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Simplifiez deux sinus au carré de 𝜃 plus cosinus au carré de 𝜃 plus un sur sécante au carré de 𝜃.
Pour simplifier cette expression, qui constitue la somme de plusieurs fonctions trigonométriques, nous devons pouvoir combiner certains de ces termes ensemble ou peut-être écrire toute la somme en fonction d'une seule fonction trigonométrique. Commençons par examiner le dernier terme de cette somme, qui est un sur sécante au carré de 𝜃.
Nous rappelons tout d'abord que sécante de 𝜃 est l'une des fonctions trigonométriques inverses. La définition de sécante de 𝜃 est un sur cosinus 𝜃. Le fait d’avoir un sur quelque chose fait de la sécante une fonction inverse. Ainsi, sécante au carré de 𝜃, ce qui signifie simplement sécante de 𝜃 le tout au carré, est égal à un sur cosinus de 𝜃 le tout au carré. En élevant au carré le numérateur et le dénominateur de cette fraction séparément, nous voyons que sécante au carré de 𝜃 est égal à un sur cosinus au carré de 𝜃.
Or, notre dernier terme n'est pas sécante au carré de 𝜃. Il est donc égal à un sur sécante au carré de 𝜃. Cela veut dire que nous avons un divisé par sécante au carré de 𝜃. Nous obtenons donc un divisé par un sur cosinus au carré de 𝜃.
Nous rappelons que pour diviser par une fraction, nous inversons cette fraction. Ainsi, son numérateur devient le dénominateur. Le dénominateur devient le numérateur. Ensuite, nous multiplions au lieu de diviser. Ainsi, un divisé par un sur cosinus au carré 𝜃 est égal à un fois cosinus au carré 𝜃 sur un. Ceci donne simplement cosinus au carré 𝜃. Ainsi, le terme final de notre expression est juste cosinus au carré 𝜃.
Nous pouvons donc substituer ce troisième terme de la somme par cosinus au carré 𝜃. Nous obtenons que cette somme est égale à deux sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 plus un autre cosinus carré 𝜃. Nous pouvons combiner ces deux cosinus au carré 𝜃 pour obtenir deux cosinus au carré 𝜃. La somme se simplifie donc en deux sinus au carré 𝜃 plus deux cosinus au carré 𝜃.
Nous constatons maintenant que les deux termes ont deux comme facteur commun. Nous pouvons donc factoriser cette somme par deux. Cela donne deux fois sinus au carré 𝜃 plus cosinus au carré 𝜃. Nous devons maintenant reconnaître que nous pouvons utiliser l'une de nos identités trigonométriques, qui stipule que, pour tout angle 𝜃, sinus au carré de 𝜃 plus cosinus au carré de 𝜃 est toujours égal à un.
Nous pouvons le voir en utilisant le cercle trigonométrique. Sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 indiquent la longueur verticale et horizontale d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est égale à un. En appliquant le théorème de Pythagore, nous voyons que le sinus au carré de 𝜃 plus le cosinus au carré de 𝜃 est toujours égale à un. Ainsi, en remplaçant la somme entre parenthèses par un, nous obtenons deux fois un, qui est égale deux.
Nous avons donc montré que la somme, deux sinus au carré de 𝜃 plus cosinus au carré de 𝜃 plus un sur sécante au carré de 𝜃, se simplifie en deux.
