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Vidéo de la leçon: Coordonnées d’un point divisant un segment dans le repère cartésien Mathématiques • Première secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les coordonnées d’un point qui divise un segment dans le repère cartésien, selon un rapport en utilisant la formule du point de partage.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les coordonnées d’un point qui divise un segment dans le repère cartésien, selon un rapport en utilisant la formule du point de partage. Commençons par rappeler une définition importante, les segments de droite.

Un segment de droite, ou un segment, est une partie d’une droite délimitée par deux extrémités distinctes. Par exemple, on a ici le segment . On peut considérer un segment dans un repère cartésien. Si on connaît les coordonnées de 𝐴 et 𝐵, on peut de plus trouver le milieu de ce segment en utilisant la formule du milieu. Dans cette vidéo, cependant, nous souhaitons aller un peu plus loin que la simple division d’un segment en deux portions égales. Nous allons donc voir comment trouver le point qui divise un segment selon un rapport donné.

Voyons donc comment cela fonctionne. Nous avons ici un segment et nous connaissons les coordonnées de ces deux points. Supposons alors que nous souhaitions trouver les coordonnées de ce point 𝑃 qui divise le segment selon le rapport 𝑚 pour 𝑛. Existe-t-il une méthode pour trouver les coordonnées du point 𝑃 ? Eh bien pour cela, nous devons commencer par construire deux triangles rectangles. Un de ces triangles rectangles aura une hypoténuse de 𝑚 et l’autre aura une hypoténuse de 𝑛. Remarquez que ces deux triangles sont semblables puisque leurs angles correspondants sont égaux. Dans des triangles semblables, le rapport des côtés correspondants sera égal.

La distance de 𝐴 à est égale à 𝑚 sur 𝑚 plus 𝑛 fois la longueur de 𝐴𝐵. Et nous pouvons l’utiliser pour trouver les coordonnées et du point 𝑃. Commençons donc par l’abscisse de . 𝑥 est égal à 𝑥 un, qui est l’abscisse du point 𝐴, plus 𝑚 sur 𝑚 plus 𝑛 fois 𝑥 deux moins 𝑥 un. La deuxième partie de cette équation représente la distance horizontale de à en termes d’abscisse. Pour simplifier cette expression, on peut exprimer 𝑥 un comme une fraction sur 𝑚 plus 𝑛. Si on multiplie 𝑥 un par 𝑚 plus 𝑛 au numérateur et au dénominateur, on obtient 𝑥 égale 𝑚 plus 𝑛 fois 𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛 plus 𝑚 fois 𝑥 deux moins 𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛.

On peut alors développer les deux ensembles de parenthèses et on remarque que l’on a 𝑚𝑥 un moins 𝑚𝑥 un. Ce qui laisse simplement 𝑥 égale 𝑚𝑥 deux plus 𝑛𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛. On peut alors utiliser exactement la même technique pour trouver la valeur de l’ordonnée. Cette fois, on remplace un par un et deux par deux, respectivement. On trouve alors que 𝑦 est égal à 𝑚𝑦 deux plus 𝑛𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛. Et nous avons ainsi trouvé les coordonnées du point 𝑃 qui divise notre segment. Écrivons ceci d’une manière plus formelle pour pouvoir le mémoriser.

Pour 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, si le point 𝑃 divise le segment tel que le rapport de 𝐴𝑃 à 𝑃𝐵 est égal au rapport 𝑚 pour 𝑛, alors 𝑃 a les coordonnées suivantes. 𝑃 égale 𝑚𝑥 deux plus 𝑛𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛, 𝑚𝑦 deux plus 𝑛𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛. Nous pouvons maintenant voir comment les abscisses et les ordonnées des extrémités du segment se combinent pour donner les coordonnées de 𝑃. Cette formule peut sembler assez compliquée, mais vous verrez avec un peu de pratique qu’elle est assez simple à appliquer. Ce n’est pas la formule la plus facile à retenir, mais nous allons l’utiliser dans tous les exercices de cette vidéo. Avec un peu de chance, vous l’aurez mémorisée d’ici la fin de cette leçon. Penchons-nous donc sur notre premier exercice.

Sachant que les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 sont respectivement cinq, cinq et moins un, moins quatre, calculez les coordonnées du point 𝐶 qui divise intérieurement le vecteur selon le rapport deux pour un.

Il pourrait être utile de commencer par représenter les deux points. On peut tracer un graphique de ce repère ou utiliser du papier quadrillé. Voici donc notre repère. Le point 𝐴 a les coordonnée cinq, cinq et 𝐵 est situé en moins un, moins quatre. Comme l’énoncé mentionne le vecteur , nous pouvons relier les deux points. On nous demande ensuite de trouver les coordonnées d’un point 𝐶 qui divise intérieurement le vecteur selon le rapport deux pour un. Cela signifie que nous allons devoir utiliser la formule du point de partage. Pour le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et point 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, le point 𝑃 qui divise le segment selon le rapport 𝑚 pour 𝑛 a les coordonnées 𝑚 𝑥 deux plus 𝑛 𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛, et 𝑚 𝑦 deux plus 𝑛 𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛.

