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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier des expressions trigonométriques en appliquant des identités trigonométriques.
Nous commençons par rappeler qu’une identité est une équation qui est vraie quelles que soient les valeurs choisies. Nous utiliserons des combinaisons de ces identités trigonométriques, par exemple, les identités de fonctions inverses, les identités de décalage et les identités pythagoriciennes. Avant de regarder quelques exemples spécifiques, considérons les propriétés du cercle trigonométrique.
Nous rappelons que le cercle trigonométrique est un cercle de rayon un. Il nous permet de mesurer le sinus, le cosinus ou la tangente de n’importe quel angle 𝜃, avec 𝜃 mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l’axe des 𝑥 positifs. L’abscisse de tout point du cercle unité est égale à cosinus 𝜃 et l’ordonnée est égale à sinus 𝜃. Le triangle rectangle sur notre figure combiné avec le théorème de Pythagore nous conduit à la première identité pythagoricienne. Sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 égale un.
Le rappel des définitions des fonctions inverses nous permet de former deux autres identités pythagoriciennes. Les trois fonctions inverses sont la cosécante, la sécante et la cotangente telles que cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃, sécante 𝜃 égale un sur cosinus 𝜃 et cotangente 𝜃 égale un sur tangente 𝜃. Il est également intéressant de noter que puisque tangente 𝜃 égale sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, alors cotangente 𝜃 égale cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃. En divisant les deux côtés de notre première identité pythagoricienne par cosinus carré 𝜃, nous avons sinus carré 𝜃 sur cosinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 sur cosinus carré 𝜃 égale un sur cosinus carré 𝜃. En utilisant les définitions des fonctions inverses, cela se simplifie en tangente carré 𝜃 plus un égale sécante carré 𝜃.
De la même manière, nous pouvons diviser les deux côtés de la première identité par sinus carré 𝜃. Cela se simplifie en un plus cotangente carré 𝜃 égale cosécante carré 𝜃. Nous avons maintenant un ensemble de trois identités pythagoriciennes que nous allons utiliser avec les définitions de fonctions inverses pour résoudre quelques exemples.
Simplifiez sinus 𝜃 multiplié par cosécante 𝜃 moins cosinus carré 𝜃.
Dans cette question, on nous demande de simplifier une expression trigonométrique. Une façon de faire cela est d’utiliser les définitions des fonctions inverses et les identités pythagoriciennes. Dans les questions de ce type, il n’est pas toujours évident de savoir quoi faire en premier. Cependant, en règle générale, il convient de remplacer toutes les fonctions inverses par les fonctions sinus, cosinus ou tangente.
Nous savons que cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃. En substituant cela dans notre expression, nous avons sinus 𝜃 multiplié par un sur sinus 𝜃 moins cosinus carré 𝜃. Le sinus 𝜃 au numérateur et au dénominateur de notre premier terme se simplifient et il nous reste un moins cosinus carré 𝜃. Ensuite, nous rappelons l’une des identités pythagoriciennes : sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 égale un. En soustrayant cosinus carré 𝜃 des deux côtés, cela peut être réécrit comme sinus carré 𝜃 égale un moins cosinus carré 𝜃. Cela signifie que notre expression peut être réécrite comme sinus carré 𝜃. L’expression sinus 𝜃 multiplié par cosécante 𝜃 moins cosinus carré 𝜃 écrite dans sa forme la plus simple est sinus carré 𝜃.
Nous allons maintenant considérer un deuxième exemple de ce type.
Simplifiez sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 divisé par cosécante carré 𝜃 moins cotangente carré 𝜃.
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités pythagoriciennes. Tout d’abord, nous avons sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 égale un. En divisant chaque terme par sinus carré 𝜃 et en utilisant notre connaissance des fonctions trigonométriques inverses, nous avons un plus cotangente carré 𝜃 égale cosécante carré 𝜃. Nous remarquons que le côté gauche de la première identité est identique au numérateur de notre expression. En soustrayant cotangente carré 𝜃 des deux côtés de la seconde identité, nous avons un égale cosécante carré 𝜃 moins cotangente carré 𝜃. Le côté droit est le même que le dénominateur de notre expression.
Puisque sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 est égal à un et cosécante carré 𝜃 moins cotangente carré 𝜃 est aussi égal à un, notre expression se simplifie en un divisé par un. Cela est égal à un. L’expression sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 sur cosécante carré 𝜃 moins cotangente carré 𝜃 est égale à un.
Avant de regarder un dernier exemple, nous allons rappeler les identités de fonctions inverses et de décalage. Encore une fois, nous commençons par considérer le cercle trigonométrique. Puisque la somme des angles d’un triangle égale 180 degrés, le troisième angle de notre triangle rectangle égale 90 degrés moins 𝜃. Voyons ce qui se passe si nous redessinons ce triangle de telle sorte que l’angle entre l’axe des 𝑥 positifs et l’hypoténuse soit de 90 degrés moins 𝜃. Les coordonnées du point marqué sur le cercle trigonométrique seront cosinus de 90 degrés moins 𝜃, sinus de 90 degrés moins 𝜃. Nous remarquons que la distance dans le sens des 𝑥 ici est la même que la distance dans le sens des 𝑦 dans notre premier triangle. Cela signifie que le cosinus de 90 degrés moins 𝜃 doit être égal à sinus 𝜃. De même, sinus de 90 degrés moins 𝜃 égale cosinus 𝜃.
