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Fiche explicative de la leçon: Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide des formules de trigonométrie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à simplifier des expressions trigonométriques en utilisant des identités trigonométriques.

Nous pouvons souvent simplifier ces expressions en appliquant les identités trigonométriques qui relient entre elles différentes fonctions trigonométriques et leurs inverses. Bien qu’elles semblent purement mathématiques, ces expressions ont des applications concrètes.

Les identités trigonométriques ont plusieurs applications concrètes dans divers domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la théorie musicale et la navigation, pour n’en citer que quelques-uns. En physique, elles sont utiles pour déterminer la trajectoire d’un projectile, pour modéliser le rayonnement électromagnétique, pour analyser les courants continus et alternatifs et pour calculer la trajectoire d’un corps soumis à l’attraction gravitationnelle d’un autre corps massif.

Commençons par rappeler les définitions des fonctions trigonométriques qui vérifient les identités pythagoriciennes que nous allons introduire dans cette fiche explicative. Considérons le triangle rectangle suivant:

Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction des quotients des longueurs des côtés du triangle de la façon suivante sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Ces fonctions vérifient la relation trigonométrique suivante:tansincos𝜃=𝜃𝜃.

Remarquons que ces formules trigonométriques ne sont définies que pour des angles aigus 0<𝜃<90 et que pour définir les fonctions trigonométriques pour toute mesure d’angle 𝜃, on doit passer par le cercle trigonométrique.

Supposons qu’un point se déplace le long du cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. À une position particulière (𝑥;𝑦) sur le cercle trigonométrique d’angle 𝜃, la fonction sinus est définie comme 𝑦=𝜃sin et la fonction cosinus comme 𝑥=𝜃cos, comme illustré sur la figure ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique avec le rayon formant un angle 𝜃 avec le demi-axe des abscisses positives.

Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si l’on ajoute un multiple entier de 2𝜋  radians, ou de 360 en degrés, à l’angle 𝜃, la valeur de la fonction reste la même:sinsincoscostantan(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.

Cette propriété est une conséquence directe de la définition des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique. En fait, la fonction tangente est périodique de période 𝜋 en radians, ou 180 en degrés:tantan(180+𝜃)=𝜃.

Les identités trigonométriques que nous allons présenter dans cette fiche explicative sont vraies pour tout angle 𝜃 dans l’ensemble de définition des fonctions, que cet angle soit exprimé en degrés ou en radians. Par ailleurs, on peut convertir un angle entre degrés et radians en utilisant la règle suivante.

Règle : Conversion entre degrés et radians

Si un angle 𝜃degrés est exprimé en degrés, on peut le convertir en radians grâce à la relation 𝜃=𝜋180𝜃.radiansdegrés

Exemple 1: Démontrer l’identité pythagoricienne

La figure illustre un cercle trigonométrique et un rayon avec les longueurs de ses composantes en 𝑥 et 𝑦. En appliquant le théorème de Pythagore, écrivez une relation entre les quantités 1, cos𝜃 et sin𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons appliquer le théorème de Pythagore pour trouver une identité reliant les longueurs 1, cos𝜃 et sin𝜃 du triangle rectangle illustré sur la figure.

En notant 𝑎 le côté adjacent à l’angle connu, 𝑏 son côté opposé et 𝑐 l’hypoténuse, alors d’après le théorème de Pythagore, on a 𝑎+𝑏=𝑐.

Sur la figure ci-dessus, le côté adjacent est 𝑎=𝜃cos, le côté opposé est 𝑏=𝜃sin et l’hypoténuse est le rayon du cercle trigonométrique, 𝑐=1. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, on a (𝜃)+(𝜃)=1𝜃+𝜃=1.cossinsincos

Énonçons à présent l’identité pythagoricienne du sinus et cosinus que nous allons étudier dans cette fiche explicative.

Définition : Identité pythagoricienne pour les fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus vérifient l’identité pythagoricienne suivante sincos𝜃+𝜃=1.

Exemple 2: Simplifier une expression trigonométrique à l’aide de l’identité pythagoricienne

Simplifiez l’expression (𝜃+𝜃)2𝜃𝜃sincossincos.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons simplifier une expression impliquant des fonctions trigonométriques.

