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Vidéo de la leçon : Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (𝑎 + 𝑏)^(𝑛).

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n, avec 𝑛 un entier positif. Nous allons commencer par rechercher une formule générale en développant quelques expressions.

Commençons par développer 𝑎 plus 𝑏 puissance zéro. Bien sûr, tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à un. On peut donc dire que 𝑎 plus 𝑏 puissance zéro est simplement égal à un. Et qu’en est-il de 𝑎 plus 𝑏 puissance un ? On sait également que tout nombre élevé à la puissance un est égal à lui-même, c’est-à-dire 𝑎 plus 𝑏 dans ce cas. Les coefficients de 𝑎 et de 𝑏 sont tous les deux égaux à un. Pour des exposants supérieurs ou égaux à deux, les choses commencent à devenir plus intéressantes. 𝑎 plus 𝑏 au carré égale 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. En développant ce produit, à l’aide par exemple de la double distributivité, on obtient 𝑎 au carré plus deux 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Cette fois, les coefficients de 𝑎 au carré et de 𝑏 au carré sont un et il y a un troisième coefficient. Le coefficient de 𝑎𝑏 est deux.

Passons maintenant au cas où l’exposant est trois. 𝑎 plus 𝑏 au cube équivaut à multiplier 𝑎 plus 𝑏 au carré par 𝑎 plus 𝑏. Et développer ce produit nous donne 𝑎 au cube plus trois 𝑎 carré 𝑏 plus trois 𝑎 𝑏 carré plus 𝑏 au cube. Cette fois, les coefficients sont un, trois, trois et un. Développons une dernière fois cette expression avec un exposant égal à quatre. Cette fois, cela revient à multiplier 𝑎 plus 𝑏 au cube par 𝑎 plus 𝑏. Lorsque l’on développe ces parenthèses, on obtient 𝑎 puissance quatre plus quatre 𝑎 cube 𝑏 plus six 𝑎 carré 𝑏 carré plus quatre 𝑎 𝑏 cube plus 𝑏 puissance quatre. Les coefficients sont un, quatre, six, quatre et un.

Mais si nous souhaitions développer l’expression 𝑎 plus 𝑏 puissance 10, nous y passerions probablement la journée. Nous devons donc trouver un raccourci pour la développer. Écrivons nos expressions les unes en des sous des autres et regardons si on remarque quelque chose. Alors, que remarquez-vous ? Observons d’abord les bords extérieurs de notre triangle. Ils sont assez simples. Les termes ont tous un coefficient de un. Sur le bord gauche, on a simplement le terme 𝑎 élevé à la puissance maximale. Et à droite, on a également un coefficient de un. Qui correspond cette fois au terme 𝑏 élevé à la puissance maximale. Très bien, que pouvons-nous observer d’autre ? Eh bien, nous pouvons rechercher d’autres schémas récurrents en examinant différentes diagonales, ou nous pouvons examiner les termes de chaque expression.

Prenons 𝑎 plus 𝑏 puissance quatre. Remarquez comment l’exposant de 𝑎 diminue de un à chaque fois. L’exposant de 𝑏, quant à lui, à l’inverse, augmente de un à chaque fois. Et on peut également remarquer que la somme de leurs exposants est toujours égale à quatre, qui est l’exposant de notre expression binomiale. Mais que se passe-t-il pour leurs coefficients ? Eh bien, cet aspect est vraiment intéressant. Essayons donc d’écrire les coefficients eux-mêmes dans un triangle. Encore une fois, on remarque que les bords extérieurs du triangle sont tous égaux à un, mais on peut voir que les autres nombres sont égaux à la somme des deux nombres immédiatement au-dessus. Ainsi, par exemple, un plus deux égale trois, trois plus trois égale six et ainsi de suite. Ce triangle a un nom. On l’appelle le triangle de Pascal d’après le nom d’un mathématicien français.

Trouvons la ligne suivante de ce triangle en utilisant le schéma que nous avons identifié. On sait que les bords extérieurs seront des uns. Et on trouve ensuite les autres nombres en additionnant les nombres directement au-dessus. Un plus quatre égale cinq, quatre plus six égale 10, six plus quatre égale 10 et quatre plus un égale cinq. Maintenant, comme le triangle de Pascal est assez facile à reproduire pour des petites valeurs de 𝑛, il peut être vraiment utile pour nous aider à développer une expression de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛. Combinons donc tout ce que nous venons de voir pour établir une méthode générale.

