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Fiche explicative de la leçon : Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (𝑎+𝑏).

Nous commençons par examiner les expressions développées de (𝑎+𝑏) pour des puissances consécutives de 𝑛, en commençant par 𝑛=0. Étant donné que tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1 (notons que nous utilisons la convention selon laquelle 0=1), (𝑎+𝑏)=1.

De même, lorsque 𝑛=1, nous avons un cas un peu trivial:(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏.

Cependant, pour 𝑛2, les choses deviennent un peu plus intéressantes. En utilisant l’algèbre courante, nous savons (𝑎+𝑏)=𝑎+2𝑎𝑏+𝑏.

Nous considérons maintenant le cas où 𝑛=3. Nous utiliserons le résultat pour 𝑛=2 afin d’écrire les l’expression comme suit:(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑏)𝑎+2𝑎𝑏+𝑏.

En développant les parenthèses, nous avons (𝑎+𝑏)=𝑎+2𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑏+2𝑎𝑏+𝑏=𝑎+3𝑎𝑏+3𝑎𝑏+𝑏.

De même, on peut calculer l’expression développée de (𝑎+𝑏) en utilisant l’expression développée de (𝑎+𝑏) comme suit:(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑏)𝑎+3𝑎𝑏+3𝑎𝑏+𝑏.

Nous pouvons maintenant développer les parenthèses pour obtenir (𝑎+𝑏)=𝑎+3𝑎𝑏+3𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑏+3𝑎𝑏+3𝑎𝑏+𝑏=𝑎+4𝑎𝑏+6𝑎𝑏+4𝑎𝑏+𝑏.

Comme vous pouvez le voir, si nous devions essayer de trouver le développement de (𝑎+𝑏) de cette manière, cela pourrait prendre beaucoup de temps et s’avérer difficile. Nous avons besoin d’une méthode plus efficace qui se généralise aux puissances supérieures. Pour construire une telle méthode, nous allons d’abord chercher des motifs qui pourraient nous aider. On commence par organiser les expressions développées de (𝑎+𝑏) l’une au-dessus de l’autre pour voir si nous pouvons trouver des motifs qui se répètent.

Certains des motifs les plus évidents que nous remarquons sont liés aux diagonales:les coefficients des termes de la première diagonale ne contiennent que des uns, tandis que les coefficients de la deuxième diagonale contiennent des entiers consécutifs.

De plus, nous pouvons voir qu’il y a une symétrie axiale par rapport à l’axe centrale.

De plus, nous remarquons que sur une ligne donnée, la somme des exposants est égale à 𝑛. Par exemple, sur la ligne représentant 𝑛=4, le deuxième terme est 4𝑎𝑏. L’exposant de 𝑎 est 3 et l’exposant de 𝑏 vaut 1. Ainsi, leur somme est égale à 4.

Enfin, nous voyons qu’il existe une relation entre les coefficients sur les lignes consécutives:si nous ajoutons les deux coefficients consécutifs dans la ligne ci-dessus, nous obtenons le coefficient du dessous dans la ligne suivante.

Le triangle qui compose les coefficients binomiaux est généralement appelé triangle de Pascal.

Définition : Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un ensemble triangulaire de coefficients binomiaux. Les rangées sont énumérées à partir du haut de sorte que la première rangée est numérotée 𝑛=0. De même, les éléments de chaque ligne sont énumérés à partir de 𝑘=0 jusqu’à 𝑛. Les huit premières lignes du triangle de Pascal sont illustrées ci-dessous.

Bien que, dans une grande partie du monde occidental, le triangle porte le nom du mathématicien français Blaise Pascal, il était en réalité bien connu des mathématiciens depuis des siècles dans des endroits tels que la Chine, la Perse et l’Inde.

Le triangle de Pascal est facile à réaliser pour de petites valeurs de 𝑛 et est donc extrêmement utile pour développer des expressions binomiales de puissances peu élevées. Dans la suite, nous verrons comment ses propriétés nous donnent une méthode générale pour développer des expressions binomiales à l’aide de la formule du binôme de Newton.

