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Un corps de masse de 205 kilogrammes est laissé à glisser sur un plan incliné à 45 degrés par rapport à l’horizontale. Une force commence à agir sur le corps, entraînant une réduction de moitié de son accélération. Étant donné que la ligne d’action de la force fait un angle de 45 degrés avec la pente du plan et qu’elles se trouvent dans le même plan vertical, trouvez l’intensité de cette force. Considérez l’accélération de la pesanteur comme étant de 9,8 mètres par seconde carrée.
Avant de pouvoir répondre à cette question, nous allons commencer par tracer un schéma du scénario. Ce schéma n’a pas besoin d’être à l’échelle, mais il doit être à peu près proportionnel afin que nous puissions modéliser avec précision ce qui se passe. Nous avons un corps avec une masse de 205 kilogrammes glissant sur un plan incliné à 45 degrés par rapport à l’horizontale. Puisque le corps a une masse de 205 kilogrammes, on peut dire qu’il exerce une force vers le bas sur le plan et que cette force est égale à la masse multipliée par l’accélération de la pesanteur. Si nous considérons que l’accélération de la pesanteur est 𝑔 - et nous utiliserons finalement 9,8 - nous verrons que la force vers le bas du corps sur le plan est de 205𝑔 newtons.
Nous pouvons également définir son accélération dans la première partie de son trajet comme étant égale à 𝑎 mètres par seconde carrée. Ensuite, une force agit sur le corps, réduisant de moitié son accélération. Alors, nous ne prendrons pas cela en compte pour l’instant. Au lieu de cela, nous allons utiliser ce que nous avons jusqu’à présent pour calculer l’accélération pendant la première partie du voyage. La formule que nous allons utiliser pour ce faire est que la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Vu que nous avons considéré l’accélération comme étant parallèle au plan, nous devons déterminer les composantes des forces qui sont parallèles au plan.
À ce stade, il n’y a qu’une seule force sur ce schéma. Et donc, nous ajoutons un triangle rectangle. Et nous voyons que nous devons déterminer la valeur de 𝑥 ; c’est la composante du poids qui est parallèle au plan. L’angle inclus dans ce triangle est de 45 degrés. Alors, nous cherchons à trouver le côté opposé, et nous savons que l’hypoténuse est 205𝑔. Nous pouvons donc utiliser le rapport sinus. Le sinus de 𝜃 est le côté opposé sur l’hypoténuse. Donc, dans ce cas, sin 45 est 𝑥 sur 205𝑔. Si nous multiplions par 205𝑔, nous trouvons que 𝑥 est égal à 205𝑔 fois sin de 45, ce qui correspond à 2009 fois racine de deux sur deux.
Puisque nous avons trouvé la composante de la force du poids qui est parallèle au plan, substituons ce que nous savons dans la formule 𝐅 est égal à 𝑚𝑎. Cela nous donne 2009 fois racine de deux sur deux égale masse fois accélération, donc 205 fois 𝑎. Nous allons résoudre pour 𝑎 pour calculer l’accélération pendant la première partie du voyage en divisant par 205. Et quand nous le faisons, nous trouvons que 𝑎 est 49 fois racine de deux sur 10 ou 49 fois racine de deux sur 10 mètres par seconde carrée.
Une fois que nous avons calculé l’accélération pendant la première partie du voyage, regardons la deuxième partie du voyage. On nous dit qu’une force agit sur le corps et réduit de moitié l’accélération. Si nous définissons l’accélération dans la deuxième partie du trajet comme étant 𝑎 indice deux, nous pouvons dire que c’est la moitié de 𝑎. C’est la moitié de 49 fois racine de deux sur 10 ou 49 fois racine de deux sur 20 mètres par seconde carrée.
Revenons ensuite à notre schéma et ajoutons la nouvelle force. On nous dit qu’elle fait un angle de 45 degrés avec la pente du plan. En d’autres termes, elle agit dans le sens opposé au poids. Et donc, comment calculons-nous la valeur de 𝐅 ? Eh bien, encore une fois, nous allons utiliser la formule 𝐅 est égal à 𝑚𝑎. Nous connaissons la masse et l’accélération du corps à ce stade, mais quelle est la force totale ?
Nous avons toujours la force du poids qui agit parallèlement au plan. Mais si nous ajoutons un triangle rectangle à la force 𝐅, nous voyons que nous devons calculer la composante de cette force qui est également parallèle au plan. C’est le côté adjacent dans le triangle, et nous connaissons l’hypoténuse. En définissant le côté adjacent dans ce triangle comme 𝑦, nous pouvons alors relier 𝑦 et 𝐅 en utilisant le rapport cosinus. Nous obtenons cos de 45 est égal à 𝑦 sur 𝐅. Et puis, on multiplie par 𝐅. Et nous voyons que 𝑦 est 𝐅 fois cos de 45 ou racine de deux sur deux 𝐅.
Libérons de l’espace et complétons la formule 𝐅 est égal à 𝑚𝑎. Si nous considérons que le sens positif est le sens dans lequel le corps se déplace, c’est-à-dire vers le bas du plan, alors nous savons que nous avons une force positive de 2009 fois racine de deux sur deux newtons. Nous allons soustraire la composante de la force 𝐅 qui est parallèle au plan. Et nous la soustrayons car cela agit dans le sens opposé. Ainsi, la force globale est 2009 fois racine de deux sur deux moins racine deux sur deux 𝐅. Ceci est égal à la masse multipliée par l’accélération. Et maintenant, nous allons utiliser la nouvelle accélération, l’accélération divisée par deux ; c’est 49 fois racine de deux sur 20.
Et donc, nous avons une équation pour 𝐅. Pour résoudre, nous pouvons commencer par diviser par la racine carrée de deux. Nous pourrions également choisir de multiplier les deux côtés de l’équation par deux, simplement pour nous débarrasser de ces fractions. Et donc, notre équation devient 2009 moins 𝐅 est égal à 205 fois 49 sur 10. 205 fois 49 sur 10 est 1004,5. Donc, ajoutons 𝐅 des deux côtés, puis soustrayons 1004,5. Lorsque nous le faisons, nous obtenons une valeur pour 𝐅 comme étant 2009 moins 1004,5, ce qui est 1004,5. Et donc, nous pouvons dire que 𝐅 est égal à 1004,5 newtons.
