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Vidéo de la leçon : Mouvement d’un corps sur un plan lisse incliné Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant le mouvement d’un corps sur un plan lisse incliné.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant le mouvement d’un corps sur un plan lisse incliné. Nous devrons pour cela étudier les forces qui agissent sur ce corps et utiliser la deuxième loi du mouvement de Newton ainsi que les équations du mouvement rectiligne uniformément varié pour décrire ce mouvement.

Commençons donc par un corps au repos sur une surface horizontale et lisse. Si nous représentons les forces agissant sur ce corps, nous savons qu’il subit son poids qui agit verticalement vers le bas et qui est égal à sa masse fois l’accélération de la pesanteur. Il subit de plus une force de réaction de même intensité mais de sens opposé. Il s’agit de la force exercée par la surface sur laquelle le corps repose qui le pousse vers le haut. Maintenant, la deuxième loi du mouvement de Newton stipule que la force résultante agissant sur un corps est égale à sa masse fois son accélération. Comme le poids agissant sur le corps est de même intensité mais de sens opposé à la force de réaction, la force résultante sur le corps est nulle. D’après la deuxième loi de Newton, nous savons donc que cet objet n’accélère pas.

Il s’agit donc de la conclusion que nous pouvons tirer lorsqu’un corps est au repos sur une surface horizontale et lisse. Mais imaginons maintenant que nous inclinions cette surface lisse pour qu’elle forme un angle, que nous appelons 𝜃, avec l’horizontale. Si nous représentons les forces agissant sur le corps, il y a à nouveau le poids qui agit verticalement vers le bas. Mais la force de réaction n’agit plus verticalement vers le haut. Cette force agit maintenant perpendiculairement à la surface sur laquelle repose le corps. Si cette surface n’était pas lisse, il y aurait également des frottements entre le corps et la surface. Et nous devrions inclure une troisième force de frottement agissant vers le haut de la pente. Mais puisque cette surface est lisse, il n’y a pas de force de frottement.

Nous constatons alors que les deux seules forces agissant sur le corps ne sont plus de même intensité et de sens opposé. Par conséquent, la force résultante n’est pas nulle. Et l’accélération du corps n’est donc pas nulle non plus. Pour étudier de plus près cette accélération, définissons un repère, où la direction des 𝑦 positifs est perpendiculaire à la surface vers le haut et la direction des 𝑥 positifs est parallèle à la pente vers le bas ; si nous décomposons maintenant les forces de réaction et du poids en leurs composantes en 𝑥 et 𝑦, nous pouvons voir que la force de réaction est entièrement dans le sens des 𝑦 positifs, tandis que le poids a une composante en 𝑦 et une composante en 𝑥.

Pour voir cela plus clairement, faisons un zoom sur le poids agissant sur le corps et sur ses composantes. Cette flèche orange ici est la composante en 𝑦 du poids, tandis que celle-ci est sa composante en 𝑥. La clé pour trouver l’intensité de ces composantes est de reconnaître que cet angle ici est le même que l’angle d’inclinaison de la surface. Et ce sera en fait toujours le cas, quelle que soit la valeur de 𝜃. Si on considère alors un triangle rectangle général dont un des angles est de mesure 𝜃, on peut dire que les côtés de ce triangle sont l’hypoténuse, le côté opposé à 𝜃 et le côté adjacent à 𝜃. On rappelle alors que le sinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur de l’hypoténuse.

Et que le cosinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. Nous rappelons tout cela parce que le calcul des composantes en 𝑦 et x du poids va impliquer le cosinus et le sinus de 𝜃. Remarquez que par rapport à l’angle 𝜃, cette composante en 𝑦 du poids est en fait le côté adjacent de notre triangle rectangle. En observant l’équation impliquant ce côté, on constate qu’en multipliant les deux membres par l’hypoténuse ℎ et en simplifiant ce facteur à droite, alors la longueur du côté adjacent est égale à la longueur de l’hypoténuse fois cos 𝜃. Puisque l’hypoténuse de ce triangle mesure en réalité 𝑚 𝑔, on peut écrire que le côté adjacent de ce triangle rectangle est égal à 𝑚 𝑔 cos 𝜃.

De même, la composante en 𝑥 du poids est le côté du triangle opposé à 𝜃. En commençant avec cette équation, si on multiplie les deux membres par la longueur de l’hypoténuse et qu’on simplifie ce facteur à droite, on trouve que la longueur du côté opposé est égale à ℎ sin 𝜃. La composante en 𝑥 du poids est donc égale à 𝑚 𝑔 sin 𝜃. Avec toutes ces informations, vous commencez peut-être à comprendre un peu mieux cette accélération du corps sur la pente lisse. Si on observe les forces agissant sur lui dans la direction des 𝑦, on a la force de réaction, qui est positive, moins 𝑚 𝑔 cos 𝜃. Notez que la force de réaction est positive et que le poids est négatif dans le repère que nous avons établi.

