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Fiche explicative de la leçon: Angle entre deux droites dans l’espace Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer l’angle entre deux droites dans l’espace à l’aide d’une formule.

En effet, étant donné deux droites dans l’espace, on peut utiliser la formule du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre les deux droites. On réarrange la formule pour déterminer le cosinus de l’angle entre les vecteurs directeurs, puis on prend la réciproque du cosinus pour déterminer l’angle entre les deux droites. Nous allons aussi voir comment on peut utiliser le cosinus directeur de deux droites pour trouver ce même angle.

Pour commencer, rappelons qu’une droite est spécifiée au complet dans l’espace, soit si elle passe par un point fixe connu et a une direction connue, comme dans la figure 1 ci-dessous, ou si la droite passe par deux points fixes connus, comme dans la figure 2.

Dans le premier cas, la droite dont le vecteur directeur est 𝑑 et passe par le point 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) qui possède un vecteur position 𝑎. Si 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) est un point sur cette droite et 𝑟 est le vecteur position de 𝑃, alors 𝑟=𝑎+𝜆𝑑 est l’équation vectorielle de la droite. Ici, 𝜆 est un scalaire et chaque valeur de 𝜆 donne le vecteur position d’un point unique sur la droite. Si on développe cela, rappelons qu’on peut exprimer l’équation d’une droite dans l’espace de la manière suivante.

Définition

En général, on peut écrire l’équation d’une droite parallèle au vecteur directeur 𝑑=𝑎𝑖+𝑏𝑗+𝑐𝑘 (où 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧) et passant par le point 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) comme 𝑟=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘+𝜆𝑎𝑖+𝑏𝑗+𝑐𝑘;𝑥=𝑥+𝜆𝑎;𝑦=𝑦+𝜆𝑏;𝑧=𝑧+𝜆𝑐,𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐().(formevectorielle)(formeparamétrique)formecartésienneou

Le point avec les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) est un point parmi le nombre infini de points sur la droite et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont appelés les rapports directeurs.

Dans le second cas (figure 2), pour une droite qui passe par deux points fixes connus 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵(𝑥;𝑦;𝑧) avec des vecteurs associés 𝑎 et 𝑏, le vecteur directeur de cette droite est défini par 𝑑=𝑏𝑎. C’est-à-dire 𝑑=(𝑥𝑥)𝑖+(𝑦𝑦)𝑗+(𝑧𝑧)𝑘.

Les rapports directeurs sont donc (𝑥𝑥)(𝑦𝑦)(𝑧𝑧) et si on utilise soit 𝐴 ou 𝐵 comme point fixe, on peut à nouveau écrire la droite sous forme vectorielle, paramétrique ou cartésienne.

Maintenant supposons qu’on ait deux droites dans l’espace, 𝐿 et 𝐿.

Si 𝐿 a un vecteur directeur 𝑑 et passe par le point de vecteur position 𝑎 et 𝐿 a le vecteur directeur 𝑑 et passe par le point de vecteur position 𝑎, sous forme vectorielle, ces droites ont les équations 𝐿𝑟=𝑎+𝜆𝑑,𝐿𝑟=𝑎+𝜆𝑑.

L’angle entre les deux droites est l’angle entre leurs vecteurs directeurs, 𝑑 et 𝑑. Cela ne dépend pas de leurs positions, donc, en résumé, si on connait les vecteurs directeurs des droites, on peut déterminer l’angle entre elles. Si on trace 𝑑 et 𝑑 à partir d’un point commun, on peut déterminer l’angle entre eux en réarrangeant la formule du produit scalaire des deux vecteurs.

Définition : Utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace

Étant donné les vecteurs directeurs, 𝑑 et 𝑑, de deux droites dans l’espace, le cosinus de l’angle 𝜃 entre les deux droites est défini par 𝑑𝑑=𝑑𝑑𝜃𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑,coscos où, par définition, on calcule le plus petit angle entre les deux droites en prenant la valeur absolue du produit scalaire (valeur du numérateur). En prenant la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient 𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑,0𝜃90.cos

Cela signifie en pratique que, pour deux droites dans l’espace, si on connait le vecteur directeur de chaque droite, on peut déterminer l’angle entre les deux droites en utilisant cette formule.

On peut aussi utiliser les cosinus directeurs de deux droites pour déterminer l’angle entre elles, où les cosinus directeurs d’une droite dans l’espace sont définis comme suit.

