sinus de 𝜃.
Nous rappelons que, étant donné un triangle rectangle avec un autre angle intérieur 𝜃, le sinus de cet angle est égal au rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur de l’hypoténuse. Cela signifie que dans notre triangle rectangle, le sinus de 𝜃 est égal à12 divisé par 20. 30 fois 12 sur 20 égale 18. Et donc nous connaissons maintenant l’amplitude de la force 𝐹 deux. Et nous savons qu’elle est en newtons. Nous allons conserver ce résultat et passer maintenant à la recherche des deux forces inconnues restantes 𝐹 un et 𝐹 trois. Ces deux forces, nous le voyons, sont dirigées horizontalement.
Pour notre équation d’équilibre des forces, nous pouvons écrire que 𝐹 trois moins 𝐹 un moins la composante horizontale de la force de 30 newtons, qui est 30 fois le cosinus de 𝜃, est égal à zéro. En revenant à notre exemple de triangle rectangle, nous pouvons dire que le cosinus de cet angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent divisée par l’hypoténuse. Dans le triangle formé à partir de notre trapèze, ce rapport est égal à 16 divisé par 20. Même en sachant cela, nous pouvons voir que nous avons ici une équation mais deux inconnues. Nous devrons alors apporter d’autres informations pour trouver 𝐹 un et 𝐹 trois.
À ce stade, nous pouvons rappeler que les forces impliquées dans ce scénario sont proportionnelles les unes aux autres en fonction de leurs longueurs de côté correspondantes. Cela signifie, par exemple, que le rapport entre la longueur du côté 𝐴𝐷, 16 centimètres, et la longueur du côté 𝐴𝐵 est égal au rapport de 𝐹 un sur 𝐹 deux, les forces exercées sur ces côtés respectifs. C’est parfait car cela signifie que 𝐹 un est égal à 16 sur 12 fois 𝐹 deux, que nous connaissons. Donc, 𝐹 un est alors égal à 16 sur 12 fois 18 newtons, soit 24 newtons.
En rappelant cette méthode de proportionnalité, il y a maintenant deux façons de trouver 𝐹 trois. Nous pourrions utiliser la même méthode que nous avons utilisée pour trouver 𝐹 un. Ou, maintenant que nous connaissons 𝐹 un, nous pourrions utiliser cette équation d’équilibre des forces ici. Puisque nous avons déjà écrit cette équation, continuons avec. En ajoutant 𝐹 un et 30 fois 16 sur 20 aux deux côtés, nous obtenons que 𝐹 trois est égal à 𝐹 un plus 30 fois 16 sur 20. Et sachant que 𝐹 un est 24 et que 16 sur 20 est égal à quatre cinquièmes, nous constatons que 𝐹 trois est égal à 48 avec des unités de newtons.
Nous trouvons alors que les trois forces 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois agissant sur les côtés de ce trapèze ont des amplitudes, respectivement, de 24, 18 et 48 newtons. Ces amplitudes signifient que les quatre forces impliquées dans le trapèze agissent comme un couple.
Voyons maintenant un exemple où nous calculons le moment créé par un système de forces.
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, dans lequel 𝐴𝐵 est égal à 45 centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 55 centimètres et 𝐷𝐸 est égal à 28 centimètres. Les forces d’amplitudes 225, 275, 265 et 135 newtons agissent respectivement sur 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐸 et 𝐸𝐴. Si le système de forces est équivalent à un couple, déterminez l’intensité du moment des forces.
D’accord, nous avons donc ce rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷. Et on nous dit que la longueur du côté 𝐴𝐵 est égale à 45 centimètres, 𝐵𝐶 est 55 centimètres et que la longueur du côté 𝐷𝐸 est de 28 centimètres. On nous donne aussi l’amplitude de quatre forces agissant sur ce rectangle et que ce système de forces équivaut à un couple. Cela signifie que nous pouvons remplacer les quatre forces par deux forces égales en intensité et de sens opposés qui ne se trouvent pas sur la même ligne d’action. Sachant tout cela, nous voulons déterminer l’intensité du moment de ces quatre forces.
