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Vidéo de la leçon : Angle entre deux droites dans l’espace Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre à calculer l’angle entre deux droites dans l’espace à l’aide d’une formule.

20:17

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, on va apprendre à calculer l’angle entre deux droites dans l’espace à l’aide d’une formule. On utilisera pour cela la formule du cosinus de l’angle entre les droites déduit de la définition du produit scalaire. Les droites peuvent être définies de différentes manières et on verra comment calculer l’angle entre deux droites exprimées sous différentes formes. Vous devriez déjà être familier avec la recherche d’équations de droites dans l’espace et le calcul du produit scalaire de deux vecteurs.

La droite représentée sur ce schéma a pour vecteur directeur 𝐝 et passe par le point 𝐴, qui a les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un. Si 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 est un point de cette droite et 𝐫 est le vecteur position de 𝑃, alors une équation vectorielle de la droite est 𝐫 égale 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 un 𝐣 plus 𝑧 un 𝐤 plus 𝜆 fois 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires dans le sens des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, et 𝜆 est un scalaire. Chaque valeur de 𝜆 donne le vecteur position d’un point de la droite. Cette équation est équivalente aux équations paramétriques où 𝑥 égale 𝑥 un plus 𝜆𝑎, 𝑦 égale 𝑦 un plus 𝜆𝑏 et 𝑧 égale 𝑧 un plus 𝜆𝑐. Et ces deux représentations sont équivalentes à l’équation cartésienne où 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑐.

Le point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un est un point parmi une infinité de points sur la droite. Le vecteur 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤 est un vecteur directeur 𝐝, et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les rapports directeurs. Sinon, pour une droite passant par deux points connus comme sur le schéma deux, où les coordonnées du point 𝐴 sont 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un, les coordonnées du point 𝐵 sont 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, alors la droite a pour vecteur directeur 𝐝 égale 𝑥 deux moins 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un 𝐣 plus 𝑧 deux moins 𝑧 un 𝐤 et ses rapports directeurs sont 𝑥 deux moins 𝑥 un, 𝑦 deux moins 𝑦 un et 𝑧 deux moins 𝑧 un; en utilisant alors 𝐴 ou 𝐵 comme point fixe, on peut à nouveau écrire la droite sous l’une de ces trois formes: vectorielle, paramétrique ou cartésienne.

Supposons maintenant que nous avons deux droites dans l’espace, 𝐿 un et 𝐿 deux, où 𝐿 un a pour vecteur directeur 𝐝 un, 𝐿 deux a pour vecteur directeur 𝐝 deux et 𝜃 est l’angle entre les deux droites. On peut écrire ces deux droites sous forme vectorielle avec les équations indiquées, où 𝐫 un est le vecteur position de tout point sur 𝐿 un et 𝐫 deux est le vecteur position de tout point de 𝐿 deux. On peut également les écrire avec une notation vectorielle plus succincte. Et les éléments les plus importants dont on a besoin dans cette vidéo sont les vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux. 𝐝 un est le vecteur 𝑎 un 𝐢 plus 𝑏 un 𝐣 plus 𝑐 un 𝐤. Et 𝐝 deux est le vecteur directeur 𝑎 deux 𝐢 plus 𝑏 deux 𝐣 plus 𝑐 deux 𝐤.

La raison pour laquelle ces deux vecteurs directeurs sont si importants est que l’angle entre les deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux est défini comme l’angle aigu entre leurs vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux. Si on trace 𝐝 un et 𝐝 deux avec la même origine, on peut trouver l’angle entre eux en utilisant la formule de leur produit scalaire, en rappelant que le produit scalaire est la somme des produits de leurs composantes correspondantes dans chaque direction. Bien sûr, cette valeur est un scalaire. On rappelle également que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes ; donc par exemple, la norme de 𝐝 un est égale à la racine carrée de 𝑎 un au carré plus 𝑏 un au carré plus 𝑐 un au carré.

Rappelez-vous cependant que ce que nous recherchons est 𝜃, l’angle aigu entre les deux droites. Si on divise les deux membres de l’équation par le produit des normes des deux vecteurs, on obtient alors cos 𝜃 égale le produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux divisé par le produit de leurs normes. En résumé, pour trouver l’angle entre deux droites, il faut exprimer les droites sous une forme permettant de lire leurs vecteurs directeurs. On calcule ensuite le produit scalaire des vecteurs directeurs, que l’on divise par le produit de leurs normes, puis on prend la réciproque du cosinus du résultat.