Définition : Cosinus directeur

Étant donné un vecteur (𝑎;𝑏;𝑐), les angles directeurs du vecteur, c’est-à-dire (𝛼;𝛽;𝛾), sont les angles que le vecteur forme respectivement avec les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 positifs. Les cosinus directeurs du vecteur sont alors définis par 𝑙=𝛼=𝑎𝑎+𝑏+𝑐,𝑚=𝛽=𝑏𝑎+𝑏+𝑐,𝑛=𝛾=𝑐𝑎+𝑏+𝑐.coscoscos

Les cosinus directeurs d’une droite ont la propriété suivante:coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=1.

Avec la définition suivante, on peut déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace en utilisant leurs cosinus directeurs.

Définition : Déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace en utilisant leurs cosinus directeurs

Si (𝑙;𝑚;𝑛) et (𝑙;𝑚;𝑛) sont les cosinus directeurs de deux droites dans l’espace, 𝐿 et 𝐿, alors le cosinus de l’angle aigu 𝜃 entre les deux droites est cos𝜃=|𝑙𝑙+𝑚𝑚+𝑛𝑛|.

Les exemples suivants démontrent comment fonctionne la formule du produit scalaire réarrangée lorsqu’on a les équations de deux droites sous diverses formes, puis démontrent comment on utilise les cosinus directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites. Dans notre premier exemple, on nous donne les rapports directeurs de deux droites.

Exemple 1: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites avec des rapports directeurs donnés

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites qui ont des rapports directeurs de (4;3;4) et (3;3;1).

Réponse

On a les rapports directeurs de deux droites, que nous allons appeler 𝐿 et 𝐿. Rappelant que les rapports directeurs sont les coefficients des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur directeur, pour 𝐿 et 𝐿 on a les vecteurs directeurs 𝑑=4𝑖3𝑗4𝑘,𝑑=3𝑖3𝑗𝑘,𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

On sait que l’angle entre deux droites avec les vecteurs directeurs 𝑑 et 𝑑 est défini par la formule cos𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑,𝑑𝑑 désigne la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs 𝑑 et 𝑑, 𝑑 est la norme d’un vecteur 𝑑 et 𝑑 est la norme d’un vecteur 𝑑.

Pour nos droites 𝐿 et 𝐿, le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est 𝑑𝑑=4𝑖3𝑗4𝑘3𝑖3𝑗𝑘=(4×3)+(3×3)+(4×1)=25.

Ainsi, la valeur absolue 𝑑𝑑 est égale à 25. La norme de 𝑑 est 𝑑=(4)+(3)+(4)=41, et la norme du vecteur 𝑑 est 𝑑=(3)+(3)+(1)=19.

Dans la formule du cosinus de l’angle 𝜃 entre les vecteurs directeurs, on a donc cos𝜃=254119.

Si on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient notre angle 𝜃=25411926,39920173.cos

On nous demande de trouver la mesure de l’angle à la seconde près et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. On multiplie donc la partie décimale de nos degrés par 60:0,39920173×6023,9521038. On a donc 23,9521038 ( minutes ) et si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60:0,9521038×6057,12657 ( secondes ).

Puis, à la seconde près, l’angle entre les deux droites 𝐿 et 𝐿 est 262357.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment déterminer l’angle entre deux droites à partir des coordonnées de deux points sur chaque droite.

Exemple 2: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites dans l’espace sachant les coordonnées de quatre points appartenant à ces droites

Une droite 𝐿 passe par les deux points 𝐴(2;2;3) et 𝐵(6;4;5) et une droite 𝐿 passe par les deux points 𝐶(1;4;1) et 𝐷(9;6;9). Déterminez la mesure de l’angle entre les deux droites et donnez votre réponse au centième près, si nécessaire.

Réponse

Pour notre première droite 𝐿, on commence par déterminer ses rapports directeurs à partir desquels on peut former son vecteur directeur. On peut le faire en soustrayant les coefficients des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du premier point 𝐴(2;2;3) à partir de ceux du deuxième point 𝐵(6;4;5). Ainsi, le vecteur directeur de 𝐿 est 𝑑=(6(2))𝑖+(42)𝑗+(5(3))𝑘=4𝑖6𝑗2𝑘,𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧. De même, lorsqu’on utilise les points 𝐶(1;4;1) et 𝐷(9;6;9) sur la seconde droite 𝐿, on a le vecteur directeur 𝑑=(91)𝑖+(64)𝑗+(91)𝑘=10𝑖10𝑗10𝑘.

