Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer l’angle entre deux droites dans l’espace à l’aide d’une formule.
En effet, étant donné deux droites dans l’espace, on peut utiliser la formule du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre les deux droites. On réarrange la formule pour déterminer le cosinus de l’angle entre les vecteurs directeurs, puis on prend la réciproque du cosinus pour déterminer l’angle entre les deux droites. Nous allons aussi voir comment on peut utiliser le cosinus directeur de deux droites pour trouver ce même angle.
Pour commencer, rappelons qu’une droite est spécifiée au complet dans l’espace, soit si elle passe par un point fixe connu et a une direction connue, comme dans la figure 1 ci-dessous, ou si la droite passe par deux points fixes connus, comme dans la figure 2.
Dans le premier cas, la droite dont le vecteur directeur est et passe par le point qui possède un vecteur position . Si est un point sur cette droite et est le vecteur position de , alors est l’équation vectorielle de la droite. Ici, est un scalaire et chaque valeur de donne le vecteur position d’un point unique sur la droite. Si on développe cela, rappelons qu’on peut exprimer l’équation d’une droite dans l’espace de la manière suivante.
Définition
En général, on peut écrire l’équation d’une droite parallèle au vecteur directeur (où , et sont les vecteurs unitaires dans les directions , et ) et passant par le point comme
Le point avec les coordonnées est un point parmi le nombre infini de points sur la droite et , et sont appelés les rapports directeurs.
Dans le second cas (figure 2), pour une droite qui passe par deux points fixes connus et avec des vecteurs associés et , le vecteur directeur de cette droite est défini par . C’est-à-dire
Les rapports directeurs sont donc et si on utilise soit ou comme point fixe, on peut à nouveau écrire la droite sous forme vectorielle, paramétrique ou cartésienne.
Maintenant supposons qu’on ait deux droites dans l’espace, et .
Si a un vecteur directeur et passe par le point de vecteur position et a le vecteur directeur et passe par le point de vecteur position , sous forme vectorielle, ces droites ont les équations
L’angle entre les deux droites est l’angle entre leurs vecteurs directeurs, et . Cela ne dépend pas de leurs positions, donc, en résumé, si on connait les vecteurs directeurs des droites, on peut déterminer l’angle entre elles. Si on trace et à partir d’un point commun, on peut déterminer l’angle entre eux en réarrangeant la formule du produit scalaire des deux vecteurs.
Définition : Utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace
Étant donné les vecteurs directeurs, et , de deux droites dans l’espace, le cosinus de l’angle entre les deux droites est défini par où, par définition, on calcule le plus petit angle entre les deux droites en prenant la valeur absolue du produit scalaire (valeur du numérateur). En prenant la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient
Cela signifie en pratique que, pour deux droites dans l’espace, si on connait le vecteur directeur de chaque droite, on peut déterminer l’angle entre les deux droites en utilisant cette formule.
On peut aussi utiliser les cosinus directeurs de deux droites pour déterminer l’angle entre elles, où les cosinus directeurs d’une droite dans l’espace sont définis comme suit.
Définition : Cosinus directeur
Étant donné un vecteur , les angles directeurs du vecteur, c’est-à-dire , sont les angles que le vecteur forme respectivement avec les axes des , et positifs. Les cosinus directeurs du vecteur sont alors définis par
Les cosinus directeurs d’une droite ont la propriété suivante :
Avec la définition suivante, on peut déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace en utilisant leurs cosinus directeurs.
Définition : Déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace en utilisant leurs cosinus directeurs
Si et sont les cosinus directeurs de deux droites dans l’espace, et , alors le cosinus de l’angle aigu entre les deux droites est
Les exemples suivants démontrent comment fonctionne la formule du produit scalaire réarrangée lorsqu’on a les équations de deux droites sous diverses formes, puis démontrent comment on utilise les cosinus directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites. Dans notre premier exemple, on nous donne les rapports directeurs de deux droites.
Exemple 1: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites avec des rapports directeurs donnés
Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites qui ont des rapports directeurs de et .
Réponse
On a les rapports directeurs de deux droites, que nous allons appeler et . Rappelant que les rapports directeurs sont les coefficients des composantes , et du vecteur directeur, pour et on a les vecteurs directeurs où , et sont les vecteurs unitaires dans les directions , et .
On sait que l’angle entre deux droites avec les vecteurs directeurs et est défini par la formule où désigne la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs et , est la norme d’un vecteur et est la norme d’un vecteur .
