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L’eau coule doucement dans et à travers un tuyau principal qui se divise en deux tuyaux secondaires. Les tuyaux secondaires changent d’épaisseur sur leur longueur, comme indiqué sur la figure. La section transversale du tuyau là où il se divise est identique à la section transversale là où l’eau y pénètre. L’eau s’écoule à 0,25 mètre par seconde à la sortie du tuyau secondaire qui a la plus grande section transversale de sortie. L’eau s’écoule à 1,0 mètre par seconde à la sortie du tuyau secondaire qui a la plus petite section transversale de sortie. Quelle est la différence entre les sections des conduites secondaires là où l’eau y pénètre ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Sur notre figure, nous voyons un tuyau qui se divise en deux tuyaux distincts. L’eau coule ici à travers cette ouverture de 1,00 mètre carré puis, après une certaine distance, se divise en ces deux tuyaux distincts. Et pour chacun, on nous donne la section transversale du point de sortie de ce tuyau. Parallèlement à cela, on nous donne les vitesses de sortie de l’eau de chaque tuyau. Étant donné toutes ces informations, ce que nous voulons faire, c’est résoudre la différence entre les sections transversales des deux conduites secondaires au point où l’eau y rentre. Nous pouvons voir que ce point se trouve le long de cette ligne en pointillée ici. Si ce tuyau en haut a une section transversale à ce point S un et que celui du bas a une section d’entrée S deux, nous voulons résoudre leur différence. Et puisque S deux est visiblement plus grande que S un, ce sera S deux moins S un.
Pour nous aider, nous utiliserons une relation appelée équation de continuité des fluides. A chaque fois qu’un fluide incompressible, comme l’eau que nous avons ici, traverse un récipient, l’équation de continuité peut s’appliquer. Elle indique qu’à une section du récipient, indiquée par cet indice un, le volume de fluide qui traverse cette section en une unité de temps est égal au même volume de fluide qui traverse une autre section du récipient dans cette même unité de temps. En d’autres termes, le débit volumique de fluide à travers un récipient est constant.
L’équation de continuité pour les fluides est normalement écrite de cette façon. Cela dit, nous devons être prudents dans la façon dont nous l’appliquons car l’équation relie deux sections transversales d’un récipient traversé par le même fluide. Par exemple, nous pourrions utiliser une section transversale ici dans un tuyau et une section transversale ici. L’équation de continuité s’applique dans ce scénario car ces sections transversales font partie du même flux. En haut dans notre figure, cependant, nous voyons que S un et S deux ne font pas partie du même chemin d’écoulement ; l’eau qui coule dans l’une de ces zones ne coule pas dans l’autre.
Cela étant, nous pouvons dire que cette section transversale ici à l’entrée du tuyau et ces deux sections transversales ici aux points de sortie des deux tuyaux font en effet tous partie de la même trajectoire d’écoulement. En effet, toute l’eau qui entre ici doit sortir soit par le premier tuyau, soit par le second. Nous pourrions dire la même chose de cette section transversale initiale et de la somme S un plus S deux ici, mais nous n’appliquerons pas l’équation de continuité entre ces sections transversales parce que nous savons si peu de choses sur ce point de division où le tuyau se sépare en deux. Nous ne connaissons pas encore les vitesses de l’eau à travers l’un ou l’autre de ces tuyaux, et nous ne connaissons pas S un ou S deux.
Nous allons donc d’abord appliquer l’équation de continuité entre cette section transversale, que nous connaissons et la section transversale qui comprend la sortie des deux tuyaux. Nous connaissons les sections de chacun de ces tuyaux à leurs points de sortie, ainsi que la vitesse de l’eau qui les traverse.
Rappelons maintenant que l’équation de continuité concerne un débit volumique de fluide. Pour voir cela, nous pouvons reconnaître que si la section de chaque côté de cette équation est exprimée en unités de mètres carrés et que les vitesses sont exprimées en unités de mètres par seconde, alors les unités de chaque membre de l’équation de continuité sont en mètres cubes par seconde. En effet, nous considérons le débit volumique d’un fluide traversant un récipient. Sachant que lorsque nous écrivons notre équation entre ce point, appelons cette section transversale 𝑎, et au niveau de notre deuxième section transversale le long des points de sortie des deux tubes, nous appellerons cette section transversale 𝑏, l’équation de continuité finit par ressembler à ceci.
Ici, S indice 𝑎 est la section transversale du tuyau à son entrée. 𝑣 indice 𝑎 est la vitesse de l’eau lorsqu’elle entre par cette section. De l’autre côté, S indice un 𝑏 est la section transversale de notre tube le plus haut au point 𝑏. Et 𝑣 indice un 𝑏 est sa vitesse de sortie là-bas. C’est donné 0,25 mètres par seconde. De même, S indice deux 𝑏 est la section transversale de notre deuxième tuyau à son point de sortie. Et 𝑣 indice deux 𝑏 est la vitesse de l’eau à la sortie de ce tuyau, de 1,0 mètre par seconde. En considérant toute cette expression, nous connaissons la valeur de S indice 𝑎. Cela fait 1,00 mètre carré. Et nous connaissons également les valeurs de S indice un 𝑏, 𝑣 indice un 𝑏, S indice deux 𝑏 et 𝑣 indice deux 𝑏. Ces valeurs sont données sur notre figure. S indice un 𝑏 est de 0,75 mètre carré, et S indice deux 𝑏 est de 0,50 mètre carré, tandis que 𝑣 indice un 𝑏 est de 0,25 mètres par seconde et 𝑣 indice deux 𝑏 est de 1,0 mètres par seconde.