Nous allons simplifier cette expression en utilisant l’identité suivante:sincos𝜃+𝜃=1.

En développant l’expression, puis en appliquant cette identité, on a (𝜃+𝜃)2𝜃𝜃=𝜃+2𝜃𝜃+𝜃2𝜃𝜃=𝜃+𝜃+(2𝜃𝜃2𝜃𝜃)=𝜃+𝜃=1.sincossincossinsincoscossincossincossincossincossincos

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser l’identité pythagoricienne pour réécrire une expression en fonction de sinus et cosinus en une expression en fonction de sinus uniquement.

Exemple 3: Simplifier une expression trigonométrique à l’aide de l’identité pythagoricienne

Simplifiez l’expression 31𝜃+26𝜃sincos.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons simplifier une expression impliquant des fonctions trigonométriques.

Nous allons pour cela appliquer l’identité pythagoricienne sincos𝜃+𝜃=1.

Par conséquent, on peut réécrire l’expression en reformulant l’identité pythagoricienne cossin𝜃=1𝜃, de la façon suivante 31𝜃+26𝜃=31𝜃+261𝜃=31𝜃26𝜃+26=26+5𝜃.sincossinsinsinsinsin

Donnons maintenant la définition des fonctions inverses des fonctions trigonométriques.

Définition : Fonctions inverses des fonctions trigonométriques

Les fonctions cosécante, sécante et cotangente sont définies comme suit:cscsinseccoscottancossin𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃.

Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques sont également périodiques:csccscsecseccotcot(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.

De même que dans le cas de la fonction tangente, la fonction cotangente est périodique de période 𝜋 pour des angles exprimés en radians, ou 180 pour des angles exprimés en degrés:cotcot(180+𝜃)=𝜃.

Lorsque des expressions comportent les fonctions inverses des fonctions trigonométriques, il peut être utile de les exprimer en fonction du sinus et du cosinus pour les simplifier. Nous allons maintenant étudier quelques exemples où nous devons utiliser les fonctions inverses des fonctions trigonométriques pour simplifier des expressions trigonométriques.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression trigonométrique à l’aide de l’inverse d’une fonction trigonométrique et de l’identité pythagoricienne.

Exemple 4: Simplifier une expression trigonométrique grâce à l’identité pythagoricienne et aux inverses de fonctions trigonométriques

Simplifiez l’expression sincsccos𝜃𝜃𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression impliquant des fonctions trigonométriques et l’inverse d’une fonction trigonométrique.

À cette fin, nous rappelons que cscsin𝜃=1𝜃.

Nous allons également utiliser l’identité sincos𝜃+𝜃=1.

L’expression peut alors être simplifiée sincsccossinsincoscossin𝜃𝜃𝜃=𝜃×1𝜃𝜃=1𝜃=𝜃.

Remarquons que nous pouvons manipuler l’identité pythagoricienne sincos𝜃+𝜃=1 pour en déduire d’autres relations sur les fonctions inverses de fonctions trigonométriques. En particulier, en divisant par sin𝜃, on obtient sincossinsincossinsincotcsc𝜃+𝜃𝜃=1𝜃1+𝜃𝜃=1𝜃1+𝜃=𝜃.

De même, en divisant par cos𝜃, on peut obtenir l’identité reliant tan𝜃 à sec𝜃. Commençons par étudier comment il est possible d’utiliser ces identités pour simplifier des expressions trigonométriques. Dans le premier exemple, nous avons dû développer un binôme au carré avant de pouvoir appliquer l’identité pythagoricienne pour pouvoir finalement simplifier l’expression.

Identités pythagoriciennes des fonctions inverses des fonctions trigonométriques

On rappelle que 1+𝜃=𝜃,𝜃+1=𝜃.cotcsctansec

Penchons-nous à présent sur quelques exemples où nous pouvons utiliser les identités pythagoriciennes des fonctions inverses des fonctions trigonométriques.

Exemple 5: Simplifier une expression trigonométrique en utilisant les identités pythagoriciennes

Simplifiez l’expression 1𝜃1𝜃sintan.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier cette expression trigonométrique en utilisant une des identités pythagoriciennes des fonctions inverses des fonctions trigonométriques.