Pour déterminer l’angle entre les droites 𝐿 et 𝐿, on peut utiliser la formule de la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs directeurs, qui est réarrangée pour donner cos𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑.

Cela signifie que pour trouver l’angle 𝜃, on doit trouver le produit scalaire 𝑑𝑑 des vecteurs directeurs et leurs normes 𝑑 et 𝑑. Le produit scalaire est défini par 𝑑𝑑=4𝑖6𝑗2𝑘10𝑖10𝑗10𝑘=(4×10)+(6×10)+(2×10)=120.

La valeur absolue, 𝑑𝑑, est égale à 120. La norme de 𝑑 est 𝑑=(4)+(6)+(2)=56, et la norme du vecteur 𝑑 est 𝑑=(10)+(10)+(10)=300.

Dans la formule du cosinus de l’angle 𝜃 entre les vecteurs directeurs, on a alors cos𝜃=12056300.

Si on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient notre angle 𝜃=1205630022,2076.cos

Puis, au centième près, l’angle entre les deux droites 𝐿 et 𝐿 est de 22,21.

Il est important de noter qu’en prenant la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs directeurs dans la formule, on s’assure de trouver l’angle aigu entre les deux droites. Cependant, entre deux droites (qui ne sont ni perpendiculaires ni parallèles), il y a en fait deux angles, un aigu ( 𝜃 ) et un obtus ( 𝛼 ):

L’angle aigu est l’angle le plus petit compris entre les sens positifs des deux vecteurs directeurs, comme indiqué sur la figure 1 ci-dessous.

Si les vecteurs directeurs sont dans des directions opposées, comme dans la figure 2, alors si on utilise la formule sans la valeur absolue du produit scalaire pour calculer l’angle entre les deux droites on aura l’angle obtus 𝛼. C’est pour cela qu’on prend la valeur absolue, car l’angle qu’on cherche est le plus petit des deux. Tout aussi valable, bien que nécessitant un peu plus de travail, on peut soustraire l’angle obtus de 180𝜃=180𝛼 pour obtenir l’angle aigu.

Cette idée est illustrée dans l’exemple suivant.

Exemple 3: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites sachant leur équation

Déterminez la mesure de l’angle entre les deux droites 𝐿𝑥=58𝑡,𝑦=34𝑡,𝑧=5+6𝑡 et 𝐿𝑥53=𝑦+56=𝑧22 et arrondissez-la à la seconde près.

Réponse

Pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace, puisque l’angle entre elles est l’angle entre leurs vecteurs directeurs, on doit d’abord déterminer leurs vecteurs directeurs. On pourra alors utiliser la formule ci-dessous pour déterminer l’angle entre les deux droites:cos𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑.

Dans ce cas, on a une droite. L’équation de la droite 𝐿 est donnée sous forme paramétrique:𝑥=𝑥+𝜆𝑎,𝑦=𝑦+𝜆𝑏,𝑧=𝑧+𝜆𝑐, et celle de 𝐿 est donnée sous forme cartésienne:𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐,𝜆 est un scalaire;cette droite passe par le point 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) et a comme vecteur directeur 𝑑=𝑎𝑖+𝑏𝑗+𝑐𝑘.

Notre droite 𝐿 est 𝐿𝑥=58𝑡,𝑦=34𝑡,𝑧=5+6𝑡.

Et lorsqu’on compare à la forme paramétrique générale, on peut voir que si 𝜆 correspond à 𝑡, alors 𝑎=8, 𝑏=4 et 𝑐=6. Ce sont nos rapports directeurs et notre vecteur directeur est donc 𝑑=8𝑖4𝑗+6𝑘.

Notez que pour trouver l’angle entre les deux droites, il n’est pas nécessaire de spécifier des points 𝐴 et 𝐴 par lesquels passent les droites. D’ailleurs, dans ce cas, on peut simplement trouver un point appartenant à la première droite en lisant son équation, on aurait 𝐴(5;3;5).

Maintenant, nous considérons la seconde droite 𝐿:𝐿𝑥53=𝑦+56=𝑧22.

Étant donné que, dans chacun des numérateurs, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont 1, lorsqu’on compare avec la forme cartésienne générale, on peut à nouveau lire les valeurs des rapports directeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐. On a 𝑎=3,𝑏=6,𝑐=2.et

Donc, le vecteur directeur de la droite 𝐿 est 𝑑=3𝑖6𝑗2𝑘.