La seule inconnue dans cette équation est alors 𝑣 indice 𝑎. Et rappelons que c’est la vitesse d’entrée de l’eau dans notre tuyau. La détermination de 𝑣 indice 𝑎 nous sera utile. Pour ce faire, nous pouvons diviser les deux membres par S indice 𝑎, qui annule ce facteur à gauche, puis remplacez toutes les valeurs du membre droit de cette équation. S indice un 𝑏 a une valeur de 0,75 mètre carré. 𝑣 indice un 𝑏 est de 0,25 mètre par seconde. S indice deux 𝑏 mesure 0,50 mètre carré. Et 𝑣 indice deux 𝑏 est de 1,0 mètres par seconde. Enfin, S indice 𝑎 est égal à 1,00 mètre carré. Et comme elle a une valeur de un, nous voyons que cela ne changera pas la valeur de notre résultat.
Lorsque nous calculons cette fraction, nous obtenons un résultat exact de 0,6875 mètre par seconde. C’est plus de précision qu’on ne devrait en donner pour une réponse finale. Mais comme il s’agit d’une étape intermédiaire menant à notre réponse finale, nous conserverons tous ces chiffres pour l’instant. Après avoir écrit ce résultat sur le côté, réfléchissons maintenant à la façon dont nous pouvons utiliser 𝑣 indice 𝑎 pour résoudre S un et S deux. Sur notre figure, notez qu’au point où le tuyau se divise en deux tuyaux distincts, à ce point, la section transversale est égale à la section transversale S. Cela signifie que la vitesse à laquelle l’eau pénètre dans ces deux conduites lorsqu’elles se séparent est égale à la vitesse à laquelle elle pénètre dans la première conduite à la section S. En d’autres termes, au niveau de nos deux sections transversales d’intérêt, S un et S deux, la vitesse de l’eau est égale à 𝑣 indice 𝑎.
C’est utile car cela signifie que nous pouvons maintenant appliquer l’équation de continuité sur cette section du tuyau en vert. Cette équation dit que S un multiplié par 𝑣 indice 𝑎 est égal à S indice un 𝑏 fois 𝑣 indice un 𝑏. Rappelons que nous connaissons les valeurs sur le membre droit de cette expression. Et maintenant, nous connaissons aussi 𝑣 indice 𝑎. Par conséquent, si nous divisons les deux membres par 𝑣 indice 𝑎, cette vitesse s’annule à gauche. Et nous avons maintenant une expression pour l’une des sections que nous voulons déterminer. Et notez que nous connaissons toutes les valeurs de cette équation sur la droite. S indice un 𝑏 est de 0,75 mètres carrés, et 𝑣 indice un 𝑏 est de 0,25 mètres par seconde.
En insérant notre valeur connue pour 𝑣 indice 𝑎, nous obtenons un résultat de 0,27… mètre carré. Tout comme pour 𝑣 indice 𝑎, gardons ce résultat sur le côté. Et nous allons maintenant appliquer l’équation de continuité sur cette partie du deuxième tube pour pouvoir trouver la section S deux. Sur le côté gauche, nous avons S deux fois 𝑣 indice 𝑎. Et à droite, nous avons ce que nous avons appelé S indice deux 𝑏 fois 𝑣 indice deux 𝑏. Une fois de plus, en divisant les deux membres par 𝑣 indice 𝑎 pour isoler S deux, nous pouvons maintenant insérer les valeurs à droite de cette expression. S indice deux 𝑏 est de 0,50 mètres carrés, et 𝑣 indice deux 𝑏 est 1,0 mètres par seconde.
En calculant cette fraction, nous obtenons une fois de plus un nombre décimal avec plein de chiffre, cette fois, 0,72… mètre carré. C’est S deux. Alors maintenant, nous sommes prêts à calculer la différence entre ces sections. S deux moins S un vaut 0,72 mètre carré moins 0,27 mètre carré, ce qui équivaut à 0,45 mètre carré. Ce n’est cependant pas notre réponse finale, car nous devons donner notre réponse à deux décimales près. Nous pouvons noter que le nombre 0,45 qui se répète est égal à 0,45454545 et ainsi de suite. Donc, pour rapporter notre réponse à deux décimales, nous allons regarder la troisième décimale. Et en notant que ce nombre est inférieur à cinq, notre réponse est arrondie à 0,45 mètre carré. C’est la différence entre les sections transversales des conduites secondaires où l’eau pénètre.