Nous devons différencier le fait de se référer à des lignes en utilisant des nombres ordinaux tel que dans la première ligne et dans la deuxième ligne, et le fait de s’y référer en utilisant le rang de ligne 𝑛:quand on dit la deuxième ligne, on se réfère à la ligne pour laquelle 𝑛=1.

Exemple 1: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients binomiaux dans la formule du binôme de Newton

Hector a étudié la relation entre le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton. Il a remarqué que chaque ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients de l’expression binomiale développée de (𝑥+𝑦), comme indiqué sur la figure. Par exemple, la cinquième ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients de l’expression développée de (𝑥+𝑦).

  1. En déterminant la rangée suivante du triangle de Pascal, déterminez les coefficients de l’expression développée de (𝑥+𝑦).
  2. Hector veut maintenant calculer les coefficients de chacun des termes de l’expression développée de (2𝑥+𝑦). En remplaçant 2𝑥 dans l’expression ci-dessus ou d’une autre manière, calculez tous les coefficients de l’expression développée.

Réponse

Partie 1

Pour déterminer la septième rangée du triangle de Pascal, on commence par écrire la sixième rangée. Ainsi, comme toutes les lignes commencent par le nombre 1, nous pouvons l’écrire. Nous pouvons ensuite additionner chaque paire consécutive d’éléments de la sixième ligne et écrire leur somme dans l’espace situé en dessous. Nous illustrerons cette méthode ci-dessous.

En commençant par la première paire de termes, 1 et 5, nous les additionnons pour obtenir 6 et le plaçons dans l’espace vide en-dessous.

En passant à la paire de termes suivante, nous avons 5+10=15, que nous ajoutons à la ligne de la même manière.

Maintenant, nous considérons les termes intermédiaires 10+10=20.

Enfin, nous pouvons utiliser l’axe de symétrie du triangle de Pascal pour compléter la ligne.

Comme les éléments du triangle de Pascal sont les coefficients binomiaux, on peut dire que les coefficients des termes de l’expression développée de (𝑥+𝑦) seront respectivement 1, 6, 15, 20, 15, 6 et 1.

Partie 2

Puisque (𝑥+𝑦)=𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦, on peut remplacer 2𝑥 à la place de 𝑥 et écrire (2𝑥+𝑦)=(2𝑥)+4(2𝑥)𝑦+6(2𝑥)𝑦+4(2𝑥)𝑦+𝑦.

En simplifiant, nous avons (2𝑥+𝑦)=2𝑥+4×2𝑥𝑦+6×2𝑥𝑦+4×2𝑥𝑦+𝑦=16𝑥+32𝑥𝑦+24𝑥𝑦+8𝑥𝑦+𝑦.

Par conséquent, les coefficients pour chacun des termes de l’expression développée de (2𝑥+𝑦) valent 16, 32, 24, 8 et 1.

Exemple 2: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients binomiaux

Bastien sait qu’il peut utiliser la 6e ligne du triangle de Pascal pour calculer les coefficients de l’expression développée de (𝑎+𝑏).

  1. Calculez les nombres dans la sixième rangée du triangle de Pascal et ainsi, écrivez les coefficients de l’expression développée de (𝑎+𝑏).
  2. À présent, en considérant les différents exposants des puissances de 𝑎 et de 𝑏 et en utilisant le triangle de Pascal, calculez les coefficients de l’expression développée de (2𝑎2𝑏).

Réponse

Partie 1

Rappelons que nous pouvons écrire les rangées du triangle de Pascal en additionnant les termes des rangées précédentes. Par conséquent, à partir des première et deuxième lignes, qui ne contiennent que des uns, nous pouvons créer la troisième ligne en ajoutant les termes consécutifs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

De même, nous pouvons écrire les autres lignes en utilisant la même méthode, jusqu’à ce que nous arrivions à la sixième ligne.