Nous rappelons les définitions cscsincottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃 ainsi que l’identité pythagoricienne 1+𝜃=𝜃,cotcsc que nous pouvons réécrire comme csccot𝜃𝜃=1.

À partir de l’expression initiale et en utilisant les définitions ainsi que l’identité pythagoricienne ci-dessus, on trouve 1𝜃1𝜃=(𝜃)(𝜃)=𝜃𝜃=1.sintancsccotcsccot

Étudions à présent quelques exemples dans lesquels nous devons simplifier des expressions trigonométriques en appliquant les identités pythagoriciennes des fonctions inverses de fonctions trigonométriques. Dans le prochain exemple, nous devons utiliser deux de ces identités.

Exemple 6: Simplifier une expression trigonométrique en utilisant les identités pythagoriciennes

Simplifiez l’expression sincoscsccot𝜃+𝜃𝜃𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques et des inverses de fonctions trigonométriques grâce aux identités pythagoriciennes.

En particulier, nous allons appliquer les identités sincoscotcsc𝜃+𝜃=1,1+𝜃=𝜃.

On peut réarranger la deuxième identité comme suit csccot𝜃𝜃=1.

L’expression se simplifie alors par:sincoscsccot𝜃+𝜃𝜃𝜃=1.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression trigonométrique en développant deux binômes élevés au carré puis en appliquant l’identité pythagoricienne impliquant la tangente.

Exemple 7: Simplifier une expression trigonométrique en utilisant les identités pythagoriciennes

Simplifiez l’expression (1𝜃)+(1+𝜃)tantan.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons simplifier une expression impliquant la tangente en utilisant une identité pythagoricienne.

Nous allons en particulier utiliser l’identité suivante tansec𝜃+1=𝜃.

En développant l’expression puis en utilisant l’identité précédente, on obtient (1𝜃)+(1+𝜃)=12𝜃+𝜃+1+2𝜃+𝜃=2+2𝜃=21+𝜃=2𝜃.tantantantantantantantansec

La fonction sinus est une translation de la fonction cosinus de 90 vers la gauche, ce que l’on peut voir graphiquement en traçant les courbes représentatives respectives de ces deux fonctions.

Analytiquement, cette propriété s’exprime par des relations entre les fonctions pour les angles 𝜃 et 90+𝜃:sincoscossin(90+𝜃)=𝜃,(90+𝜃)=𝜃.

Nous pouvons également illustrer ces relations sur le cercle trigonométrique comme sur la figure ci-dessous.

De même, en remplaçant 𝜃 par 𝜃, on obtient les relations sur les angles complémentaires 𝜃 et 90𝜃 suivantes:sincoscossin(90𝜃)=𝜃,(90𝜃)=𝜃.

Elles peuvent être illustrées sur la figure suivante.

La figure représente le triangle rectangle dont le rayon formant l’angle aigu 𝐴𝑂𝐵 coupe le cercle trigonométrique au point 𝐵(𝑥;𝑦) et dont la mesure satisfait 0<𝜃<90.

Nous pouvons utiliser les identités des angles complémentaires en conjonction avec les identités pythagoriciennes pour simplifier des expressions trigonométriques. Considérons par exemple l’expression sincoscossinsincos𝜃(90𝜃)+𝜃(90𝜃)=𝜃+𝜃=1.

En combinant ces diverses identités, nous pouvons déduire d’autres identités sur les fonctions trigonométriques.

Définition : Identités trigonométriques supplémentaires

Les fonctions trigonométriques vérifient les identités suivantes pour tout angle 𝜃 dans leurs ensembles de définition. En particulier, sincoscossintancotcottancscsecseccsc(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃.

Par exemple, pour la fonction tangente, on a tansincoscossincossincot(90±𝜃)=(90±𝜃)(90±𝜃)=𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

Toutes ces identités sont également vraies pour des angles exprimés en radians, c’est-à-dire en remplaçant 90 en degrés par 𝜋2 en radians.

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous allons simplifier une expression trigonométrique en utilisant ces identités.

Supposons à présent que nous souhaitions calculer sin(180𝜃). Nous pouvons le faire en appliquant à plusieurs reprises les identités ci-dessus. En posant 𝜃=90𝑥, on a sinsincos(180𝜃)=(90+𝑥)=𝑥.

