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Fiche explicative de la leçon : Mouvement d'un corps sur un plan incliné lisse Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant le déplacement d’une particule sur un plan incliné lisse.

La force de réaction normale 𝑅 sur un corps sur une surface inclinée est représentée sur la figure suivante.

La force de réaction est la réponse au poids du corps agissant sur la surface le supportant. Le poids 𝑃 du corps est donné par 𝑃=𝑚𝑔,𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.

La direction de 𝑅 est toujours perpendiculaire à la surface. L’intensité de 𝑅 est égale à la composante du poids de l’objet agissant perpendiculairement à la surface. L’intensité de 𝑅 est donc donnée par 𝑅=𝑚𝑔𝜃,cos𝜃 est l’angle d’inclinaison de la surface par rapport à l’horizontale.

Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer la force de réaction sur un corps sur une surface inclinée.

Exemple 1: Déterminer la force de réaction sur un corps se déplaçant sur un plan incliné

Un corps de masse 0,7 kg a été placé sur un plan lisse incliné de 66 par rapport à l’horizontale et on l’a laissé se déplacer librement sous l’effet de la gravité, où l’accélération de la pesanteur est de 9,8 m/s2. Déterminez l’intensité de la réaction du plan sur le corps au centième près.

Réponse

On peut trouver la force de réaction sur le corps en utilisant la formule 𝑅=𝑚𝑔𝜃,cos ce qui donne 𝑅=0,7(9,8)(66).cos

L’intensité de force de réaction est donc de 2,79 N au centième près.

La force résultante 𝐹 sur un corps placé sur un plan incliné est la somme de 𝑅 et 𝑃. On peut l’exprimer comme 𝐹=𝑅+𝑚𝑔.

Le sens de la droite d’action de 𝐹 est illustré sur la figure suivante,

|𝑅|=𝑚𝑔𝜃.cos

Le sens de 𝐹 est parallèle au plan vers le bas.

On voit que 𝐹 et 𝑅 sont des composantes perpendiculaires de 𝑚𝑔 donc |𝐹|=𝑚𝑔𝜃.sin

Étudions un exemple de corps placé sur une surface inclinée dans lequel nous devons déterminer l’accélération du corps parallèlement à la surface.

Exemple 2: Déterminer l’accélération d’un corps sur un plan incliné

Un corps de masse 1,4 kg a été placé sur un plan lisse incliné de 45 par rapport à l’horizontale. Si une force de 59 N agit sur le corps parallèlement à la pente du plan vers le haut, déterminez l’accélération du corps arrondie au centième près. On prendra 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Si aucune force extérieure n’agissait sur le corps, le poids et la réaction sur le corps produiraient une force totale sur le corps parallèle au plan vers le bas de 𝐹=𝑚𝑔𝜃=1,4(9,8)(45)=13,722.sinsin

En plus de cette force, une force de 59 newtons agit parallèlement au plan vers le haut, comme indiqué sur la figure suivante.

La force résultante sur le corps parallèle au plan vers le haut est 𝐹=5913,722.

On peut déterminer l’accélération du corps parallèlement au plan vers le haut en l’isolant dans la formule du principe fondamental de la dynamique:𝑎=𝐹𝑚=591,4.

L’accélération est donc de 35,21 m/s2 au centième près.

Étudions maintenant un exemple de corps placé sur une surface inclinée où une force agit sur le corps dans une direction non parallèle à la surface.

Exemple 3: Déterminer une force inconnue agissant sur un corps se déplaçant sur un plan incliné

On a laissé un corps de masse 205 kg glisser vers le bas d’un plan incliné de 45 par rapport à l’horizontale. Une force a commencé à agir sur le corps, entraînant une réduction de moitié de la norme de son accélération. Sachant que la droite d’action de la force faisait un angle de 45 avec la ligne de plus grande pente du plan et qu’elles se situent toutes les deux dans le même plan vertical, déterminez l’intensité de cette force. On suppose que l’accélération de la pesanteur est de 9,8 m/s2.

Réponse

Les forces agissant sur le corps sont représentées sur la figure suivante.

La figure suivante montre les composantes de ces forces agissant parallèlement et perpendiculairement au plan.

La force agissant selon un angle de 45 par rapport au plan a une droite d’action verticale. Lorsque cette force n’agit pas, l’intensité de la force sur le corps parallèle à la pente est 𝑚𝑔(45)=𝑚𝑔22.sin

Lorsque la force verticale agit sur le corps, la norme de l’accélération du corps est divisée par deux. L’accélération du corps est divisée par deux en raison de l’action de la force verticale. La force totale 𝐹 sur un corps de masse 𝑚 peut être déterminée par la deuxième loi de Newton:𝐹=𝑚𝑎.

L’intensité de la force totale exercée sur le corps est donc égale à la moitié de celle de la force totale exercée sur le corps avant que la force verticale n’agisse et est donc donnée par 𝑚𝑔2=𝑚𝑔24.

En prenant le sens parallèle au plan vers le haut comme positif, l’intensité de la force résultante agissant parallèlement au plan lorsque la force verticale agit peut être exprimée comme suit:𝑚𝑔24=𝐹(45)𝑚𝑔(45),cossin ce qui donne 𝑚𝑔24=𝐹22𝑚𝑔22.

Cette expression peut être réarrangée pour isoler 𝐹:𝐹22=𝑚𝑔22𝑚𝑔24.