Il convient de noter que si les droites sont perpendiculaires, alors 𝐝 un scalaire 𝐝 deux égale zéro, ce qui signifie bien sûr que 𝜃 est égal à 90 degrés ou 𝜋 sur deux. Si les deux droites sont parallèles, le produit scalaire est alors égal à plus ou moins le produit des deux normes. Dans ce cas, l’angle est égal à zéro ou à 180 degrés, selon le sens des vecteurs. Voyons maintenant quelques exemples pratiques et le premier exemple nous fournit les rapports directeurs des deux droites.

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites dont les rapports directeurs sont moins quatre, moins trois, moins quatre et moins trois, moins trois, moins un.

On connaît les rapports directeurs des deux droites. Appelons les 𝐿 un et 𝐿 deux. Et on doit trouver la mesure de l’angle aigu entre ces deux droites. Supposons pour le schéma que leurs vecteurs directeurs forment un angle aigu. Que l’on appelle 𝜃. On rappelle alors que les rapports de direction d’une droite sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 du vecteur directeur, ce qui signifie que le vecteur directeur est défini par 𝐝 égale 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤.

Dans ce cas, les vecteurs directeurs sont 𝐝 un égale moins quatre 𝐢 moins trois 𝐣 moins quatre 𝐤 et 𝐝 deux égale moins trois 𝐢 moins trois 𝐣 moins un 𝐤. Maintenant, pour trouver l’angle entre deux droites de vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux, on peut utiliser la formule cos 𝜃 égale le produit scalaire des deux vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux divisé par le produit de leurs normes. On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits des composantes correspondantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤 de chaque vecteur, et que c’est un scalaire. Ainsi que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤.

Dans le cas d’un vecteur directeur, les composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont bien sûr les rapports directeurs. Dans ce cas, le produit scalaire est donc égal à moins quatre fois moins trois plus moins trois fois moins trois plus moins quatre fois moins un. Soit 12 plus neuf plus quatre, ce qui fait 25. Pour utiliser la formule, on doit également calculer les normes des vecteurs. La norme de 𝐝 un est égale à la racine carrée de moins quatre au carré plus moins trois au carré plus moins quatre au carré. Ce qui fait racine carrée de 16 plus neuf plus 16, soit racine carrée de 41. Et la norme de 𝐝 deux est égale à la racine carrée de moins trois au carré plus moins trois au carré plus moins un au carré. Soit racine carrée de neuf plus neuf plus un, qui est égal à racine carrée de 19.

On sait donc que le produit scalaire des vecteurs directeurs est 25, Que la norme de 𝐝 un est racine carrée de 41, Et que la norme de 𝐝 deux est racine carrée de 19. Faisons un peu de place pour les substituer dans la formule, ce qui donne cos 𝜃 égale 25 sur racine carrée de 41 fois racine carrée de 19. En prenant la réciproque du cosinus sur les deux membres, on a 𝜃 égale cos moins un de 25 sur racine carrée de 41 fois racine carrée de 19. Et cela nous donne un angle 𝜃 de 26,399 degrés. Mais on n’a pas encore terminé car on doit exprimer l’angle entre les deux droites à la seconde près.

C’est pourquoi on n’a pas encore arrondi après la virgule. On a donc 26 degrés et on trouve les minutes en multipliant la partie décimale par 60. Ce qui nous donne 23,952 minutes. On n’arrondit toujours pas après la virgule car pour trouver les secondes, on doit à nouveau multiplier la partie décimale par 60, ce qui donne 57,126. Nous avons donc 26 degrés, 23 minutes et 57 secondes. Et l’angle est aigu donc notre schéma est correct. Par conséquent, la mesure de l’angle entre les deux droites qui ont les rapports directeurs moins quatre, moins trois, moins quatre et moins trois, moins trois, moins un est de 26 degrés, 23 minutes et 57 secondes à la seconde près.

Dans le prochain exemple, on va voir comment trouver l’angle entre deux droites en fonction des coordonnées de deux points sur chaque droite.

La droite 𝐿 un passe par les deux points 𝐴 de coordonnées moins deux, deux, moins trois et 𝐵 de coordonnées moins six, moins quatre, moins cinq et la droite 𝐿 deux passe par les deux points 𝐶 de coordonnées un, quatre, un et 𝐷 de coordonnées moins neuf, moins six, moins neuf. Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites, en donnant votre réponse au centième près si nécessaire.