Pour commencer, laissons un peu d’espace sur l’écran. Et considérons ce que cela signifie que ces quatre forces sont équivalentes à un couple. Cela signifie que si nous devions tracer les lignes d’action de ces quatre forces et que si nous devions choisir deux points d’intersection de ces lignes de sorte que ces points incluent les quatre lignes d’action, alors nous pourrions efficacement modéliser les quatre forces comme si elles provenaient de ces deux points. Ainsi, par exemple, si nous choisissons les points 𝐶 et 𝐴 dans notre rectangle, alors à partir du point 𝐴 nous pouvons considérer que notre force de 225 newtons agit vers le bas et notre force de 135 newtons agit vers la droite, de même avec le point 𝐶, nous pouvons dire que notre force de 275 newtons agit vers la gauche et notre force de 265 newtons agit vers le haut et à droite. Parce que notre système de forces est équivalent à un couple, nous pouvons dire que la force totale agissant au point 𝐴 est égale en intensité et de sens opposé à cette force totale agissant au point 𝐶.
Et, en fait, nous pouvons aller plus loin que cela. Puisque les forces peuvent être séparées en composantes verticales et horizontales indépendantes, on peut dire que la force horizontale nette au point 𝐴 est égale en intensité et de sens opposé à celle du point 𝐶, et de même pour la force verticale nette en ces deux points. Soit dit en passant, nous n’avons pas forcément besoin d’utiliser les points A et 𝐶 comme modèle pour l’origine de nos quatre forces. Pris ensemble, ces deux points remplissent notre condition de chevauchement des quatre lignes d’action, mais, en regardant de nouveau notre rectangle, c’était la même chose pour les points 𝐸 et 𝐵. L’une ou l’autre de ces paires de points fonctionnerait pour analyser ce scénario.
Mais de toute façon, sachant que les forces totales en 𝐶 et 𝐴 forment un couple, notre objectif est de trouver le moment créé par ce couple. Nous pouvons rappeler que le moment créé par un couple de forces est égal à deux fois la composante de la force perpendiculaire fois la distance entre l’endroit où la force est appliquée et le centre de rotation. L’idée ici est que chacune des forces du couple contribue de manière égale au moment total. C’est pourquoi, si nous regardons cette composante perpendiculaire de l’une de ces deux forces, puis que nous la multiplions par la distance 𝑑, nous n’avons besoin que de multiplier ce résultat par deux pour trouver le moment total.
En utilisant 𝐴 et 𝐶 comme points d’origine des deux forces de notre couple, nous pouvons penser à ces forces comme agissant sur une ligne comme celle-ci qui joint les deux points. Donc, le point par rapport auquel nous calculons le moment est au milieu de ce segment. Dans notre rectangle, cette droite et ce milieu ressembleraient à ceci. Alors, voici l’idée. Si nous pouvons trouver la force nette perpendiculaire à cette droite agissant soit au point A, soit au point 𝐶, alors nous aurons trouvé 𝐹 perpendiculaire dans cette équation. Nous pourrions choisir le point 𝐶 ou le point 𝐴 pour trouver cette force.
Et puisque les forces au point 𝐴 agissent dans ce que nous pourrions appeler les directions purement verticale et purement horizontale, choisissons ce point. Notre objectif est donc de déterminer les composantes des forces de 225 et 135 newtons perpendiculaires à cette ligne orange en pointillés. L’addition de celles-ci nous donnera 𝐹 perpendiculaire ici. En regardant le triangle rectangle créé par notre force de 225 newtons, nous pouvons appeler cet angle intérieur de ce triangle 𝜃 indice un. Cet angle nous intéresse parce que le sinus de 𝜃 indice un fois 225 est égal à la composante perpendiculaire de cette force.