Comme les éléments du triangle de Pascal sont les coefficients binomiaux, on peut dire que les coefficients des termes de l’expression développée de (𝑎+𝑏) seront respectivement 1, 5, 10, 10, 5 et 1.

Partie 2

Pour déterminer les coefficients des termes dans l’expression développée de (2𝑎2𝑏), on peut d’abord mettre 2 en facteur dans chacune des parenthèses comme suit:(2𝑎2𝑏)=2(𝑎𝑏).

Nous pouvons maintenant remplacer 𝑏 à la place de 𝑏 dans l’expression développée, (𝑎+𝑏)=𝑎+5𝑎𝑏+10𝑎𝑏+10𝑎𝑏+5𝑎𝑏+𝑏, pour obtenir (𝑎𝑏)=𝑎+5𝑎(𝑏)+10𝑎(𝑏)+10𝑎(𝑏)+5𝑎(𝑏)+(𝑏).

On peut simplifier cette expression comme suit:(𝑎𝑏)=𝑎5𝑎𝑏+(1)10𝑎𝑏+(1)10𝑎𝑏+(1)5𝑎𝑏+(1)𝑏=𝑎5𝑎𝑏+10𝑎𝑏10𝑎𝑏+5𝑎𝑏𝑏.

Par conséquent, (2𝑎2𝑏)=2𝑎5𝑎𝑏+10𝑎𝑏10𝑎𝑏+5𝑎𝑏𝑏=32𝑎160𝑎𝑏+320𝑎𝑏320𝑎𝑏+160𝑎𝑏32𝑏.

Ainsi, les coefficients de chacun des termes de l’expression développée de (2𝑎2𝑏) sont 32, 160, 320, 320, 160 et 32.

Lorsque nous travaillons sur le développement des expressions binomiales, il est possible que l’on soit intéressé seulement par des termes particuliers, voire même aux coefficients de certains termes.

Certains termes peuvent souvent être identifiés en cherchant les puissances d’une des variables. On considère les puissances de la variable 𝑎 dans une expression développée simple telle que (𝑎+𝑏). Les termes de l’expression développée impliqueront toutes les puissances entières de 𝑎 allant de 𝑎 à 𝑎. 𝑎,𝑎,𝑎,,𝑎

Si toutefois, les deux termes d’un binôme contiennent la même variable, il est possible que les puissances d’une telle variable n’apparaissent pas. Un tel exemple serait 𝑎+1𝑎. En écrivant 1𝑎=𝑎, on pourrait observer qu’un tel développement ne contiendrait que des puissances paires ou impaires de la variable 𝑎 allant de 𝑎 à 𝑎. 𝑎,𝑎,𝑎,,𝑎,𝑎,𝑎

Prenons un exemple.

Exemple 3: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer le coefficient d’un terme étant donné un produit d’expressions binomiales

Déterminer le coefficient de 𝑎 dans l’expression développée de 𝑎+1𝑎𝑎+1𝑎.

Réponse

Sachant que nous avons le produit de deux binômes qui sont élevés à une certaine puissance, il est généralement utile de développer chaque ensemble de parenthèses séparément;ensuite, on peut considérer leur produit. Comme les deux binômes sont élevés à la puissance trois, nous pouvons calculer les coefficients de chaque termes en utilisant la troisième rangée du triangle de Pascal.

Notez que l’élément au sommet du triangle est par convention considéré comme appartenant à la 0ème rangée. Pour éviter toute ambiguïté, nous utilisons la ligne repérée par 𝑛=3.

En commençant par le premier ensemble de parenthèses, 𝑎+1𝑎 on peut appliquer la méthode pour le développement général d’une expression binomiale à la puissance 3, qui stipule que (𝑥+𝑦)=𝑥+3𝑥𝑦+3𝑥𝑦+𝑦.