Pour nos droites et , le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est
Ainsi, la valeur absolue est égale à 25. La norme de est et la norme du vecteur est
Dans la formule du cosinus de l’angle entre les vecteurs directeurs, on a donc
Si on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient notre angle
On nous demande de trouver la mesure de l’angle à la seconde près et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. On multiplie donc la partie décimale de nos degrés par 60 : . On a donc ( minutes ) et si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 : ( secondes ).
Puis, à la seconde près, l’angle entre les deux droites et est .
Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment déterminer l’angle entre deux droites à partir des coordonnées de deux points sur chaque droite.
Exemple 2: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites dans l’espace sachant les coordonnées de quatre points appartenant à ces droites
Une droite passe par les deux points et et une droite passe par les deux points et . Déterminez la mesure de l’angle entre les deux droites et donnez votre réponse au centième près, si nécessaire.
Réponse
Pour notre première droite , on commence par déterminer ses rapports directeurs à partir desquels on peut former son vecteur directeur. On peut le faire en soustrayant les coefficients des composantes , et du premier point à partir de ceux du deuxième point . Ainsi, le vecteur directeur de est où , et sont les vecteurs unitaires dans les directions , et . De même, lorsqu’on utilise les points et sur la seconde droite , on a le vecteur directeur
Pour déterminer l’angle entre les droites et , on peut utiliser la formule de la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs directeurs, qui est réarrangée pour donner
Cela signifie que pour trouver l’angle , on doit trouver le produit scalaire des vecteurs directeurs et leurs normes et . Le produit scalaire est défini par
La valeur absolue, , est égale à 120. La norme de est et la norme du vecteur est
Dans la formule du cosinus de l’angle entre les vecteurs directeurs, on a alors
Si on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient notre angle
Puis, au centième près, l’angle entre les deux droites et est de .
Il est important de noter qu’en prenant la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs directeurs dans la formule, on s’assure de trouver l’angle aigu entre les deux droites. Cependant, entre deux droites (qui ne sont ni perpendiculaires ni parallèles), il y a en fait deux angles, un aigu ( ) et un obtus ( ) :
L’angle aigu est l’angle le plus petit compris entre les sens positifs des deux vecteurs directeurs, comme indiqué sur la figure 1 ci-dessous.
Si les vecteurs directeurs sont dans des directions opposées, comme dans la figure 2, alors si on utilise la formule sans la valeur absolue du produit scalaire pour calculer l’angle entre les deux droites on aura l’angle obtus . C’est pour cela qu’on prend la valeur absolue, car l’angle qu’on cherche est le plus petit des deux. Tout aussi valable, bien que nécessitant un peu plus de travail, on peut soustraire l’angle obtus de pour obtenir l’angle aigu.
Cette idée est illustrée dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites sachant leur équation
Déterminez la mesure de l’angle entre les deux droites et et arrondissez-la à la seconde près.
Réponse
Pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace, puisque l’angle entre elles est l’angle entre leurs vecteurs directeurs, on doit d’abord déterminer leurs vecteurs directeurs. On pourra alors utiliser la formule ci-dessous pour déterminer l’angle entre les deux droites :
Dans ce cas, on a une droite. L’équation de la droite est donnée sous forme paramétrique : et celle de est donnée sous forme cartésienne : où est un scalaire ; cette droite passe par le point et a comme vecteur directeur .
Notre droite est
Et lorsqu’on compare à la forme paramétrique générale, on peut voir que si correspond à , alors , et . Ce sont nos rapports directeurs et notre vecteur directeur est donc
Notez que pour trouver l’angle entre les deux droites, il n’est pas nécessaire de spécifier des points et par lesquels passent les droites. D’ailleurs, dans ce cas, on peut simplement trouver un point appartenant à la première droite en lisant son équation, on aurait .
Maintenant, nous considérons la seconde droite :
Étant donné que, dans chacun des numérateurs, les coefficients de , et sont 1, lorsqu’on compare avec la forme cartésienne générale, on peut à nouveau lire les valeurs des rapports directeurs , et . On a
Donc, le vecteur directeur de la droite est
On peut maintenant calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs, , et leurs normes et pour les utiliser dans la formule du cosinus de l’angle entre les deux droites.
Le produit scalaire est
Sa valeur absolue, dont nous avons besoin pour notre formule, est . La norme de est et la norme de est
Avec ces valeurs dans la formule, on a
Lorsqu’on prend la réciproque du cosinus des deux côtés, on obtient l’angle
Si nous n’avions pas pris la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs directeurs, le cosinus de l’angle aurait été négatif. Notre connaissance de la trigonométrie nous indique qu’un cosinus négatif correspond à un angle obtus, c’est-à-dire à un angle supérieur à . Ce que nous voulons, cependant, est l’angle aigu entre les deux droites et c’est pourquoi nous prenons la valeur absolue du produit scalaire. Une alternative à cela serait de prendre d’abord la réciproque du cosinus de notre résultat négatif, ce qui donne
Ensuite, pour trouver l’angle aigu, on soustrait ce résultat à :
Pour trouver les minutes et secondes de cet angle, on multiplie successivement la partie décimale par 60 comme suit :
Ainsi, la mesure de l’angle entre les deux droites et est de .