On connaît deux points sur chacune des deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux, et nous devons calculer l’angle entre les deux droites. Il y a plusieurs façons de le faire, mais on va ici utiliser les vecteurs directeurs des droites. On sait que si une droite passe par deux points 𝑃 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑄 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux et a pour vecteur directeur 𝐝, alors 𝐝 égale 𝑥 deux moins 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un 𝐣 plus 𝑧 deux moins 𝑧 un 𝐤 où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires dans les sens des 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Et on peut trouver l’angle entre les deux droites en utilisant la formule cos 𝜃 égale le produit scalaire des vecteurs directeurs sur le produit de leurs normes.

Rappelez-vous que les composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤 d’un vecteur directeur sont appelées les rapports de direction. Pour pouvoir utiliser la formule, on doit donc trouver les vecteurs directeurs des deux droites. Commençons par la droite 𝐿 un passant par les points 𝐴 de coordonnées moins deux, deux, moins trois et 𝐵 de coordonnées moins six, moins quatre, moins cinq. En se référant à la formule du vecteur directeur 𝐝, on a 𝐝 un égale moins six moins moins deux 𝐢 plus moins quatre moins deux 𝐣 plus moins cinq moins moins trois 𝐤. C’est-à-dire 𝐝 un égale moins quatre 𝐢 moins six 𝐣 moins deux 𝐤.

Et pour la droite 𝐿 deux passant par les points 𝐶 de coordonnées un, quatre, un et 𝐷 de coordonnées moins neuf, moins six, moins neuf, son vecteur directeur 𝐝 deux est égal à moins neuf moins un 𝐢 plus moins six moins quatre 𝐣 plus moins neuf moins un 𝐤. Soit moins 10𝐢 moins 10𝐣 moins 10𝐤. En faisant un peu de place, nous pouvons à présent utiliser les vecteurs directeurs dans notre formule. La première chose dont on a besoin est leur produit scalaire, qui est égal au produit des composantes en 𝐢 plus le produit des composantes en 𝐣 plus le produit des composantes en 𝐤. Et sa valeur est un scalaire. Dans notre cas, il est égal à moins quatre fois moins 10 plus moins six fois moins 10 plus moins deux fois moins 10. Ce qui fait 40 plus 60 plus 20, soit 120.

On rappelle également que la norme du vecteur 𝐝 est égale à racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont ses composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Donc la norme de 𝐝 un est égale à la racine carrée de moins quatre au carré plus moins six au carré plus moins deux au carré. Soit racine carrée de 56. La norme du vecteur directeur 𝐝 deux est égale à la racine carrée de moins 10 au carré plus moins 10 au carré plus moins 10 au carré. Et cela est égal à la racine carrée de 300. En libérant un peu plus d’espace, on a maintenant tout ce dont on a besoin pour utiliser notre formule.

On substitue 𝐝 un scalaire 𝐝 deux, égal à 120, sur la norme de 𝐝 un fois la norme de 𝐝 deux. C’est-à-dire la racine carrée de 56 fois racine carrée de 300. En prenant la réciproque du cosinus des deux membres, on obtient 𝜃 égale cos moins un de 120 divisé par la racine carrée de 56 fois la racine carrée de 300. Avec une calculatrice, on obtient 22,2076 que l’on peut arrondir par 22,21 degrés au centième, donc la mesure de l’angle aigu entre les droites 𝐿 un et 𝐿 deux passant respectivement par les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶, 𝐷 est de 22,21 degrés.

Dans l’exemple suivant, on va voir comment calculer l’angle entre deux droites à partir de leurs équations cartésiennes.

Calculez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites moins deux 𝑥 égale quatre 𝑦 égale moins trois 𝑧 et moins quatre 𝑥 égale moins cinq 𝑦 égale deux 𝑧.

La question nous donne deux droites sous forme cartésienne. Rappelez-vous que l’équation cartésienne d’une droite est 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑐. Où le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un se trouve sur la droite et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les rapports degrés au centième, donc la mesure de l’angle du vecteur directeur 𝐝 de la droite. Commençons par appeler les droites 𝐿 un et 𝐿 deux. Et en comparant les trois termes de l’équation cartésienne générale à nos droites, on peut identifier des points sur les droites. Mais plus important encore, on peut trouver les rapports directeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et donc le vecteur directeur 𝐝 de chaque droite.

On pourra ensuite utiliser la formule indiquée pour trouver le cosinus de l’angle aigu entre les deux droites et prendre la réciproque du cosinus pour calculer la mesure de l’angle. Commençons donc par la droite 𝐿 un. En comparant le terme en 𝑥 à la forme cartésienne, on a moins deux 𝑥 égale 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎. Et en séparant la fraction sur le membre droit, on a 𝑥 sur 𝑎 moins 𝑥 un sur 𝑎. En comparant les coefficients, on trouve moins deux égale un sur 𝑎 et zéro égale moins 𝑥 un sur 𝑎. En résolvant la première équation, on obtient 𝑎 égale un sur deux. Et la deuxième équation donne donc 𝑥 un égale zéro. Nous faisons un peu de place et notons 𝑎 égale moins un sur deux et 𝑥 un égale zéro.