Maintenant, puisque ces forces sont les seules forces agissant sur le corps dans la direction des 𝑦, la deuxième loi de Newton nous dit que leur somme est égale à la masse du corps fois son accélération dans cette direction. Sauf que 𝑎 indice 𝑦 est nulle. Le corps n’accélère ni en se soulevant de la surface, ni en s’enfonçant dans celle-ci. Cela signifie donc que tout le membre droit de cette expression est nul et que ces forces sont donc de même intensité. L’accélération du corps n’est pas dans la direction des 𝑦. Elle doit donc être dans la direction des 𝑥. En étudiant les forces agissant dans cette direction, nous constatons qu’il n’y en a qu’une. Il s’agit de la composante en 𝑥 du poids. Et puisque cette force agit dans ce que nous avons défini comme la direction des 𝑥 positifs, sa valeur est positive.

En appliquant à nouveau la deuxième loi de Newton, on peut dire que la force résultante sur le corps dans la direction des 𝑥, 𝑚 𝑔 sin 𝜃, est égale à la masse de du corps fois son accélération dans cette direction. Remarquez que la masse 𝑚 du corps apparaît aux deux membres de cette équation. On peut donc diviser chaque membre par 𝑚 et ainsi l’annuler. Nous savons maintenant comment notre corps accélère : uniquement dans la direction des 𝑥. Et l’accélération a une norme de 𝑔 sin 𝜃. Remarquez que l’accélération de la pesanteur et 𝜃 sont toutes les deux des constantes. Par conséquent, l’accélération du corps 𝑎 est constante dans le temps. Cette caractéristique est importante car cela signifie que l’on peut utiliser un ensemble d’équations, appelées équations du mouvement rectiligne uniformément varié ou MRUV, pour décrire le mouvement de ce corps.

Les équations du MRUV sont les suivantes. Et chaque fois qu’un 𝑎 représentant une accélération apparaît, nous savons que cette valeur doit être constante. Ces équations ne s’appliquent en effet qu’à cette condition. Puisque nous avons établi que notre corps se déplaçant sur une pente lisse a une accélération constante, nous savons que son mouvement peut être décrit en utilisant ces relations. Avec toutes ces connaissances sur le mouvement d’un corps sur un plan lisse incliné, passons maintenant à la pratique avec un exemple.

Un corps de masse 0,7 kilogrammes est placé sur un plan lisse incliné de 66 degrés par rapport à l’horizontale et on le laisse se déplacer librement sous l’effet de la pesanteur, où l’accélération de la pesanteur est de 9,8 mètres par seconde carrée. Calculez l’intensité de la réaction du plan sur le corps au centième près.

OK, voici donc notre plan et le corps initialement au repos sur le plan. Nous savons cependant que le poids égal à la masse du corps fois l’accélération de la pesanteur agit sur le corps et que le plan est lisse, il n’y a donc pas de frottement entre le plan et le corps et celui-ci va par conséquent commencer à se déplacer. Lors de son mouvement, il ne suit pas la direction du poids, mais se déplace en réalité vers le bas de la pente comme ceci. La raison pour laquelle le corps ne se déplace pas verticalement vers le bas est due à l’action d’une force, appelée force de réaction. Elle agit sur le corps perpendiculairement à la pente et c’est l’intensité de cette force que nous recherchons.

On note pour cela que la masse du corps, que l’on appelle 𝑚, est de 0,7 kilogramme et qu’il se déplace sur un plan incliné d’un angle de 66 degrés par rapport à l’horizontale. Si on définit maintenant un repère tel que les 𝑥 positifs pointent vers le bas de la pente et que les 𝑦 positifs pointent perpendiculairement à celle-ci vers le haut, on remarque tout d’abord que l’accélération de notre corps est entièrement dans la direction des 𝑥. Cela signifie que si on décompose le poids agissant sur le corps en ses composantes en 𝑥 et 𝑦, alors la composante en y de cette force représentée par ce vecteur orange est de même intensité et de sens opposé à la force de réaction. Le corps n’a en effet aucune accélération dans la direction des 𝑦.

