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Six masses de 70, 30, 70, 50, 70 et 10 kilogrammes sont placées aux sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 et 𝐹 d’un hexagone régulier de longueur latérale de 30 centimètres. Calculez la distance entre le centre de l’hexagone et le centre de gravité du système.
Pour commencer, pour trouver la distance entre le centre de l’hexagone et le centre de gravité du système, nous aurons besoin d’un moyen de trouver le centre de gravité. Pour cette situation particulière, on nous dit la masse de nos objets plutôt que leur poids. Et on ne nous dit rien sur le champ gravitationnel local. Nous pouvons donc supposer que le centre de gravité est le même que le centre de masse.
Le centre de masse d’un système est la moyenne pondérée de la position de tous les objets qui composent ce système, où la pondération d’une position particulière est la masse de l’objet à cet endroit. En tant que formule, nous pouvons calculer la coordonnée 𝑥 du centre de masse d’un système en multipliant la masse de chaque objet par la coordonnée 𝑥 de sa position, additionnant tous ces produits et divisant par la masse totale du système. Pour trouver une autre coordonnée, il suffit de remplacer 𝑥 dans la formule par la coordonnée que l’on cherche.
Notre plan est donc d’utiliser cette formule pour trouver les coordonnées du centre de masse, et puis trouver la distance entre ce point et le centre de l’hexagone. On ne nous donne pas les coordonnées de chacune des masses de notre système. Mais on nous dit qu’ils sont aux sommets d’un hexagone régulier de 30 centimètres de côté. C’est assez d’informations pour déterminer les coordonnées. Tout ce que nous avons à faire est de tracer un schéma.
Voici notre hexagone régulier, avec sa longueur de côté étiquetée, avec la lettre correspondant à chaque sommet, ainsi que la masse correspondante. Nous avons également inclus un repère. Appelons l’axe horizontal 𝑥 et l’axe vertical 𝑦. L’orientation de l’hexagone n’affecte pas notre réponse finale. Nous avons donc placé arbitrairement les sommets 𝐴 et 𝐷 sur l’axe des 𝑥 et nous avons également aligné le centre de l’hexagone sur l’origine juste pour simplifier nos calculs.
À ce stade, nous pouvons avancer en trouvant simplement les coordonnées de chaque sommet, puis en utilisant la formule du centre de masse et en effectuant le calcul. Cependant, au lieu d’utiliser cette approche, nous réduirons le problème à un problème plus simple en utilisant plusieurs étapes tout en tenant compte de certaines symétries déjà présentes. Cela réduira les calculs que nous devons faire à la fin, ainsi que le nombre de sommets dont nous devons identifier les coordonnées.
Pour effectuer ces simplifications, nous devrons comprendre un peu plus sur le centre de masse. En particulier, nous pouvons utiliser la notion de centre de masse pour remplacer une collection d’objets de différentes masses à différents endroits par un seul objet situé au centre de masse et dont la masse est la masse totale du système. Ce remplacement tient également dans notre formule de centre de masse elle-même. Autrement dit, la masse et l’emplacement correspondant ne doivent pas nécessairement faire référence à un seul objet, mais peuvent plutôt se référer à la masse totale d’un système et au centre de masse de ce système.
Concrètement, disons que nous avons un système de trois masses : 𝑚 un, 𝑚 deux et 𝑚 trois. Pour trouver le centre de masse de ce système, nous utilisons simplement notre formule. Mais considérons maintenant le sous-système composé uniquement des masses deux et trois. Disons que l’emplacement du centre de masse de ces deux masses est ici. Ensuite, si nous plaçons une masse en ce point, dont la masse est 𝑚 deux plus 𝑚 trois, le centre de masse du système constitué de la première masse et cette nouvelle masse sera identique au centre de masse du système constitué de tous trois masses initiales. Cela signifie que nous pouvons diviser notre système de six masses en plusieurs sous-systèmes plus petits, trouver le centre de masse de chaque sous-système, puis combiner ces centres de masse pour trouver le centre de masse du système global.
Nous commencerons par noter que les sommets 𝐴, 𝐶 et 𝐸 ont tous la même masse de 70 kilogrammes. Nous notons également que puisque ce sont tous les autres sommets d’un hexagone régulier, ils forment également les sommets d’un triangle équilatéral. Regardons de plus près ce triangle. Voici notre triangle équilatéral 𝐴𝐶𝐸 avec 70 kilogrammes à chaque sommet. Il s’avère qu’il est très facile de trouver le centre de masse d’un polygone régulier avec la même masse à chaque sommet.
Pour voir cela, nous observons d’abord que le centre de masse de cette figure se trouve quelque part à l’intérieur du triangle. Alors, imaginez que nous tournions le triangle de sorte que le sommet 𝐴 passe au sommet 𝐶, 𝐶 va à 𝐸 et 𝐸 va à 𝐴. Lorsque cela se produit, le centre de masse tourne également d’un tiers de tour car sa position par rapport aux sommets doit rester inchangée. Mais observez que les masses sur le triangle sont dans des positions identiques à celles où elles se trouvaient auparavant. Nous ne faisons que de renommer les sommets. Mais cela signifie que le centre de masse du triangle doit être le même que dans l’orientation précédente car les deux orientations sont identiques. Et cela signifie que ce point et ce point sont en fait le même point. Le seul point à l’intérieur d’un polygone régulier, comme ce triangle équilatéral, qui ne se déplace pas, peu importe la façon dont nous faisons tourner le polygone lui-même, est le centre exact du polygone.