En posant 𝑥=𝑎 et 𝑦=1𝑎, nous avons 𝑎+1𝑎=𝑎+3𝑎1𝑎+3𝑎1𝑎+1𝑎=𝑎+3𝑎+3𝑎+1𝑎.

De même, nous pouvons considérer le deuxième ensemble de parenthèses en substituant 𝑥=𝑎 et 𝑦=1𝑎 dans l’équation, nous avons:𝑎+1𝑎=𝑎+3𝑎1𝑎+3𝑎1𝑎+1𝑎=𝑎+3𝑎+3𝑎+1𝑎.

Par conséquent, nous avons 𝑎+1𝑎𝑎+1𝑎=𝑎+3𝑎+3𝑎+1𝑎𝑎+3𝑎+3𝑎+1𝑎.

Nous pouvons maintenant déterminer quelles paires de termes ont un produit contenant 𝑎. En fait, il n’y a que deux telles paires de termes:𝑎 et 3𝑎, et 3𝑎 et 𝑎:

Par conséquent, étant donné que chacun de ces termes vont contenir 𝑎, ils contribueront tous les deux au coefficient de ce terme dans notre développement final. Ainsi, le coefficient final de 𝑎 sera la somme de leurs deux coefficients respectifs. Comme chacun a un coefficient de 3, le coefficient final de 𝑎 sera 3+3=6.

Pour des valeurs plus grandes de 𝑛, un travail de plus en plus conséquent est nécessaire pour déterminer les termes individuellement si notre méthode implique d’écrire toute l’expression développée.

Dans la suite de cette fiche explicative, on cherchera à fournir quelques astuces pour réduire la quantité de calcul requise dans de telles questions.

Exemple 4: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer le coefficient d’un certain terme d’une expression binomiale développée

Déterminez le coefficient de 𝑥 dans l’expression développée de (25𝑥).

Réponse

Rappelons que les éléments du triangle de Pascal nous donnent les coefficients de chacun des termes d’une expression binomiale développée. Comme nous développons un binôme à la puissance 8, nous utiliserons la 8ème rangée du triangle, (𝑛=8).

Déterminer les coefficients du triangle de Pascal n’est pas suffisant pour répondre à la question. Étant donné que nous essayons de trouver le coefficient de 𝑥 dans l’expression développée finale, nous devons aussi tenir compte des coefficients des termes dans le binôme lui-même.

À ce stade, nous pourrions simplifier en utilisant substituant 𝑎=2 et 𝑏=5𝑥. Cela nous mènerait directement à l’expression développée de (𝑎+𝑏).

On pourrait aussi choisir d’utiliser directement les termes du binôme initial et d’intégrer les coefficients obtenus à l’aide du triangle de Pascal. (25𝑥)=1(2)+8(2)(5𝑥)+28(2)(5𝑥)+56(2)(5𝑥)+70(2)(5𝑥)+56(2)(5𝑥)+28(2)(5𝑥)+8(2)(5𝑥)+1(5𝑥)

À ce stade, il est possible de simplifier nos termes et de répondre à la consigne, mais pour les binômes avec de grandes puissances, notez que l’écriture d’une telle expression développée peut être assez laborieuse!Il est intéressant d’utiliser certaines astuces qui permettent de gagner du temps.

Considérons quel(s) terme(s) contiendra(ont) 𝑥. Dans notre cas, il suffit de faire attention aux puissances de (5𝑥). Comme indiqué dans l’expression développée, chaque terme contient des puissances de (5𝑥).

Tout comme pour la ligne correspondante dans le triangle de Pascal, nous pouvons étiqueter ces termes en utilisant 𝑘, 𝑘=0 correspond au premier terme. La valeur de 𝑘 augmente jusqu’à 𝑛, 𝑛 est le rang de ligne du triangle de Pascal.