Pour développer une expression de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n, avec 𝑛 un entier positif, on va s’intéresser aux termes de gauche à droite. L’exposant de 𝑎 commence à 𝑛 puis diminue de un à chaque fois jusqu’à ce que l’on arrive à 𝑎 puissance zéro. Et bien sûr, 𝑎 puissance zéro est simplement égal à un. On fait l’inverse pour 𝑏. L’exposant de 𝑏 augmente de un à chaque fois, on commence avec 𝑏 puissance zéro et on termine par 𝑏 puissance 𝑛. On sait ensuite que les coefficients de chaque terme sont les nombres qui apparaissent dans la ligne de rang 𝑛 du triangle de Pascal. Vous verrez dans un instant pourquoi j’ai précisé la ligne de rang n et non la n-ième ligne.

Voyons comment utiliser cette approche pour développer un binôme.

Utilisez le triangle de Pascal pour développer 𝑥 plus quatre puissance cinq.

Rappelez-vous que le processus de développement des binômes de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n pour des valeurs entières positives de 𝑛 est le suivant. On parcours les termes de gauche à droite. L’exposant de 𝑎 commence à 𝑛 et diminue de un à chaque fois jusqu’à arriver à 𝑎 puissance zéro. Ensuite, pour 𝑏, on commence avec un exposant de zéro et on augmente de un à chaque fois jusqu’à atteindre 𝑏 puissance 𝑛. On trouve enfin les coefficients de chaque terme en reportant les nombres qui apparaissent dans la ligne de rang 𝑛 du triangle de Pascal. Si nous regardons notre binôme, nous voyons que nous devons définir 𝑎 égal à 𝑥, 𝑏 égal à quatre, et 𝑛 égal à cinq. Et nous allons ici utiliser un tableau pour nous assurer de ne pas perdre de termes.

Vous remarquez peut-être qu’il y a une colonne de plus que la valeur de 𝑛 dans le tableau. On a donc six colonnes. On se déplace de gauche à droite et on commence par 𝑎 puissance 𝑛. Eh bien, 𝑎 est 𝑥 et 𝑛 est cinq. On a donc 𝑥 puissance cinq. On réduit ensuite cet exposant d’une unité à chaque fois, ce qui nous donne 𝑥 puissance quatre, 𝑥 au cube, 𝑥 au carré, 𝑥 puissance un et 𝑥 puissance zéro. Mais 𝑥 puissance un est simplement 𝑥 et 𝑥 puissance zéro égale un. Nous avons donc maintenant la partie en 𝑥 de chaque terme. Passons maintenant aux quatre. On commence par 𝑏 puissance zéro. C’est-à-dire quatre puissance zéro. Et on augmente ensuite cet exposant d’une unité à chaque fois, ce qui nous donne quatre puissance un, quatre au carré, quatre au cube, quatre puissance quatre et quatre puissance cinq.

Et on peut à nouveau remplacer quatre puissance zéro par un et quatre puissance un par quatre. Cette troisième ligne que j’ai appelée 𝑐 correspond au coefficient de chaque terme. Écrivons donc les premières lignes du triangle de Pascal. Le triangle de Pascal ressemble à ceci. La première ligne correspond à 𝑛 égale zéro : elle comporte un seul un. Lorsque 𝑛 est égal à un, la deuxième ligne est un, un. Lorsque 𝑛 est égal à deux, on a un, deux, un. Et on continue en gardant des uns à l’extérieur et en additionnant les nombres du dessus pour obtenir le suivant. C’est-à-dire, un plus quatre égale cinq et ainsi de suite.

Remarquez que nous nous arrêtons à 𝑛 égale cinq, puisque c’est notre exposant. Mais ce n’est pas la cinquième ligne. Il s’agit en réalité de la sixième ligne. C’est pourquoi il faut faire très attention lorsque l’on utilise le triangle de Pascal. Les coefficients sont donc un, cinq, 10, 10, cinq et un. Pour calculer ensuite les termes du développement, on multiplie les termes de chaque colonne. Donc le premier terme est 𝑥 puissance cinq fois un fois un, ce qui est simplement 𝑥 puissance cinq. On multiplie ensuite chaque terme de la deuxième colonne. Ce qui fait 𝑥 puissance quatre fois quatre fois cinq, soit 20𝑥 puissance quatre.

On continue de cette manière, et le troisième terme est 𝑥 au cube fois quatre au carré fois 10, ce qui donne 160𝑥 au cube. On a ensuite 𝑥 au carré fois quatre au cube fois 10, soit 640𝑥 au carré. Multiplier les termes de l’avant-dernière colonne nous donne 1 280 𝑥. Et notre sixième et dernier terme est 1 024. Nous concluons donc que 𝑥 plus quatre puissance cinq est égal à 𝑥 puissance cinq plus 20𝑥 puissance quatre plus 160𝑥 cube plus 640𝑥 carré plus 1 280𝑥 plus 1 024.