On peut maintenant calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs, 𝑑𝑑, et leurs normes 𝑑 et 𝑑 pour les utiliser dans la formule du cosinus de l’angle entre les deux droites.

Le produit scalaire est 𝑑𝑑=8𝑖4𝑗+6𝑘3𝑖6𝑗2𝑘=(8×3)+(4×6)+(6×2)=12.

Sa valeur absolue, dont nous avons besoin pour notre formule, est 𝑑𝑑=12. La norme de 𝑑 est 𝑑=(8)+(4)+6=229, et la norme de 𝑑 est 𝑑=3+(6)+(2)=7.

Avec ces valeurs dans la formule, on a cos𝜃=121429.

Lorsqu’on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient l’angle 𝜃=12142980,84142565.cos

Si nous n’avions pas pris la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs directeurs, le cosinus de l’angle aurait été négatif. Notre connaissance de la trigonométrie nous indique qu’un cosinus négatif correspond à un angle obtus, c’est-à-dire à un angle supérieur à 90. Ce que nous voulons, cependant, est l’angle aigu entre les deux droites et c’est pourquoi nous prenons la valeur absolue du produit scalaire. Une alternative à cela serait de prendre d’abord la réciproque du cosinus de notre résultat négatif, ce qui donne 𝜃=12142999,158574.cos

Ensuite, pour trouver l’angle aigu, on soustrait ce résultat à 180:𝜃=180𝜃=18099,158574=80,841426.

Pour trouver les minutes et secondes de cet angle, on multiplie successivement la partie décimale par 60 comme suit:0,84142565×6050,485539000,48553900×6029,13234000.

Ainsi, la mesure de l’angle entre les deux droites 𝐿 et 𝐿 est de 805029.

Dans le prochain exemple, on démontre comment déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace, sachant leur équation cartésienne.

Exemple 4: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites 2𝑥=4𝑦=3𝑧 et 4𝑥=5𝑦=2𝑧.

Réponse

On nous donne deux droites dans l’espace que nous notons 𝐿 et 𝐿:𝐿2𝑥=4𝑦=3𝑧,𝐿4𝑥=5𝑦=2𝑧.

Les droites sont définies sous leur forme cartésienne, c’est-à-dire sous la forme 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐,(𝑥;𝑦;𝑧) est un point de la droite, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les rapports directeurs et la droite a comme vecteur directeur 𝑑=𝑎𝑖+𝑏𝑗+𝑐𝑘 (où 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧).

Pour déterminer l’angle entre nos deux droites 𝐿 et 𝐿, nous allons utiliser la formule cos𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑.

Nous aurons besoin de connaître les rapports directeurs ( 𝑎, 𝑏, et 𝑐 ) pour nos deux droites et nous pouvons les déterminer en comparant les trois termes de la forme cartésienne générale donnée ci-dessus avec ceux de chacune de nos deux droites.

Commençons par la droite 𝐿, on a 𝐿2𝑥=4𝑦=3𝑧,𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.FormeCartésienneGénérale

En comparant d’abord les termes en 𝑥:2𝑥=𝑥𝑥𝑎=𝑥𝑎𝑥𝑎, et lorsqu’on compare les coefficients, on a 𝑥2=1𝑎,0=𝑥𝑎.constante

Si on résout la première équation pour déterminer 𝑎, on voit que 𝑎=12. Ensuite, si on résout la seconde équation pour déterminer les termes constants, on obtient 𝑥=0. Si on suit la même procédure pour les termes 𝑦 et 𝑧 on obtient 𝑥=𝑦=𝑧=0 et 𝑎=12,𝑏=14,𝑐=13.et

Puisque 𝑥=𝑦=𝑧=0, on sait que la droite 𝐿 passe par le point (0;0;0). Et avec nos valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, on sait que 𝐿 a comme vecteur directeur 𝑑=12𝑖+14𝑗13𝑘.

Si on suit exactement la même procédure pour la seconde droite 𝐿, on trouve que cette droite passe aussi par le point (0;0;0) (puisque 𝑥=𝑦=𝑧=0), et que 𝑎=14,𝑏=15,𝑐=12.et𝐿 a le vecteur directeur 𝑑=14𝑖15𝑗+12𝑘.

On peut maintenant utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre les deux droites en utilisant la formule ci-dessus, avec la valeur absolue du produit scalaire et les normes des deux vecteurs directeurs. Le produit scalaire est 𝑑𝑑=12𝑖+14𝑗13𝑘14𝑖15𝑗+12𝑘=12×14+14×15+13×12=11120.