Pour cette expression binomiale développée, 𝑘=5 est le seul terme pertinent pour déterminer le coefficient de 𝑥. Si l’exposant de (5𝑥) est plus grand ou plus petit que 5, l’exposant de 𝑥 lui-même sera aussi plus grand ou plus petit que 5. 𝑘×(2)(5𝑥)𝑘=0×(2)(5𝑥)𝑘=5×(2)(5𝑥)CoecientCoecientCoecient

L’élément 𝑘 du triangle de Pascal nous donne les coefficients indiqués ci-dessus.

Au lieu d’écrire toute l’expression développée, cette méthode nous permet de calculer rapidement le coefficient d’un terme particulier. 𝑘=556(2)(5𝑥)=568(3125)𝑥=1400000𝑥

Ainsi, le coefficient de 𝑥 est 1‎ ‎400‎ ‎000.

Enfin, si l’ordre des termes du binôme précédent avait été inversé, (5𝑥) serait plutôt apparu lorsque 𝑛𝑘=5. Puisque 𝑛=8 cela signifie que nous aurions évalué le terme pour 𝑘=3.

Heureusement, cela n’aurait pas changé notre réponse. Le moyen le plus simple de comprendre pourquoi est de reconnaître que l’ élément 𝑘 et l’élément (𝑛𝑘) dans le triangle de Pascal sont symétriques et donc égaux. Cela signifie que le coefficient (qui correspond à notre réponse dans l’exemple précédent) resterait inchangé.

La méthode illustrée pour calculer certains termes est utile et peut être généralisée pour les binômes de grandes puissances. Un défaut cependant, est que pour trouver l’élément 𝑘 de la 𝑛-ième rangée dans le triangle de Pascal, nous avons encore besoin de construire 𝑛 rangées du triangle!

Bien que l’utilisation du triangle de Pascal puisse simplifier considérablement la recherche d’une expression binomiale développée pour des exposants 𝑛 jusqu’à 10 environ, au-delà, cela devient presque impossible. Il serait donc utile de voir s’il y a une relation entre des éléments consécutifs dans les lignes du triangle de Pascal.

À titre d’exemple, considérons la neuvième ligne du triangle de Pascal (c’est-à-dire la rangée 𝑛=8). On considère les multiplicateurs qui permettent de passer d’un élément à l’autre. La figure représente ceci.

Nous pouvons voir clairement qu’il existe une relation reliant un élément au suivant. En fait, on peut l’exprimer de manière générale comme suit:pour passer de l’élément (𝑘1) à l’élément 𝑘, on multiplie par 𝑛𝑘+1 et on divise par 𝑘. Cette règle ne s’applique pas seulement à la neuvième rangée, mais s’applique également à toute rangée du triangle de Pascal. En utilisant cela, nous pouvons développer des binômes avec des exposants arbitrairement grands.

Propriété : Relation entre des termes consécutifs d’une même ligne du triangle de Pascal

La relation entre des éléments consécutifs dans la (𝑛+1)-ième ligne (que, par convention, nous numérotons 𝑛) dans le triangle de Pascal est la suivante:pour se déplacer de l’élément (𝑘1) à l’élément 𝑘, on multiplie par 𝑛𝑘+1𝑘.

Les deux exemples suivants illustreront ce fait.

Exemple 5: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les expressions développées binomiales

Écrivez les 5 premiers termes de l’expression développée de (2+𝑥) dans l’ordre croissant des puissances de 𝑥.

Réponse

Nous commencerons par considérer les coefficients des cinq premiers termes de cette expression développée. Les coefficients sont donnés par la dix-neuvième ligne du triangle de Pascal, c’est-à-dire la rangée numérotée 𝑛=18. Le premier élément d’une rangée du triangle de Pascal est 1. On rappelle la realtion entre les éléments consécutifs d’une ligne dans le triangle de Pascal:pour se déplacer de l’élément (𝑘1) à l’élément 𝑘, on multiplie par 𝑛𝑘+1𝑘. En appliquant cette règle, nous pouvons calculer le 1er élément en multipliant le 0ème élément par 181. Ensuite, pour trouver le deuxième élément, nous multiplions par 172. En continuant ainsi, nous pouvons trouver les cinq premiers termes de la rangée, comme le montre la figure ci-dessous.