On divise l’expression par 2:𝐹2=𝑚𝑔2𝑚𝑔4=𝑚𝑔2.

Puis on la multiplie par 2:𝐹=𝑚𝑔2=205(9,8)2=1004,5.N

Si on laisse 𝐹 augmenter sans limite, le corps finirait par ne plus glisser vers le bas du plan car il y aurait une force totale non nulle perpendiculaire au plan, le corps serait alors soulevé du plan.

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déduire l’accélération d’un corps à partir de son mouvement le long d’un plan d’inclinaison inconnue.

Exemple 4: Utiliser les équations du mouvement pour résoudre un problème impliquant un corps se déplaçant sur un plan incliné

Un corps de masse 9 kg quitte sa position de repos sur un plan incliné lisse. Il se déplace d’une distance de 25,2 m pendant les 4 secondes initiales de son mouvement. Si, suite à ces premières 4 secondes, le corps est projeté parallèlement à la ligne de plus grande pente vers le haut sur le même plan à vitesse initiale de 12,6 m/s, quelle distance parcourt-il avant d’atteindre le repos?On prendra 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Lorsque l’objet quitte sa position de repos, il accélère vers le bas parallèlement au plan. Avec cette accélération, le corps se déplace de 25,2 mètres en 4 secondes. En prenant le déplacement parallèle au plan vers le haut comme positif, l’accélération nécessaire pour produire un déplacement de 25,2 mètres pendant une durée 4 secondes peut être déterminée en utilisant la formule 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡,𝑢=0/ms, 𝑡=4s et 𝑠=25,5m.

On obtient 𝑎=2𝑠𝑡=50,416=3,15/.ms

Lorsque le corps est projeté vers le haut parallèlement au plan, son vecteur vitesse initial est dans le sens opposé à son accélération;par conséquent, si le sens dans lequel le corps est projeté est considéré positif, le déplacement du corps est lié à son accélération et à sa vitesse finale par l’équation 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑣 est nul quand le corps atteint le repos. En isolant 𝑠, on obtient 𝑠=𝑢2𝑎.

En substituant les valeurs connues, on trouve 𝑠=12,62(3,15)=25,2.m

Il est à noter que l’on a déterminé le déplacement sans connaître l’angle d’inclinaison du plan ni les forces agissant sur le corps car le corps accélère uniformément et son mouvement peut donc être modélisé en utilisant uniquement les équations du mouvement rectiligne uniformément varié.

Étudions maintenant un exemple impliquant la modélisation du mouvement d’un corps sur un plan incliné soumis à une force qui n’agit pas parallèlement au plan.

Exemple 5: Utiliser les équations du mouvement pour résoudre un problème impliquant un corps se déplaçant sur un plan incliné

Un corps de masse 103kg est placé sur un plan lisse incliné de 30 par rapport à l’horizontale. Une force horizontale de 126 N dirigée vers le plan agit sur le corps telle que la droite d’action de la force et la ligne de plus grande pente du plan se situent dans le même plan vertical. Après s’être déplacé pendant 7 secondes, le corps a atteint une vitesse 𝑣 et, à cet instant, la force a cessé d’agir;le corps a alors continué à se déplacer jusqu’à ce qu’il s’arrête momentanément 𝑡secondes après que la force a cessé d’agir. Déterminez 𝑣 et 𝑡. On prendra 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La figure suivante montre les forces agissant sur le corps.

Les composantes parallèles au plan du poids du corps et de la force de 126 newtons sont non nulles alors que la composante de la force de réaction parallèle au plan est nulle.

La figure suivante montre les composantes de ces forces agissant parallèlement et perpendiculairement au plan.

L’intensité de la force totale parallèle au plan vers le haut est la suivante:𝐹=126(30)103(9,8)(30)𝐹=126321039,82𝐹=633493=143.totaletotaletotalecossin

La norme de l’accélération du corps due à 𝐹totale est 𝑎=143103=1,4/.ms

La norme de la vitesse du corps après 7 secondes d’accélération est 𝑣=𝑢+𝑎𝑡=0+1,4(7)=9,8/.ms

Lorsque la force de 136 newtons cesse d’agir sur le corps, l’accélération du corps parallèlement au plan vers le bas est alors 𝑎=𝑔𝜃=9,82=4,9/.sinms

La vitesse initiale du corps est de 9,8 m/s parallèlement au plan vers le haut, la durée que met le corps pour atteindre une vitesse instantanée nul est donc 𝑡=𝑣𝑢𝑎=09,84,9=2.secondes

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Pour un corps sur lequel les seules forces agissant sont le poids du corps et la réaction normale sur le corps, la force de réaction normale 𝑅 sur le corps lorsqu’il est sur une surface inclinée est donnée par 𝑅=𝑚𝑔𝜃,cos𝜃 est l’angle d’inclinaison de la surface par rapport à l’horizontale, 𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.
  • La force totale agissant sur un corps placé sur une surface lisse et inclinée due au poids et à la force de réaction sur le corps est donnée par 𝐹=𝑚𝑔𝜃,sin𝜃 est l’angle d’inclinaison de la surface par rapport à l’horizontale, 𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.
  • Si une force agit sur un corps sur une surface inclinée lisse dans une direction qui n’est pas parallèle à la surface, la force modifie la force de réaction sur le corps. On doit égaliser les composantes perpendiculaires de la force appliquée avec les composantes perpendiculaires du poids du corps et de la force de réaction sur le corps afin de déterminer une de ces forces autre que le poids du corps.

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