Si nous pouvons donc trouver la composante en 𝑦 du poids, alors nous connaîtrons l’intensité de la force de réaction 𝑅. Si on trace ce triangle à une échelle un peu plus grande, on voit que l’on a un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 𝑚 𝑔. Pour calculer cette longueur de côté, la composante en 𝑦 du poids, il faut reconnaître que cet angle ici du triangle est égal à l’angle d’inclinaison du plan, 𝜃. On en déduit donc que cette composante en 𝑦 est égale à 𝑚 𝑔 fois le cosinus de cet angle. Et comme on connaît 𝑚, 𝜃 et 𝑔, l’accélération de la pesanteur, on peut remplacer ces valeurs dans cette équation, en laissant les unités de côté pour le moment. Au centième près, cela nous donne 2,79.

Comme il s’agit d’une force, les unités de cette valeur sont des newtons. Maintenant, techniquement, puisque la direction des 𝑦 positifs est perpendiculaire au plan vers le haut, la composante en 𝑦 du poids sera une valeur négative. Mais nous recherchons ici l’intensité de cette composante parce qu’elle est égale à l’intensité de la réaction du plan sur le corps. Et c’est exactement ce que nous venons de calculer. Nous pouvons donc conclure que l’intensité de la réaction du plan sur le corps est de 2,79 newtons.

Voyons maintenant un deuxième exemple.

Un corps de masse de 1,4 kilogramme est placé sur un plan lisse incliné de 45 degrés par rapport à l’horizontale. Si une force de 59 newtons agit sur le corps parallèlement à la pente du plan vers le haut, calculez l’accélération du corps au centième près. Supposez que 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

OK, voici donc notre plan incliné de 45 degrés par rapport à l’horizontale et le corps sur ce plan. Ce corps est soumis à une force de 59 newtons agissant vers le haut de la pente. À partir de ces informations, de la masse du corps que nous appelons 𝑚, de l’accélération de la pesanteur et sachant que le plan est lisse, ce qui signifie qu’il n’y a pas de frottement, nous souhaitons calculer l’accélération du corps. La deuxième loi de Newton stipule que l’accélération d’un corps fois sa masse est égale à la force résultante agissant sur lui. Pour calculer cette accélération, étudions donc les forces agissant sur le corps.

En plus de la force de 59 newtons, le corps subit son poids qui agit verticalement vers le bas et qui est égal à sa masse fois 𝑔. Il subit également une force de réaction 𝑅. Elle agit perpendiculairement à la pente. Pour analyser l’effet de ces forces, définissons un repère tel que la direction des 𝑥 positifs est vers le haut de la pente et la direction des 𝑦 positifs est perpendiculaire à la pente vers le haut. En se plaçant dans ce repère, on peut voir que le corps n’a aucune accélération dans la direction des 𝑦. Toute son accélération sera vers le haut ou vers le bas de la pente dans la direction des 𝑥.

Étudions donc les forces agissant sur le corps dans cette direction. Il se trouve qu’il y en a deux. La première est la force de 59 newtons agissant dans la direction des 𝑥 positifs et la deuxième est cette composante du poids, qui agit dans la direction des 𝑥 négatifs. Pour calculer cette composante, on reconnaît que cet angle du triangle rectangle que nous avons formé est en fait égal à l’angle d’inclinaison de la pente. Par conséquent, cette composante en 𝑥 a une norme de 𝑚 𝑔 fois sin de 45 degrés. Lorsque l’on combine cette force à la force de 59 newtons, on utilise un signe moins parce que la composante en 𝑥 du poids est dans la direction des 𝑥 négatifs. D’après la deuxième loi de Newton, cette somme est égale à la masse du corps fois son accélération.

En divisant les deux membres par 𝑚 et en annulant ce facteur à droite, on obtient 𝑎 égale 59 newtons moins 𝑚𝑔 sin 45, le tout sur 𝑚. Si on remplace 𝑚 et 𝑔 par leurs valeurs en laissant les unités de côté pour le moment, on obtient un résultat de 35,21 au centième près. En se rappelant qu’il s’agit d’une accélération, nous savons que son unité est le mètre par seconde carrée. Nous concluons donc que l’accélération du corps est de 35,21 mètres par seconde carrée au centième près.

Étudions maintenant un dernier exemple.

Un corps de masse neuf kilogrammes est libéré du repos sur un plan lisse incliné. Il se déplace de 25,2 mètres pendant les quatre premières secondes de son mouvement. Si le corps est ensuite projeté vers le haut parallèlement à la pente sur le même plan, avec une vitesse initiale de 12,6 mètres par seconde, quelle distance parcourt-il avant de revenir au repos instantané ? Supposez que 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

OK, nous avons donc un plan lisse incliné. Et il est indiqué qu’un corps de masse neuf kilogrammes, que nous appelons 𝑚, est libéré du repos sur le plan. Comme aucune force de frottement ne s’oppose à son mouvement, le corps commence à glisser vers le bas. Après quatre secondes, il s’est déplacé d’une distance sur le plan de 25,2 mètres. Cette information nous est donnée afin que nous puissions calculer l’accélération du corps. Nous allons avoir besoin de cette valeur pour calculer quelle distance le corps parcourt vers le haut du plan après avoir été projeté avant de revenir au repos.