Nous allons maintenant étudier un deuxième exemple.

Utilisez le triangle de Pascal pour développer l’expression 𝑥 plus un sur 𝑥 puissance quatre.

Rappelez-vous que pour développer une expression de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance n pour des valeurs entières positives de 𝑛, on parcours les termes de gauche à droite. L’exposant de 𝑎 commence à 𝑛 et diminue de un à chaque fois jusqu’à atteindre 𝑎 puissance zéro. Et on fait l’inverse avec 𝑏. On augmente l’exposant de un à chaque fois, en commençant par 𝑏 puissance zéro jusqu’à arriver à 𝑏 puissance 𝑛. Les coefficients de chaque terme sont ensuite les nombres qui apparaissent dans la ligne de rang 𝑛 du triangle de Pascal. Et on rappelle que cela correspond en réalité à la ligne n plus un.

En comparant notre expression avec la forme générale, on définit 𝑎 égal à 𝑥, 𝑏 égal à un sur 𝑥 et 𝑛, l’exposant, égal à quatre. Nous allons maintenant représenter les termes sous la forme d’un tableau en rappelant qu’il y aura n plus un terme dans le développement. Donc nous allons avoir besoin de cinq colonnes. Commençons par les 𝑥. On sait que l’on doit commencer par 𝑥 puissance n, donc 𝑥 puissance quatre. On réduit ensuite cet exposant de un à chaque fois, en rappelant bien sûr que 𝑥 puissance un égale 𝑥 et que 𝑥 puissance zéro égale un.

Pour le un sur 𝑥, on commence avec un exposant de zéro, puis on l’augmente de un à chaque fois. À nouveau, un sur x puissance zéro est simplement égal à un et un sur 𝑥 puissance un égale un sur 𝑥. On peut ensuite distribuer les exposants aux numérateurs et dénominateurs des fractions pour obtenir un sur 𝑥 au carré, un sur 𝑥 au cube et un sur 𝑥 puissance quatre.

Penchons-nous à présent sur les coefficients. Nous allons pour cela écrire les premières lignes du triangle de Pascal. Nous devons aller jusqu’à la ligne correspondant à 𝑛 égale quatre, qui est en fait la quatre plus unième, c’est-à-dire la cinquième ligne du triangle. Le triangle de Pascal ressemble à ceci. On a des uns sur les bords extérieurs. Et pour trouver les valeurs restantes, on additionne les deux nombres directement au-dessus. Donc, un plus trois égale quatre, trois plus trois égale six et ainsi de suite. Les coefficients sont donc un, quatre, six, quatre et un. Notez que nous savons que nous avons probablement choisi la bonne ligne parce que nous avons exactement le bon nombre de coefficients, ni plus ni moins.

Pour calculer ensuite chaque terme du développement de 𝑥 plus un sur 𝑥 puissance quatre, on multiplie les termes de chaque colonne. On calcule donc 𝑥 puissance quatre fois un fois un, qui est égal à 𝑥 puissance quatre, puis 𝑥 au cube fois un sur 𝑥 fois quatre, ce qui se simplifie par quatre 𝑥 au carré. On multiplie ensuite les termes de la troisième, la quatrième et la cinquième colonne et cela se simplifie assez facilement. 𝑥 plus un sur 𝑥 puissance quatre est donc égal à 𝑥 puissance quatre plus quatre 𝑥 au carré plus six plus quatre sur 𝑥 au carré plus un sur 𝑥 puissance quatre. Notez que dans ce cas, en raison de la nature de 𝑎 et de 𝑏, on obtient un terme constant de six au milieu malgré le fait que 𝑎 et 𝑏 soient des expressions littérales.

Il n’est cependant pas toujours pratique d’écrire toutes les lignes du triangle de Pascal. Nous allons donc essayer de trouver un raccourci. Nous savons que pour un binôme 𝑎 plus 𝑏 puissance n, où 𝑛 est un entier positif, c’est-à-dire un entier naturel, le développement devient 𝑐 zéro fois 𝑎 puissance n fois 𝑏 puissance zéro plus 𝑐 un fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 puissance un et ainsi de suite, jusqu’à 𝑐 𝑛 fois 𝑎 puissance zéro fois 𝑏 puissance 𝑛. Dans ce cas, les 𝑐 n proviennent de la ligne 𝑛 plus un du triangle de Pascal. On diminue l’exposant de 𝑎 et on augmente l’exposant de 𝑏 à chaque terme. Mais nous pouvons en fait déterminer les valeurs des constantes 𝑐 zéro, 𝑐 un, jusqu’à 𝑐 𝑛.

