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Si 𝐴 a pour coordonnées trois, moins deux et 𝐵 moins deux, quatre, déterminez le vecteur position du point 𝐶 qui divise le segment 𝐴𝐵 extérieurement selon le rapport quatre pour trois.
On nous a donné les coordonnées de deux points 𝐴 et 𝐵 et on nous a dit qu'un troisième point 𝐶 divise 𝐴𝐵 extérieurement selon un rapport quatre pour trois. Cela signifie que le point 𝐶 n'est pas sur le segment joignant les points 𝐴 et 𝐵 mais sur le prolongement de ce segment, donc le point 𝐶 est quelque part par ici.
Examinons maintenant ce que cela signifie si le point 𝐶 divise 𝐴𝐵 extérieurement selon un rapport quatre pour trois. Cela signifie que le rapport entre la longueur de 𝐴𝐶 et la longueur de 𝐵𝐶 est de quatre pour trois. On peut aborder ce problème de deux manières : formellement en utilisant la formule du point de partage avec une division extérieure, puis une approche logique plus informelle.
Considérons d'abord la formule de partage avec une division extérieure. Celle-ci stipule que pour des points distincts 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, si le point 𝑃 qui n'est pas situé sur le segment 𝐴𝐵, divise le segment 𝐴𝐵 de telle sorte que le rapport de la longueur de 𝐴𝑃 à la longueur de 𝑃𝐵 soit égal à 𝑚 sur 𝑛, alors 𝑃 a pour coordonnées 𝑚𝑥 deux moins 𝑛𝑥 un sur 𝑚 moins 𝑛, 𝑚𝑦 deux moins 𝑛𝑦 un sur 𝑚 moins 𝑛.
Essayons de déterminer les valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑚 et 𝑛 pour ce problème. On a : 𝐴 est le point 𝑥 un, 𝑦 un, et 𝐵 est le point 𝑥 deux, 𝑦 deux. Nous avons ensuite l’affirmation selon laquelle le rapport entre la longueur de 𝐴𝑃 et la longueur de 𝑃𝐵 est de 𝑚 sur 𝑛. Dans notre cas, ce serait le rapport de la longueur de 𝐴𝐶 à la longueur de 𝐶𝐵. Nous avons déjà écrit que le rapport de la longueur de 𝐴𝐶 à celle de 𝐵𝐶, qui est le même segment mais dans la direction opposée, est de quatre pour trois. Cela nous dit donc que la valeur de 𝑚 est quatre et que celle de 𝑛 est trois.
On peut maintenant appliquer la formule du point de partage avec une division extérieure pour déterminer les coordonnées du point 𝐶. Pour la coordonnée 𝑥 du point 𝐶, nous avons 𝑚 multiplié par 𝑥 deux, soit quatre multiplié par moins deux, moins 𝑛 multiplié par 𝑥 un, soit trois multiplié par trois, sur 𝑚 moins 𝑛, soit quatre moins trois. Puis pour la coordonnée 𝑦, 𝑚 multiplié par 𝑦 deux est quatre multiplié par quatre, moins 𝑛 multiplié par 𝑦 un, c'est trois multiplié par moins deux, sur 𝑚 moins 𝑛, soit quatre moins trois.
Si on simplifie, on a moins huit moins neuf sur un pour la coordonnée 𝑥 de 𝐶 et 16 plus six sur un pour la coordonnée 𝑦, ce qui nous donne le point de coordonnées moins 17, 22.
On a donc utilisé l'approche formelle de cette question, mais envisageons aussi une approche un peu moins formelle que nous pourrions adopter. Si le rapport de la longueur du segment 𝐴𝐶 à la longueur du segment 𝐵𝐶 est de quatre pour trois, alors le rapport de la longueur de 𝐴𝐵 pour 𝐵𝐶 est de un pour trois. On peut alors penser à la distance à parcourir et à la direction à suivre pour aller du point 𝐴 au point 𝐵. Nous devons nous déplacer de cinq unités vers la gauche pour que la coordonnée 𝑥 passe de trois à moins deux et de six unités vers le haut pour que la coordonnée 𝑦 passe de moins deux à quatre.
Puisque 𝐵𝐶 est trois fois plus long que 𝐴𝐵, on doit se déplacer de trois fois ces distances dans la même direction pour aller du point 𝐵 au point 𝐶. Nous devons donc nous déplacer de 15 unités vers la gauche et de 18 unités vers le haut. On peut alors calculer les coordonnées du point 𝐶 en soustrayant 15 à la coordonnée 𝑥 du point 𝐵 et en ajoutant 18 à la coordonnée 𝑦. On obtient donc moins deux moins 15 pour la coordonnée 𝑥 du point 𝐶 et quatre plus 18 pour la coordonnée 𝑦, ce qui donne à nouveau le point de coordonnées moins 17, 22.
En utilisant la formule du point de partage avec une division extérieure et une approche un peu plus informelle, on a donc montré que les coordonnées du point 𝐶, qui divise le segment 𝐴𝐵 extérieurement selon le rapport quatre pour trois, sont moins 17, 22.