Maintenant, en posant de nouveau 𝑥=90𝜃, on obtient sincossin(180𝜃)=(90𝜃)=𝜃.

De la même manière, nous pouvons montrer que coscos(180𝜃)=𝜃.

En appliquant de manière répétée ces identités ou en utilisant le cercle trigonométrique, nous pouvons également démontrer les identités suivantes pour les angles 𝜃 et 𝜃±180:sinsincoscos(180±𝜃)=𝜃,(180±𝜃)=𝜃.

Nous illustrons le cas des angles 𝜃 et 180𝜃 ci-dessous:

Et pour les angles 𝜃 et 180+𝜃, on a:

De façon similaire, on peut illustrer le cas des angles 𝜃 et 270±𝜃 comme suit sincoscossin(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=±𝜃.

Étudions à présent un exemple dans lequel nous devons simplifier une expression trigonométrique en utilisant les identités pythagoriciennes et les identités trigonométriques.

Exemple 8: Simplifier une expression trigonométrique en utilisant des identités trigonométriques

Simplifiez l’expression sinsin(180𝜃)+(270𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression trigonométrique en utilisant une identité pythagoricienne ainsi que des identités trigonométriques.

Nous allons appliquer l’identité pythagoricienne suivante sincos𝜃+𝜃=1, avec les identités trigonométriques sinsinsincos(180𝜃)=𝜃,(270𝜃)=𝜃.

L’expression initiale devient alors sinsinsincossincos(180𝜃)+(270𝜃)=(𝜃)+(𝜃)=𝜃+𝜃=1.

Il existe également des identités sur les autres fonctions trigonométriques qui découlent directement des identités précédentes pour le sinus et le cosinus:tantancotcotcsccscsecsec(180±𝜃)=±𝜃,(180±𝜃)=±𝜃,(180±𝜃)=𝜃,(180±𝜃)=𝜃 et tancotcottancscsecseccsc(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=±𝜃.

En utilisant la périodicité des fonctions trigonométriques et le cercle trigonométrique, nous avons sinsincoscostantancotcotcsccscsecsec(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=𝜃.

Ces identités sont également vraies pour des angles exprimés en radians, en remplaçant 360 en degrés par 2𝜋 en radians. Ces identités peuvent également être visualisées géométriquement sur un cercle trigonométrique comme illustré ci-dessous:

Toutes les identités que nous avons démontrées peuvent être visualisées sur le cercle trigonométrique suivant:

Terminons par un exemple dans lequel nous utilisons plusieurs de ces identités pour simplifier une expression.

Exemple 9: Simplifier une expression trigonométrique à l’aide d’identités trigonométriques

Simplifiez l’expression cossec(360𝜃)(180+𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et inverses de fonctions trigonométriques en utilisant des identités trigonométriques.

Nous allons utiliser la définition de la fonction sécante, seccos𝜃=1𝜃, et les identités trigonométriques coscossecsec(360𝜃)=𝜃,(180+𝜃)=𝜃.

L’expression initiale devient alors cosseccosseccoscos(360𝜃)(180+𝜃)=𝜃×𝜃=𝜃×1𝜃=1.

Enfin, regardons un exemple où nous utilisons cette identité, parmi d'autres, pour simplifier une expression.

Terminons par résumer quelques-uns des points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut exprimer la fonction tangente et les fonctions inverses de fonctions trigonométriques en fonction du sinus et du cosinus comme suit:tansincoscscsinseccoscottancossin𝜃=𝜃𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃.
  • Les identités pythagoriciennes sont sincoscotcsctansec𝜃+𝜃=1,1+𝜃=𝜃,𝜃+1=𝜃.
  • Le cercle trigonométrique nous permet de trouver les identités trigonométriques en fonction du sinus et du cosinus:
    Par exemple, les identités des angles supplémentaires (en radians) sont sincoscossin𝜋2𝜃=𝜃,𝜋2𝜃=𝜃. On peut trouver les identités correspondantes pour la fonction tangente et les inverses de fonctions trigonométriques en utilisant leurs définitions en fonction du sinus et du cosinus.
  • Nous devons souvent appliquer plus d’une identité, ou d’un type d’identité, pour pouvoir simplifier une expression trigonométrique.

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