Revenons au développement de 𝑎 plus 𝑏 puissance quatre, par exemple. Si on réfléchit à ce deuxième terme, le coefficient quatre représente le nombre de façons différentes de choisir un seul 𝑏 parmi les quatre ensembles de parenthèses 𝑎 plus 𝑏. Et on sait que cela correspond en fait à un parmi quatre. De même, si on réfléchit à ce troisième terme, le coefficient six représente ici le nombre de façons différentes de choisir deux 𝑏 parmi les quatre ensembles de parenthèses. Et on peut définir cela comme deux parmi quatre. Cela signifie que l’on peut maintenant redéfinir chacun des coefficients par zéro parmi 𝑛, un parmi 𝑛, deux parmi 𝑛, jusqu’à 𝑛 parmi 𝑛, où 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et puisque zéro parmi 𝑛 et 𝑛 parmi 𝑛 sont simplement égaux à un, on peut écrire l’expression ainsi. Voyons à présent avec un exemple comment appliquer cette formule.

Développez l’expression trois plus 𝑥 puissance quatre.

Nous avons ici un binôme élevé à une puissance entière donc nous pouvons utiliser la formule du binôme de Newton. Elle nous dit que 𝑎 plus 𝑏 puissance n, avec 𝑛 un entier positif, est égal à 𝑎 puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 plus deux parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins deux 𝑏 au carré, et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance n. On remarque que l’exposant de 𝑎 diminue de un à chaque fois et que l’exposant de 𝑏 augmente de un à chaque fois. On peut alors comparer notre expression avec la forme générale. Et on définit ainsi 𝑎 égal à trois, 𝑏 égal à 𝑥 et enfin 𝑛 égal à quatre.

Voyons donc si nous pouvons utiliser cette formule pour développer notre expression. Le premier terme est 𝑎 puissance n. C’est-à-dire trois puissance quatre. On a donc ensuite un parmi 𝑛, c’est à dire un parmi quatre, fois trois au cube. Fois 𝑥. Le terme suivant est ensuite deux parmi quatre. Puis on réduit l’exposant de « trois » et on augmente l’exposant de 𝑥. On obtient ainsi trois au carré fois 𝑥 au carré. Le quatrième terme est trois parmi quatre fois trois fois 𝑥 au cube. Et nous arrivons au dernier terme. Qui est 𝑏 puissance n, c’est-à-dire 𝑥 puissance quatre.

Remarquez que le nombre de termes est toujours supérieur de un par rapport à l’exposant. On a donc cinq termes ici. Essayons à présent de simplifier cela. Trois puissance quatre égale 81. Ensuite, un parmi quatre égale quatre et trois au cube égale 27. Donc le deuxième terme est 108𝑥. Deux parmi quatre égale six et le troisième terme est donc six fois neuf fois 𝑥 au carré, soit 54 𝑥 au carré. Trois parmi quatre égale quatre, donc le quatrième terme est 12 𝑥 au cube et le cinquième et dernier terme est toujours 𝑥 puissance quatre. Trois plus 𝑥 puissance quatre est donc égal à 81 plus 108𝑥 plus 54 𝑥 au carré plus 12 𝑥 au cube plus 𝑥 puissance quatre.

Remarquez qu’il est également possible d’identifier un terme en particulier en utilisant le terme général de la formule du binôme de Newton. Celui-ci est r parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance 𝑟. Supposons que nous recherchions le quatrième terme de ce développement. On définit alors 𝑟 égale trois. Et on voit que l’on obtient bien trois parmi quatre fois trois puissance quatre moins trois fois 𝑥 au cube, ce qui nous donne encore une fois 12 𝑥 au cube. Cela peut être une astuce utile.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette leçon, nous avons vu que l’on peut rapidement reproduire le triangle de Pascal pour des petites valeurs de 𝑛 afin de développer facilement des expressions binomiales de la forme 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛. On peut également utiliser la formule du binôme de Newton pour cela, surtout lorsque 𝑛 est grand. Elle stipule que pour des valeurs entières de 𝑛, 𝑎 plus 𝑏 puissance n est égal à 𝑎 puissance n plus un parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛. Mais si on souhaite identifier un terme en particulier, on peut utiliser le terme général qui est égal à 𝑟 parmi 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 puissance 𝑟.

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