Puisque sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 égale tangente 𝜃, tangente de 90 degrés moins 𝜃 égale cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃. En utilisant notre connaissance des fonctions inverses, cela est égal à cotangente 𝜃. Il s’ensuit que sécante de 90 degrés moins 𝜃 égale cosécante 𝜃. La cosécante de 90 degrés moins 𝜃 égale sécante 𝜃. La cotangente de 90 degrés moins 𝜃 égale tangente 𝜃. Ces six identités sont connues sous le nom d’identités de cofonctions.
Nous pouvons également utiliser le cercle trigonométrique pour trouver des identités impliquant des angles tels que 180 degrés moins 𝜃, 180 degrés plus 𝜃 et 360 degrés moins 𝜃. Dans notre dernier exemple, nous utiliserons ces identités avec les identités pythagoriciennes pour simplifier une expression.
Simplifiez un plus cotangente carré de trois 𝜋 sur deux moins 𝜃 sur un plus tangente carré de 𝜋 sur deux moins 𝜃.
Pour répondre à cette question, nous devrons utiliser une variété d’identités trigonométriques. Il y a ici plusieurs façons de commencer. Cependant, nous commencerons par essayer de réécrire l’expression simplement en fonction de 𝜃. En dessinant d’abord le cercle trigonométrique, nous rappelons que 𝜋 radians égale 180 degrés. Cela signifie que 𝜋 sur deux radians égale 90 degrés. Le dénominateur de notre expression peut donc être réécrit comme un plus tangente carré de 90 degrés moins 𝜃. Une de nos identités de cofonctions dit que tangente de 90 degrés moins 𝜃 égale cotangente 𝜃. Cela signifie que tangente carré de 90 degrés moins 𝜃 égale cotangente carré 𝜃. Le dénominateur de notre expression est donc égal à un plus cotangente carré 𝜃.
Considérons maintenant l’angle trois 𝜋 sur deux moins 𝜃. Encore une fois, nous pouvons voir à partir du cercle unité que trois 𝜋 sur deux radians égale 270 degrés. Cela signifie que le numérateur de notre expression est égal à un plus cotangente de 270 degrés moins 𝜃. Si 𝜃 se trouve dans le premier quadrant, comme le montre notre triangle rectangle, alors trois 𝜋 sur deux moins 𝜃, ou 270 degrés moins 𝜃, se trouve dans le troisième quadrant. Il est clair sur la figure que cosinus de trois 𝜋 sur deux moins 𝜃 égale moins sinus 𝜃 et que sinus de trois 𝜋 sur deux moins 𝜃 égale moins cosinus 𝜃. Puisque sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 égale tangente 𝜃 et cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃 égale cotangente 𝜃, alors cotangente de 270 degrés moins 𝜃 égale tangente 𝜃. En mettant les deux côtés de cette identité au carré, nous pouvons réécrire le numérateur de notre expression comme un plus tangente carré 𝜃.
Notre prochaine étape consiste à rappeler deux des identités pythagoriciennes. Premièrement, tangente carré 𝜃 plus un égale sécante carré 𝜃. Deuxièmement, un plus cotangente carré 𝜃 égale cosécante carré 𝜃. Notre expression se simplifie en sécante carré 𝜃 sur cosécante carré 𝜃. Cela peut être réécrit comme sécante carré 𝜃 multiplié par un sur cosécante carré 𝜃. En rappelant les identités de cofonctions sécante 𝜃 égale un sur cosinus 𝜃 et cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃, nous avons un sur cosinus carré 𝜃 multiplié par sinus carré 𝜃, qui peut être réécrit comme sinus carré 𝜃 sur cosinus carré 𝜃, ce qui est finalement égal à tangente carré 𝜃. L’expression un plus cotangente carré de trois 𝜋 sur deux moins 𝜃 sur un plus tangente carré de 𝜋 sur deux moins 𝜃 écrite dans sa forme la plus simple est tangente carré 𝜃.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons simplifié les expressions trigonométriques en utilisant une variété d’identités trigonométriques. Nous avons utilisé les trois identités pythagoriciennes sinus carré 𝜃 plus cosinus carré 𝜃 égale un, tangente carré 𝜃 plus un égale sécante carré 𝜃 et un plus cotangente carré 𝜃 égale cosécante carré 𝜃. Nous avons également utilisé les définitions des cofonctions cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃, sécante 𝜃 égale un sur cosinus 𝜃 et cotangente 𝜃 égale un sur tangente 𝜃. Puisque tangente 𝜃 égale sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, nous avons également vu que cotangente 𝜃 égale cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃.
Nous avons également rappelé les identités de décalage sinus de 90 degrés moins 𝜃 égale cosinus 𝜃 et cosinus de 90 degrés moins 𝜃 égale sinus 𝜃. En utilisant les identités de cofonctions ci-dessus, cela nous a conduit à quatre autres identités supplémentaires. Enfin, nous avons utilisé le cercle trigonométrique pour déterminer d’autres identités trigonométriques, comme l’a montré notre dernier exemple. Dans de nombreux exemples, nous devons appliquer plusieurs identités ou types d’identités pour simplifier une expression trigonométrique.
