Transcription de la vidéo
Utilisez le triangle de Pascal pour développer l’expression trois plus 𝑥 à la puissance quatre.
Le triangle de Pascal peut être utilisé pour déterminer la forme développée des coefficients. Comme son nom l'indique, il est de forme triangulaire. Nous pouvons trouver la rangée suivante du triangle en additionnant les deux nombres ci-dessus comme indiqué sur la figure. Dans notre question, la puissance, ou l’exposant, est de quatre. Cela veut dire qu'il y aura cinq termes dans l'expression développée. La rangée clé est la suivante : un, quatre, six, quatre et un. Il s'agit des coefficients de chacun des cinq termes de notre expression développée.
On peut aussi calculer ces valeurs en choisissant le bouton nCr de la calculatrice. Zéro parmi quatre égale un, un parmi quatre égale quatre, deux parmi quatre égale six et ainsi de suite. Le reste de l'expression développée sera 𝑎 à la puissance quatre fois 𝑏 à la puissance zéro, 𝑎 au cube fois 𝑏 à la puissance un, 𝑎 au carré fois 𝑏 au carré, et ainsi de suite. Les puissances de 𝑎 diminuent de quatre à zéro et les puissances de 𝑏 augmentent de zéro à quatre, où 𝑎 est le premier terme entre parenthèses, et 𝑏 le deuxième.
Ce développement fonctionne pour toute expression de la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛, où 𝑛 est un nombre relatif positif. Si nous substituons nos valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous obtenons ce qui suit. N’oublions pas que tout ce qui est à la puissance zéro est égal à un. Par conséquent, 𝑥 à la puissance zéro et trois à la puissance zéro font un. Trois au carré est égale à neuf. Trois au cube est égale à 27. Trois à la puissance quatre est égal à 81.
En simplifiant, le premier terme égale un fois 81. Le deuxième terme se simplifie en quatre fois 27 fois 𝑥. Le troisième terme est six fois neuf fois 𝑥 au carré. Le quatrième terme donne quatre fois trois fois 𝑥 au cube. Le dernier terme est un 𝑥 à la puissance quatre. En simplifiant chacun des termes, nous obtenons 81 plus 108𝑥 plus 54𝑥 au carré plus 12𝑥 au cube plus 𝑥 à la puissance quatre. Il s’agit du développement de l'expression binomiale trois plus 𝑥 à la puissance quatre en utilisant le triangle de Pascal.
