Transcription de la vidéo
Déterminez la mesure de l'angle entre les deux droites 𝐿 un : 𝑥 est égal à cinq moins huit 𝑡, 𝑦 est égal à moins trois moins quatre 𝑡, 𝑧 est égal à cinq plus six 𝑡 et 𝐿 deux : 𝑥 moins cinq sur trois égale 𝑦 plus cinq sur moins six égale 𝑧 moins deux sur moins deux, et arrondissez-la à la seconde d’arc près.
Pour trouver l’angle entre deux droites dans l’espace, puisque l’angle entre elles est l’angle entre leurs vecteurs directeurs nous trouverons d’abord ces vecteurs. Nous pouvons alors utiliser la formule suivante pour trouver l’angle entre les deux droites. Cosinus 𝜃 est égal à la norme du produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux divisée par la norme de 𝐝 un multipliée par la norme de 𝐝 deux.
Dans cette question, la ligne 𝐿 un est donnée sous forme paramétrique, où 𝑥 est égal à 𝑥 un plus 𝜆𝑎, 𝑦 est égal à 𝑦 un plus 𝜆𝑏 et 𝑧 est égal à 𝑧 un plus 𝜆𝑐. 𝐿 deux, en revanche, est donné sous forme cartésienne, où 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 est égal à 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏, ce qui est égal à 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑐, où 𝜆 est un scalaire. Et la droite passe par le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un, avec le vecteur directeur 𝐝 égal à 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤.
Dans la droite 𝐿 un, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement moins huit, moins quatre et six. Donc, 𝐝 un est égal à moins huit 𝐢 moins quatre 𝐣 plus six 𝐤, ce qui peut être écrit comme moins huit, moins quatre, six comme indiqué. En considérant la forme cartésienne de la droite 𝐿 deux, nous voyons que 𝑎 est égal à trois, 𝑏 est égal à moins six et 𝑐 est égal à moins deux. Ainsi, le vecteur directeur de cette droite 𝐝 deux est égal à trois, moins six, moins deux.
Nous sommes maintenant en mesure de trouver le produit scalaire et la norme de ces vecteurs. Pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs, nous trouvons la somme des produits des composantes correspondantes. Dans ce cas, nous avons moins huit multiplié par trois plus moins quatre multiplié par moins six plus six multiplié par moins deux. Cela se simplifie en moins 24 plus 24 plus moins 12, c’est-à-dire moins 12. Ensuite, nous trouvons la norme de 𝐝 un et 𝐝 deux. Ceci est égal à la racine carrée de la somme des carrés des différentes composantes. Ainsi, la norme du vecteur directeur 𝐝 un est égale à la racine carrée de 64 plus 16 plus 36, qui est la racine carrée de 116. Puisque 116 est égal à quatre multiplié par 29, en utilisant les lois sur les radicaux, nous pouvons réécrire ceci comme deux racine de 29.
De la même manière, la norme de 𝐝 deux est égale à la racine carrée de trois au carré plus moins six au carré plus moins deux au carré. Cela équivaut à la racine carrée de neuf plus 36 plus quatre, qui est la racine carrée de 49, c’est-à-dire sept. En notant que nous devons prendre la valeur du produit scalaire, qui est égal à 12, nous pouvons remplacer nos valeurs dans notre formule de cosinus 𝜃. Cela est égal à 12 divisé par deux racine de 29 multipliée par sept. Le membre de droite se simplifie à 12 sur 14 racine de 29, et nous pouvons alors prendre la fonction réciproque de cosinus des deux membres. Cela équivaut à 80,841425 etcetera.
On nous demande de donner notre réponse à la seconde près. Une façon de le faire est d’utiliser les boutons degrés, minutes et secondes de notre calculatrice, ce qui nous donne une réponse de 80 degrés, 50 minutes et 29 secondes à la seconde près. Alternativement, pour trouver les minutes et les secondes de l’angle, nous multiplions successivement la partie décimale par 60. En utilisant l’une ou l’autre méthode, nous constatons que la mesure de l’angle entre les deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux est de 80 degrés, 50 minutes et 29 secondes.