Donc, sans faire de calcul, nous savons que le centre de masse de ce triangle équilatéral est ici au centre exact du triangle. Et c’est parce que le triangle lui-même est symétrique par rapport à ce point. C’est en général un argument très puissant. Et dans ce cas particulier, il nous dit qu’un triangle équilatéral de 70 kilogrammes à chaque sommet équivaut à 210 kilogrammes, soit trois fois 70, situé au centre géométrique.
Pour en revenir à notre schéma, le centre du triangle équilatéral est également le centre de l’hexagone, qui est situé à l’origine de notre système de coordonnées. Remplaçons donc les 70 kilogrammes à 𝐴, 𝐶 et 𝐸 par 210 kilogrammes à l’origine. Cela nous aide en fait de deux façons. Tout d’abord, cela nous fait passer de six points à quatre points, ce qui réduit considérablement le nombre de calculs que nous faisons. Et, de plus, un de ces points est à l’origine. Les points à l’origine sont très utiles car ils apparaissent sous la forme de zéros dans le numérateur de la formule du centre de masse. Ces zéros simplifient encore davantage nos calculs.
Il convient de mentionner que nous avons accompli une importante simplification au prix de faire d’efforts avec des arguments de symétrie impliquant la géométrie des triangles équilatéraux ; une fois que nous connaissons ces types d’arguments, nous pouvons en fait partir de notre schéma initial à un schéma simplifié en une seule étape. Autrement dit, une fois que nous observons que les points 𝐴, 𝐶 et 𝐸 ont tous la même masse et sont également espacés autour de l’origine, nous pouvons les remplacer immédiatement par leur masse combinée située à l’origine elle-même. Cette substitution est une simplification assez importante de notre système.
Faisons une autre substitution pour simplifier un peu plus notre système. Pour cette substitution, nous devrons savoir comment décomposer une masse en un seul point en deux ou plusieurs masses différentes. Disons que nous avons un système à deux masses, un avec une masse 𝑚 un plus 𝑚 deux et un avec une masse 𝑚 trois. Si nous le voulions, nous pourrions diviser une des masses, disons la première, en deux masses tant qu’elles sont toujours situées au même point et que la masse globale est la même.
Voyons maintenant comment ce type de séparation peut nous aider à remplacer un système plus simple par le système formé par le sommet de 30 kilogrammes en 𝐵 et le sommet de 10 kilogrammes en 𝐹. Voici nos deux points, et nous avons également inclus un axe horizontal juste pour illustrer la facilité et l’utilité de cette substitution. Notez que les deux points ont la même coordonnée 𝑥 et que leurs coordonnées 𝑦 sont de même valeur absolue mais de signe opposé. En fait, la seule chose qui brise la symétrie parfaite autour de l’axe horizontal est le fait que les masses sont différentes.
Rappelez-vous cependant que la symétrie est un outil très puissant comme nous l’avons vu précédemment. Essayons donc de rendre cette situation aussi symétrique que possible. Puisque la plus petite masse est de 10 kilogrammes, nous pouvons créer la symétrie que nous recherchons en divisant la plus grande masse en deux parties, l’une avec une masse de 10 kilogrammes et l’autre avec les 20 kilogrammes restants. Nous avons maintenant une symétrie parfaite par rapport à l’axe horizontal pour ces deux masses de 10 kilogrammes.
En utilisant les mêmes types d’arguments de symétrie que nous avons utilisés pour le triangle équilatéral, nous savons que nous pouvons remplacer ces deux masses de 10 kilogrammes par une seule masse de 20 kilogrammes au centre exact, qui est ici sur l’axe horizontal. En incluant cette substitution dans notre diagramme, il nous reste 20 kilogrammes au sommet 𝐵, 20 kilogrammes sur l’axe horizontal directement au-dessous de 𝐵, 210 kilogrammes à l’origine et 50 kilogrammes au sommet 𝐷.
Il s’agit d’une simplification relativement petite puisque nous avons autant de points qu’avant. Elle présente cependant deux avantages clés. Tout d’abord, maintenant, tous les points sauf un sont sur l’axe horizontal, ce qui signifie que la seule coordonnée 𝑦 que nous devons traiter est la coordonnée 𝑦 du point 𝐵, puisque la coordonnée 𝑦 des autres trois points est zéro. Cela va simplifier énormément le calcul de la coordonnée 𝑦 du centre de masse.
Deuxièmement, nous devons établir seulement trois valeurs pour les coordonnées, en particulier les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du sommet 𝐵 et la coordonnée 𝑥 du sommet 𝐷. Parmi les cinq coordonnées restantes, la coordonnée 𝑥 de la masse de 20 kilogrammes sur l’axe horizontal est la même que la coordonnée 𝑥 du sommet en 𝐵. Et les quatre autres coordonnées sont toutes zéro.