Par conséquent, les cinq premiers termes sont donnés par 2+18×2𝑥+153×2𝑥+816×2𝑥+3060×2𝑥.

En simplifiant, nous avons 262144+2359296𝑥+10027008𝑥+26738688𝑥+50135040𝑥.

Exemple 6: Utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les expressions développées binomiales

Développez et réduisez l’expression (2+3𝑥).

Réponse

Nous commencerons par trouver le coefficient binomial. Les coefficients sont donnés par la onzième ligne du triangle de Pascal, qui est la ligne que nous numérotons 𝑛=10. Le premier élément d’une rangée du triangle de Pascal est 1. Ensuite, rappelons la relation entre les éléments consécutifs d’une ligne dans le triangle de Pascal:pour se déplacer de l’élément (𝑘1) à l’élément 𝑘, on multiplie par 𝑛𝑘+1𝑘. En appliquant cette règle, nous pouvons calculer le 1er élément en multipliant le 0ème élément (égal à 1) par 101. Ensuite, pour trouver le deuxième élément, nous multiplions par 92. En continuant ainsi, nous pouvons trouver les cinq premiers termes de la rangée, comme le montre la figure ci-dessous.

Remarquez qu’une fois que nous arrivons au terme du milieu, nous pouvons simplement utiliser la symétrie du triangle de Pascal et compléter la ligne.

Par conséquent, (𝑎+𝑏)=𝑎+10𝑎𝑏+45𝑎𝑏+120𝑎𝑏+210𝑎𝑏+252𝑎𝑏+210𝑎𝑏+120𝑎𝑏+45𝑎𝑏+10𝑎𝑏+𝑏.

En posant 𝑎=2 et 𝑏=3𝑥, nous avons (2+3𝑥)=2+10×2(3𝑥)+45×2(3𝑥)+120×2(3𝑥)+210×2(3𝑥)+252×2(3𝑥)+210×2(3𝑥)+120×2(3𝑥)+45×2(3𝑥)+10×2(3𝑥)+(3𝑥).

Enfin, nous pouvons calculer les coefficient pour obtenir:(2+3𝑥)=1024+15360𝑥+103680𝑥+414720𝑥+1088640𝑥+1959552𝑥+2449440𝑥+2099520𝑥+1180980𝑥+393660𝑥+59049𝑥.

Vous savez peut-être que le triangle de Pascal est étroitement lié au domaine de la combinatoire. Bien que n’entrant pas dans le cadre de cette leçon, la combinatoire fournit un panel d’outils plus puissants pour comprendre et manipuler la formule du binôme de Newton qui permet d’obtenir les expressions binomiales développées. Nous vous encourageons à approfondir la formule du binôme de Newton, cependant, les compétences travaillées dans cette leçon devraient vous fournir une base solide.

Points clés

  1. On peut rapidement reproduire le triangle de Pascal pour des petites valeurs de 𝑛 afin de développer facilement des binômes de la forme (𝑎+𝑏).
  2. Pour développer l’expression binomiale de la forme (𝑎+𝑏), chaque terme peut être calculé en considérant les coefficients du triangle de Pascal en relation avec les puissances successives de 𝑎 et 𝑏:𝑘×(𝑎)(𝑏)Coecient𝑛 est le rang de ligne du triangle de Pascal et 𝑘 prend des valeurs entières de 0 à 𝑛.
  3. Pour des valeurs plus grandes de 𝑛, nous pouvons utiliser la relation entre les termes consécutifs afin de développer les expressions binomiales:pour passer de l’élément (𝑘1) à l’élément 𝑘, on multiplie par 𝑛𝑘+1𝑘.

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