Pour calculer l’accélération de ce corps lorsqu’il glisse vers le bas du plan, il est important de réaliser que cette accélération est constante. Si on appelle l’angle d’inclinaison du plan lisse 𝜃, alors l’accélération 𝑎 est égale à 𝑔 fois sin 𝜃. Et l’accélération est en effet constante car 𝑔 et 𝜃 sont constantes. On peut donc calculer l’accélération du corps en utilisant ces informations et en utilisant les équations du MRUV. Nous n’allons pas lister ici ces quatre équations. Nous allons uniquement rappeler celle qui nous intéresse. Cette équation stipule que le déplacement d’un corps est égal à sa vitesse initiale fois la durée plus un demi de son accélération fois cette durée au carré.

Dans notre cas, la distance parcourue est 𝑑 et le temps écoulé est Δ𝑡. Et puisque le corps est libéré du repos, la vitesse initiale 𝑣 𝑖 du corps dans cette équation est nulle. Par conséquent, 𝑑 est égal à un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré. Si on multiplie les deux membres de cette équation par deux et que l’on divise les deux membres par Δ𝑡 au carré, on obtient l’expression de 𝑎. Nous n’allons pas encore calculer 𝑎 mais nous reviendrons à cette équation dans un instant.

Considérons à présent la deuxième étape du mouvement de notre corps. Nous devons imaginer qu’il est projeté vers le haut du plan à 12,6 mètres par seconde. Nous savons que grâce aux effets de la pesanteur, le corps ralentira avec le temps et finira par s’arrêter instantanément.

Si on appelle la distance parcourue par le corps lorsqu’il ralentit de 12,6 à zéro mètre par seconde grand 𝐷, il s’agit de cette distance que nous souhaitons calculer pour répondre à la question. Pour cela, nous allons à nouveau utiliser les équations du MRUV. Faisons d’abord un peu de place et l’équation que nous allons utiliser est la suivante. Elle stipule que la vitesse finale d’un objet au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération fois son déplacement. En fonction de nos variables, l’équation peut donc être formulée par 𝑣 𝑓 au carré égale 𝑣𝑖 au carré plus deux fois 𝑎 fois grand 𝐷.

Et remarquez que puisque l’objet atteint le repos, 𝑣 𝑓 sera égale à zéro. On peut donc écrire zéro égale 𝑣 𝑖 au carré plus deux 𝑎𝐷. Puisque c’est 𝐷 que nous recherchons, manipulons un peu cette équation. On trouve alors que 𝐷 est égal à moins 𝑣 i au carré sur deux 𝑎. Et nous pouvons maintenant substituer l’expression que nous avons établie de l’accélération 𝑎. Maintenant, en ce qui concerne ce signe négatif, si on considère que 𝑣 𝑖, la vitesse initiale du corps, est positive, cela signifie que l’on suppose que le mouvement vers le haut de la pente est dans le sens positif. Par conséquent, le mouvement dans le sens opposé est dans le sens négatif. Et c’est dans ce sens que pointe l’accélération 𝑎.

Avec cette convention, 𝑎 a une valeur négative et les signes moins du numérateur et du dénominateur s’annulent donc. Nous sommes enfin prêts à remplacer les valeurs de 𝑣 𝑖, 𝑑 et Δ𝑡. En laissant de côté les unités, on remplace 𝑣 𝑖 par 12,6, 𝑑 par 25,2 et Δ𝑡 par quatre. En évaluant cette fraction, on obtient un résultat exact de 25,2. Cette distance est en mètres. Nous pouvons donc conclure que si le corps est projeté vers le haut de la pente à 12,6 mètres par seconde, la distance qu’il parcourra avant de revenir au repos sera de 25,2 mètres.

Terminons maintenant cette leçon en résumant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu qu’un corps sur un plan lisse et incliné ne subit aucun frottement. De plus, les seules forces agissant sur lui sont son poids et la force de réaction. Nous avons également appris que la deuxième loi du mouvement de Newton selon laquelle la force résultante agissant sur un corps est égale à la masse du corps fois son accélération peut être utilisée pour calculer l’accélération d’un corps. Enfin, nous avons vu que lorsque l’accélération d’un corps est constante, on peut utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément varié.

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