Dans le prochain exemple, on démontre comment déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace, sachant leur équation cartésienne.
Exemple 4: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites
Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites et .
Réponse
On nous donne deux droites dans l’espace que nous notons et :
Les droites sont définies sous leur forme cartésienne, c’est-à-dire sous la forme où est un point de la droite, , et sont les rapports directeurs et la droite a comme vecteur directeur (où , et sont les vecteurs unitaires dans les directions , et ).
Pour déterminer l’angle entre nos deux droites et , nous allons utiliser la formule
Nous aurons besoin de connaître les rapports directeurs ( , , et ) pour nos deux droites et nous pouvons les déterminer en comparant les trois termes de la forme cartésienne générale donnée ci-dessus avec ceux de chacune de nos deux droites.
Commençons par la droite , on a
En comparant d’abord les termes en : et lorsqu’on compare les coefficients, on a
Si on résout la première équation pour déterminer , on voit que . Ensuite, si on résout la seconde équation pour déterminer les termes constants, on obtient . Si on suit la même procédure pour les termes et on obtient et
Puisque , on sait que la droite passe par le point . Et avec nos valeurs de , et , on sait que a comme vecteur directeur .
Si on suit exactement la même procédure pour la seconde droite , on trouve que cette droite passe aussi par le point (puisque ), et que a le vecteur directeur .
On peut maintenant utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer l’angle entre les deux droites en utilisant la formule ci-dessus, avec la valeur absolue du produit scalaire et les normes des deux vecteurs directeurs. Le produit scalaire est
Sa valeur absolue, , est donc . La norme de est et la norme du vecteur est
Avec ces valeurs dans la formule, on obtient
Si on prend le cosinus inverse des deux côtés, on a
Cependant, nous n’avons pas encore fini, car on nous demande de trouver l’angle à la seconde près. Pour ce faire, rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. On multiplie donc la partie décimale de nos degrés par 60 : . On a donc ( minutes ) et si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 on obtient ( secondes ). Puis, à la seconde près, l’angle entre les deux droites et est de .
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser les cosinus directeurs pour déterminer l’angle entre deux droites dans l’espace.
Exemple 5: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites en utilisant leurs cosinus directeurs
Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle entre une droite de rapport directeur et une droite avec les angles directeurs ).
Réponse
On nous donne le rapport directeur d’une droite, que nous allons appeler , et les angles directeurs d’une seconde droite, . Pour déterminer la mesure de l’angle entre ces deux droites, nous allons utiliser la formule où et sont les cosinus directeurs de nos deux droites, et . Avant de pouvoir le faire, nous devons déterminer les cosinus directeurs de nos deux droites. Si on commence par , on a le rapport directeur . Le cosinus directeur de la composante est défini par où est l’angle que le vecteur directeur de la droite forme avec l’axe des . Dans notre cas,
Si on s’arrange pour ne pas avoir de racine au dénominateur, on obtient , et si on suit la même procédure pour nos composantes et , on obtient et . Ainsi, pour , les cosinus directeurs sont
Pour notre seconde droite, , on a les angles directeurs ), on prend simplement les cosinus de ces angles pour déterminer les cosinus directeurs. Pour simplifier le calcul, on convertit d’abord l’angle directeur dans la direction en forme décimale comme suit :
Les cosinus directeurs de sont alors
Le cosinus de l’angle entre nos deux droites est alors défini par
Maintenant, lorsqu’on prend la réciproque du cosinus des deux côtés de notre équation, on obtient
Enfin, si on convertit en degrés, minutes et secondes en multipliant successivement les parties décimales par 60 : , et . Ainsi, à la seconde près, la mesure de l’angle entre les deux droites est de .
Nous terminons cette discussion sur l’angle entre deux droites dans l’espace en notant quelques points clés.
Points Clés
- L’angle entre deux droites dans l’espace est l’angle entre leurs vecteurs directeurs et .
- Le cosinus de l’angle est défini par
- Pour deux droites dans l’espace, et , de cosinus directeurs et , le cosinus de l’angle aigu entre les deux droites est
- Si les droites sont perpendiculaires, alors et .
- Si les droites sont parallèles, alors et ou .