Video Transcript
Évaluez la limite de sinus 𝑥 sur sinus 𝑥 sur deux lorsque 𝑥 tend vers zéro.
Regardons cette limite. La première chose à essayer est la substitution directe. Nous substituons le nombre vers lequel 𝑥 tend, zéro, dans l’expression. Ce faisant, nous obtenons sinus zéro sur sinus zéro sur deux. Le sinus de zéro est zéro, nous avons donc zéro au numérateur. Évidemment, sinus de zéro sur deux vaut juste sinus de zéro, c’est-à-dire zéro. Ainsi, nous avons aussi zéro au dénominateur.
Zéro sur zéro est une forme indéterminée. Malheureusement, la substitution directe ne nous a pas donné la valeur de la limite que nous recherchons. Cela valait quand même la peine d’essayer. Alors, comment trouver cette limite ? Bien, nous allons voir deux méthodes dans cette vidéo. La première méthode utilise l’identité de l’angle double pour le sinus, qui dit que sinus deux 𝜃 est deux fois sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 pour tout angle 𝜃.
Si nous choisissons de substituer 𝑥 sur deux à 𝜃, nous constatons que sinus deux fois 𝑥 sur deux vaut deux sinus 𝑥 sur deux fois cosinus 𝑥 sur deux. Bien sûr, sur le côté gauche, deux fois 𝑥 sur deux vaut juste 𝑥. Nous trouvons donc que sinus 𝑥 vaut deux sinus 𝑥 sur deux cosinus 𝑥 sur deux. Bien, mais comment cela nous aide-t-il ? Si nous utilisons l’expression dans notre limite, nous voyons que nous avons un facteur de sinus 𝑥 sur deux au numérateur, qui s’annulera avec le sinus 𝑥 sur deux au dénominateur. Qu’obtenons-nous ensuite ?
Nous obtenons la limite de deux cosinus 𝑥 sur deux lorsque 𝑥 tend vers zéro. Il s’agit d’une limite que nous pouvons évaluer en utilisant la substitution directe. En remplaçant 𝑥 par zéro, nous obtenons deux cosinus zéro sur deux. Puis, cosinus zéro sur deux équivaut à cosinus zéro, soit un. Ainsi, notre réponse est deux fois un, soit deux. Cette méthode nécessite d’utiliser une substitution intelligente pour sinus 𝑥 : une substitution qui n’a peut-être pas été évidente, mais une fois que nous l’avons fait, la méthode était claire.
Nous pouvons cependant utiliser une autre astuce pour évaluer cette limite. Cette méthode utilise le fait que la limite de sinus 𝑥 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro vaut un. Il s’agit d’une limite importante car elle nous permet de dériver le sinus. Si vous n’avez pas vu cette limite auparavant, il est probablement préférable d’arrêter la vidéo ici et de vous contenter de la première méthode. Cependant, si vous avez déjà vu cette limite, vous pourriez être intéressé par la façon dont elle peut nous aider à résoudre notre problème. Bien, nous pouvons écrire sinus 𝑥 sur sinus 𝑥 sur deux comme sinus 𝑥 sur 𝑥 fois 𝑥 sur sinus 𝑥 sur deux.
Vous pouvez vérifier que cela est vrai en multipliant les fractions à droite, puis en simplifiant. Fondamentalement, nous avons juste diviser et multiplier par 𝑥. Nous pouvons alors utiliser le fait que la limite d’un produit de fonctions est le produit de leurs limites. Nous pouvons donc écrire cette limite comme le produit de deux limites. Nous connaissons la valeur de l’une d’elles : la limite de sinus 𝑥 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro vaut un. Ainsi, nous n’avons que l’autre limite à trouver : la limite de 𝑥 sur le sinus 𝑥 sur deux lorsque 𝑥 tend vers zéro.
Comment trouver cette limite ? Bien, il s’agit presque de l’inverse de la limite que nous connaissons. La limite de l’inverse de certaines fonctions n’est que l’inverse de la limite de cette fonction. Ainsi, nous voyons que la limite de 𝑥 sur sinus 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro vaut un. Il n’y a rien de spécial à propos de l’utilisation de la lettre 𝑥 ici. Nous pourrions utiliser n’importe quelle lettre, comme 𝜃. En pensant aux limites que nous avons, nous pourrions fixer 𝜃 égal à 𝑥 sur deux. La limite de 𝑥 sur deux sur sinus 𝑥 sur deux lorsque 𝑥 sur deux tend vers zéro vaut un.
Vous pourriez vous sentir un peu inquiet de remplacer 𝜃 par quelque chose qui n’est pas simplement une autre lettre, mais cela peut être justifié. Qu’est-ce que cela signifie pour 𝑥 sur deux de tendre vers zéro ? Bien, cela signifie simplement que 𝑥 lui-même tend vers zéro. Ainsi, nous avons que la limite de 𝑥 sur deux sur sinus 𝑥 sur deux lorsque 𝑥 tend vers zéro vaut un. Cela est vraiment proche de la limite que nous avons. La seule différence est que nous avons 𝑥 au numérateur au lieu de 𝑥 sur deux. Seulmeent, nous pouvons écrire 𝑥 au numérateur comme deux fois 𝑥 sur deux et nous savons que la limite de deux fois quelque chose est deux fois la limite de ce quelque chose.
Maintenant, nous avons une limite dont nous connaissons la valeur. La valeur de cette limite vaut un. La valeur de la limite dans notre question est donc deux fois un, ce qui donne deux. Voici notre réponse finale. Cette méthode n’a pas nécessité l’utilisation d’une identité intelligente pour sinus 𝑥. En général, utiliser la limite de sinus 𝑥 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro et les limites correspondantes pour cosinus et tangente permet de réécrire une limite trigonométrique comme une limite de fonction rationnelle, que vous trouverez peut-être plus facile à résoudre.