Sa valeur absolue, 𝑑𝑑, est donc 11120. La norme de 𝑑 est 𝑑=12+14+13=6112, et la norme du vecteur 𝑑 est 𝑑=14+15+12=14120.

Avec ces valeurs dans la formule, on obtient cos𝜃=×=2261141.

Si on prend le cosinus inverse des deux côtés, on a 𝜃=226114176,27757930.cos

Cependant, nous n’avons pas encore fini, car on nous demande de trouver l’angle à la seconde près. Pour ce faire, rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. On multiplie donc la partie décimale de nos degrés par 60:0,27757930×6016,654758. On a donc 16,654758 ( minutes ) et si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 on obtient 0,654758×6039,285539 ( secondes ). Puis, à la seconde près, l’angle entre les deux droites 𝐿 et 𝐿 est de 761639.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser les cosinus directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace.

Exemple 5: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites en utilisant leurs cosinus directeurs

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre une droite de rapport directeur (5;3;2) et une droite avec les angles directeurs (47,111,502330).

Réponse

On nous donne le rapport directeur d’une droite, que nous allons appeler 𝐿, et les angles directeurs d’une seconde droite, 𝐿. Pour déterminer la mesure de l’angle entre ces deux droites, nous allons utiliser la formule cos𝜃=|𝑙𝑙+𝑚𝑚+𝑛𝑛|,(𝑙;𝑚;𝑛) et (𝑙;𝑚;𝑛) sont les cosinus directeurs de nos deux droites, 𝐿 et 𝐿. Avant de pouvoir le faire, nous devons déterminer les cosinus directeurs de nos deux droites. Si on commence par 𝐿, on a le rapport directeur (5;3;2). Le cosinus directeur de la composante 𝑥 est défini par 𝑙=𝛼=𝑎𝑎+𝑏+𝑐,cos𝛼 est l’angle que le vecteur directeur de la droite forme avec l’axe des 𝑥. Dans notre cas, 𝑙=𝛼=55+3+2=538.cos

Si on s’arrange pour ne pas avoir de racine au dénominateur, on obtient 𝑙=53838, et si on suit la même procédure pour nos composantes 𝑦 et 𝑧, on obtient 𝑚=33838 et 𝑛=23838. Ainsi, pour 𝐿, les cosinus directeurs sont (𝑙,𝑚,𝑛)=53838,33838,23838.

Pour notre seconde droite, 𝐿, on a les angles directeurs (47,111,502330), on prend simplement les cosinus de ces angles pour déterminer les cosinus directeurs. Pour simplifier le calcul, on convertit d’abord l’angle directeur dans la direction 𝑧 en forme décimale comme suit:502330=50+2360+30360050,39167.

Les cosinus directeurs de 𝐿 sont alors (𝑙,𝑚,𝑛)=((47),(111),(50,39167)).coscoscos

Le cosinus de l’angle entre nos deux droites est alors défini par coscoscoscos𝜃=|𝑙𝑙+𝑚𝑚+𝑛𝑛|=|||53838(47)+33838(111)+23838(50,39167)|||0,585612835.

Maintenant, lorsqu’on prend la réciproque du cosinus des deux côtés de notre équation, on obtient 𝜃=(0,585612835)54,15370420.cos

Enfin, si on convertit en degrés, minutes et secondes en multipliant successivement les parties décimales par 60:0,15370420×609,222252, et 0,222252×6013,335. Ainsi, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites est de 𝜃=54913.

Nous terminons cette discussion sur l’angle entre deux droites dans l’espace en notant quelques points clés.

Points Clés

  • L’angle 𝜃 entre deux droites dans l’espace est l’angle entre leurs vecteurs directeurs 𝑑 et 𝑑.
  • Le cosinus de l’angle est défini par cos𝜃=𝑑𝑑𝑑𝑑.
  • Pour deux droites dans l’espace, 𝐿 et 𝐿, de cosinus directeurs (𝑙;𝑚;𝑛) et (𝑙;𝑚;𝑛), le cosinus de l’angle aigu 𝜃 entre les deux droites est cos𝜃=|𝑙𝑙+𝑚𝑚+𝑛𝑛|.
  • Si les droites sont perpendiculaires, alors 𝑑𝑑=0 et 𝜃=90.
  • Si les droites sont parallèles, alors 𝑑𝑑=±𝑑𝑑 et 𝜃=0 ou 180.

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