Il convient de mentionner que cette simplification a nécessité un certain travail, comme pour le triangle équilatéral. Mais une fois que nous sommes familiers avec ce type de processus, nous pouvons passer directement du diagramme initial au diagramme substitué en une ou deux étapes.
Bon, maintenant, travaillons sur les coordonnées de nos points. Commençons par trouver les coordonnées du point 𝐷. De retour dans notre diagramme initial, puisque le diagramme entier montre un hexagone régulier, le triangle formé par 𝐶𝐷 et l’origine est un triangle équilatéral. Mais l’un des côtés de ce triangle équilatéral est également un côté de l’hexagone, dont nous savons qu’il a une longueur de 30 centimètres, ce qui signifie que tous les côtés du triangle ont une longueur de 30 centimètres. Et puisque 𝐷 est sur l’axe horizontal, 𝐷 est à 30 centimètres de l’origine. Ainsi, les coordonnées du point 𝐷 sont 30 virgule zéro.
Les coordonnées de l’origine sont, bien sûr, zéro virgule zéro. Le point 𝐵, tout comme le point 𝐷, est le sommet d’un triangle équilatéral, celui-ci formé par 𝐴, 𝐵 et l’origine. En utilisant les règles pour les longueurs latérales des triangles avec des angles de 30, 60 et 90 degrés, nous pouvons déterminer que la coordonnée 𝑥 du point 𝐵 est moins la moitié de la longueur du côté du triangle, où la coordonnée est négative car il se trouve à gauche de l’origine. En outre, la coordonnée 𝑦 est la racine carrée de trois fois la moitié de la longueur du côté du triangle. Et, encore une fois, puisque le triangle a une longueur de côté de 30 centimètres, les coordonnées de 𝐵 sont moins 15 virgule 15 fois la racine carrée de trois.
Notre dernier point partage une coordonnée 𝑥 avec le point 𝐵 et la coordonnée 𝑦 est nulle. Donc, ses coordonnées sont moins 15 virgule zéro. Maintenant, tout ce que nous devons faire pour trouver le centre de masse est de l’insérer dans la formule et de le calculer. Tout d’abord, nous notons que la masse totale de notre système est de 210 plus 20 plus 20 plus 50, ou 300 kilogrammes. Commençons par la coordonnée 𝑥 du centre de masse. La somme dans le numérateur est 50 fois 30 plus 210 fois zéro plus 20 fois moins 15 plus 20 fois moins 15. Le dénominateur, comme nous l’avons déjà calculé, n’est que de 300.
Pour simplifier ce calcul, nous noterons plusieurs choses. Premièrement, 210 fois zéro est juste zéro. Deuxièmement, 20 fois 15, c’est 300. Donc, les deux derniers termes sont égaux à moins 300. Enfin, 50 fois 30 équivaut à cinq fois 300. Maintenant, nous voyons que chaque terme du numérateur est divisible par 300. Plus précisément, cinq fois 300 divisé par 300 est égal à cinq, zéro divisé par 300 est toujours égal à zéro, et moins 300 divisé par 300 est moins un. Donc, toute cette expression est égale à cinq moins un moins un, ce qui est égal à trois. Ainsi, la coordonnée 𝑥 du centre de masse est trois.
Libérons maintenant un peu d’espace afin de pouvoir faire un calcul beaucoup plus simple pour la coordonnée 𝑦 du centre de masse. Pour la coordonnée 𝑦, nous calculons le numérateur de la même manière en remplaçant 𝑥 par 𝑦. Comme nous l’avons vu précédemment, le seul point avec une coordonnée 𝑦 non nulle est la masse de 20 kilogrammes avec une coordonnée 𝑦 de 15 fois la racine carrée de trois. Donc, le seul terme non nul dans notre numérateur est 20 fois 15 racines trois. Et comme avant, notre dénominateur est toujours de 300.
C’est là que la puissance de notre deuxième substitution entre vraiment en jeu. Nous devons seulement considérer un terme dans le numérateur parce que tous les autres termes sont nuls. Comme nous l’avons vu précédemment, 20 fois 15 c’est 300. Le numérateur est donc 300 fois la racine carrée de trois. Et enfin, 300 divisé par 300 est un. Ainsi, la coordonnée 𝑦 du centre de masse n’est que la racine carrée de trois.
La dernière chose à faire est de calculer la distance entre trois virgule racine de trois, le centre de masse de l’hexagone, et l’origine, qui est le centre de l’hexagone. La distance entre tout point et l’origine n’est que la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes 𝑥 et 𝑦. Nous avons donc la racine carrée de trois au carré plus la racine carrée de trois au carré. Et puisque trois au carré est neuf et la racine carrée de trois au carré est trois, c’est la racine carrée de neuf plus trois, ou la racine carrée de 12. Et puisque 12 est deux aux carré fois trois, la racine carrée de 12 est deux fois la racine carrée de trois.
Et donc, enfin, nous constatons que la distance entre le centre de gravité de notre système et le centre géométrique de l’hexagone est deux fois la racine carrée de trois centimètres.