Maintenant, si nous revenons à notre figure d’origine, cet angle sur ce schéma est également égal à 𝜃 indice un. Et nous voyons qu’il s’agit bien d’un angle intérieur dans ce triangle rectangle dessiné en orange. Les deux côtés les plus courts du triangle ont des longueurs, respectivement, de 45 et 55 centimètres. Et avec le théorème de Pythagore, on peut alors dire que l’hypoténuse a une longueur de racine carrée de 45 au carré plus 55 au carré. Ceci est égal à la racine carrée de 5050.
À ce stade, nous pouvons rappeler que, avec un triangle rectangle où 𝜃 est un autre angle intérieur de ce triangle, le sinus de 𝜃 est égal au rapport de la longueur du côté opposé et de l’hypoténuse. Et cela signifie qu’en ce qui concerne l’angle auquel nous nous intéressons, le sinus de 𝜃 indice un, cela équivaut à 55 divisé par la racine carrée de 5050. Pour 𝜃 indice un, c’est le rapport de la longueur du côté opposé avec la longueur de l’hypoténuse. Nous avons donc maintenant une expression pour la composante perpendiculaire de cette force de 225 newtons. Et nous pouvons commencer à garder cela en tête en utilisant une variable que nous appellerons 𝐹 perpendiculaire. C’est exactement cette variable que nous voyons dans notre équation pour 𝑀 indice c. Et nous savons maintenant que cela est égal à ce terme plus un deuxième terme que nous déterminerons bientôt.
Ce deuxième terme est égal à cette composante de notre force de 135 newtons. Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser une approche similaire. Disons que cet angle intérieur dans ce triangle rectangle est 𝜃 indice deux. Sur notre rectangle, l’angle 𝜃 indice deux ressemblerait à ceci. Et remarquez que c’est le même que cet angle ici dans notre triangle. Une fois de plus, pour calculer la composante de cette force perpendiculaire à la ligne en pointillé, nous voulons utiliser le sinus de cet angle. Nous voulons calculer 135 fois le sinus de 𝜃 indice deux. Le sinus de cet angle est égal à la longueur du côté opposé, 45 centimètres, divisé par l’hypoténuse.
Nous connaissons maintenant la composante de la force de 135 newtons qui est perpendiculaire à notre droite orange en pointillés. C’est le deuxième et dernier terme de notre équation pour 𝐹 perpendiculaire. Très bien, donc pour trouver 𝑀 indice c, la seule chose qui nous reste maintenant est de trouver cette distance 𝑑 puis de la multiplier par 𝐹 perpendiculaire et deux. En regardant notre figure d’origine, cette distance est la moitié de la distance du point 𝐶 au point 𝐴. En d’autres termes, c’est cette distance ici. Nous voyons tout de suite que cela équivaut à la moitié de la longueur de notre hypoténuse. En d’autres termes, 𝑑 est égal à la racine carrée de 5050 sur deux.
Sachant tout cela, nous sommes maintenant prêts à calculer 𝑀 indice c. En utilisant les valeurs que nous avons calculées pour 𝐹 perpendiculaire et 𝑑, notez que ce premier facteur de deux s’annule avec ce deux au dénominateur et que ce dénominateur de racine carrée de 5050, qui apparaît dans les deux termes dans 𝐹 perpendiculaire, sera multiplié par cette même valeur et deviendra donc égale à un. Nous trouvons alors que 𝑀 indice c est égal à 225 fois 55 plus 135 fois 45. Et cela donne 18450. Nous rappelons que les unités de nos forces sont des newtons et les unités de nos distances dans cet exemple sont des centimètres. Le moment alors créé par ce système de forces, qui équivaut à un couple, est égal à 18450 newtons centimètres.
Terminons maintenant notre leçon en récapitulons quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu qu’un système de forces peut être équivalent à un couple. Si tel est le cas, le moment créé par ce système de forces est égal au moment d’un couple. Nous avons également vu que les forces d’un système peuvent agir le long d’une seule ligne ou selon différents axes, par exemple les côtés d’une figure. Et enfin, nous avons vu que lorsqu’un système de forces équivaut à un couple, les forces de ce système peuvent être modélisées comme agissant à partir de deux points différents.