Et en faisant la même chose pour le terme en 𝑦, on trouve 𝑏 égale un sur quatre et 𝑦 un égale zéro. Enfin, pour le terme en 𝑧, on trouve 𝑧 égale moins un sur trois et 𝑧 un égale zéro. Maintenant, en se souvenant que 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un sont les coordonnées d’un point 𝐴 sur la droite, on trouve que 𝐴 est de coordonnées zéro, zéro, zéro. On rappelle de plus que le vecteur directeur est défini par 𝐝 égale 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤 donc le vecteur directeur de la droite 𝐿 un est 𝐝 un égale moins un sur deux 𝐢 plus un sur quatre 𝐣 moins un sur trois 𝐤. Et on appelle le point 𝐴 un pour le distinguer du point sur la droite 𝐿 deux.

Maintenant, si on fait la même chose pour la deuxième droite 𝐿 deux, elle passe par le point 𝐴 deux de coordonnées zéro, zéro, zéro et a pour vecteur directeur 𝐝 deux égale moins un sur quatre 𝐢 moins un sur cinq 𝐣 plus un sur deux 𝐤. Tout ce dont on a besoin dans ces droites sont leurs vecteurs directeurs pour la formule de cos 𝜃. On doit alors calculer le produit scalaire de ces vecteurs directeurs. Et rappelez-vous qu’il est égal à la somme des produits des composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤, et que la norme du vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés des composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤.

Dans notre cas, le produit scalaire est égal à moins un sur deux fois moins un sur quatre plus un sur quatre fois moins un sur cinq plus moins un sur trois fois un sur deux. Cela fait un sur huit plus moins un sur 20 plus moins un sur six, soit moins 11 sur 120. Faisons un peu de place et déterminons ensuite les normes des deux vecteurs. La norme de 𝐝 un est la racine carrée de moins un sur deux au carré plus un sur quatre au carré plus moins un sur trois au carré, ce qui donne racine carrée de 61 sur 12. Et la norme de 𝐝 deux est la racine carrée de moins un sur quatre au carré plus moins un sur cinq au carré plus un sur deux au carré. Et cela est égal à la racine carrée de 141 sur 20.

On peut à présent remplacer ces trois valeurs dans notre formule. Et on rappelle que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. On a donc moins 11 fois 12 fois 20 au numérateur et 120 fois racine carrée de 61 fois racine carrée de 141 au dénominateur. On peut simplifier 12 au numérateur et au dénominateur. Et le 10 restant au dénominateur avec le 20 au numérateur. On obtient ainsi cos 𝜃 égale moins 22 sur racine carrée de 61 fois racine carrée de 141. Maintenant, en faisant de la place et en prenant la réciproque du cosinus des deux membres, on trouve que 𝜃 est égal à 103,722 degrés au millième près. Mais c’est un angle obtus et notre angle doit être aigu. Essayons donc de visualiser nos vecteurs directeurs.

Dans cette représentation graphique des vecteurs directeurs, on peut voir que l’angle entre eux est obtus. Lorsque l’on parle de l’angle entre deux droites, on fait référence à l’angle aigu entre elles. Selon les cas, l’angle entre les vecteurs directeurs peut quant à lui être obtus ou aigu. Dans ce cas, l’angle qu’on a trouvé est le plus grand des deux angles possibles. Mais on recherche en fait la mesure de l’angle aigu. L’angle que on a trouvé correspond à 𝛽 sur cette figure. Et l’angle que on cherche est 𝛼 qui est égal à 180 moins 𝛽. Dans notre cas, cela correspond à 180 moins 103,722. Ce qui donne 76,278.

Nous n’avons pas encore tout à fait fini, car on doit donner la mesure de l’angle à la seconde près. En multipliant successivement les parties décimales par 60, on obtient 76 degrés, 16 minutes et 39 secondes. Par conséquent, l’angle entre les deux droites est de 76 degrés, 16 minutes et 39 secondes à la seconde près.

Terminons cette vidéo par récapituler certains des points clés. Si on connaît les vecteurs directeurs de deux droites dans l’espace, on peut les utiliser dans la formule permettant de trouver l’angle entre eux. Mais rappelez-vous que l’angle entre les deux droites doit être aigu.

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