Les informations clés dont nous avons besoin pour la formule du point de partage sont les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 et le rapport. Le sens est important car on va de 𝐴 à 𝐵, donc les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un doivent correspondre à celles de 𝐴. L’ordre des valeurs du rapport 𝑚 et 𝑛 est également important, donc 𝑚 égale deux et 𝑛 égale un. On peut ensuite remplacer ces valeurs dans la formule et simplifier. Pour l’abscisse du point 𝑃, on a deux fois moins un qui est moins deux plus cinq ce qui donne trois, et pour le dénominateur deux plus un devient bien sûr trois. Pour l’ordonnée, on a deux fois moins quatre, soit moins huit, plus un fois cinq, soit cinq, ce qui nous donne un numérateur de moins trois. Et le dénominateur est à nouveau égal à trois. En simplifiant ces deux fractions, trois sur trois égale un et moins trois sur trois égale moins un.

Nous savons donc maintenant que le point 𝐶 qui divise ce vecteur selon le rapport deux pour un a pour coordonnées un, moins un. Pour confirmer notre réponse si on a dessiné un graphique sur du papier quadrillé, on peut vérifier que le point se situe bien sur le segment, et c’est le cas. On peut voir ici le point 𝐶 de coordonnées un, moins un. On voit également que le segment est bien divisé selon le rapport deux pour un. On peut donc confirmer que le point un, moins un est la bonne réponse.

Passons à un autre exercice.

Les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 et sont respectivement un, neuf et neuf, neuf. Déterminez les coordonnées des points qui divisent le segment en quatre portions égales.

Commençons cette question par représenter ce segment reliant 𝐴 et 𝐵. Nous pouvons ensuite diviser ce segment en quatre portions. Si nous souhaitons trouver ce premier point, nous pourrions envisager de diviser le segment selon le rapport un pour trois. Nous pourrions ensuite trouver le deuxième point en divisant le segment selon le rapport deux pour deux ou même en trouvant son milieu. Et nous pourrions trouver les coordonnées du troisième point en divisant le segment selon le rapport trois pour un. Nous pourrions tout à fait effectuer ces trois calculs en utilisant la formule du point de partage. Elle stipule que pour deux points 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, respectivement, le point 𝑃 qui divise le segment selon le rapport 𝑚 pour 𝑛 a les coordonnées 𝑚𝑥 deux plus 𝑛𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛, 𝑚𝑦 deux plus 𝑛𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛.

Pour cette question, nous devrions appliquer la formule du point de partage trois fois pour trouver ces trois différentes coordonnées avec leurs rapports respectifs. Il existe en fait une approche beaucoup plus facile si on observe ces points de coordonnées un, neuf et neuf, neuf. On peut les représenter comme ceci et même créer le segment . Comme il s’agit d’un segment horizontal, il est un peu plus facile de calculer la longueur de 𝐴𝐵. Elle mesure huit unités de longueur. On peut alors diviser cette longueur en quatre portions égales, ce qui nous donne les coordonnées trois, neuf ; cinq, neuf ; et sept, neuf. Il s’agit de notre réponse finale pour les coordonnées des points qui divisent le segment en quatre portions égales. Nous aurions pu obtenir la même réponse en utilisant la formule du point de partage, mais cela aurait pris beaucoup plus de temps.

Étudions maintenant un autre exercice.

Si 𝐶 appartient à et que le vecteur est égal à trois fois le vecteur , alors 𝐶 divise le vecteur selon le rapport ... (A) deux pour un, (B) un pour deux, (C) un pour trois ou (D) trois pour un.

Il y a beaucoup d’informations dans cette question. Mais commençons par ce segment , que nous pouvons représenter comme ceci. Il est indiqué que 𝐶 appartient à , ce qui signifie que le point 𝐶 se trouve quelque part sur ce segment. Si le vecteur est égal à trois fois le vecteur , cela signifie alors que trois fois la longueur 𝐶𝐵 correspond à la longueur de 𝐴𝐵. On peut donc diviser la longueur 𝐴𝐵 en trois portions, mais le point 𝐶 est-il ici ou ici ? Si on suppose que 𝐶 est ce point à gauche, alors la longueur 𝐶𝐵 ressemblerait à ceci. Mais si on multipliait ensuite 𝐶𝐵 par trois, on n’obtiendrait pas la longueur de 𝐴𝐵. On en déduit que 𝐶 doit être ici, plus proche de 𝐵, car cette longueur 𝐶𝐵 conviendrait. Trois fois 𝐶𝐵 donnerait bien 𝐴𝐵.

Nous devons maintenant déterminer comment 𝐶 divise ce vecteur . On peut alors dire que si 𝐵𝐶 mesure une unité de longueur, alors 𝐴𝐶 mesurerait deux de ces unités. Mais s’agit-il du rapport deux pour un ou du rapport un pour deux ? Eh bien, le sens est la clé ici. L’énoncé parle du vecteur , ce qui signifie que l’on va de 𝐵 à . Nous pouvons donc conclure qu’il s’agit du rapport un pour deux, qui est donné dans la réponse (B). Notez que si on divisait le vecteur à la place, alors le rapport aurait été deux pour un. Mais puisque 𝐶 divise ici le vecteur , alors il s’agit du rapport un pour deux.

Nous allons maintenant étudier un dernier exercice.

Un bus circule de la ville 𝐴 de coordonnées 10, moins 10 à la ville 𝐵 de coordonnées moins huit, huit. Son premier arrêt est en 𝐶, qui est à mi-chemin entre les villes. Son deuxième arrêt est en 𝐷, qui est situé aux deux tiers du chemin de 𝐴 à 𝐵. Quelles sont les coordonnées de 𝐶 et 𝐷 ?

Dans ce problème, nous avons un bus qui circule de 𝐴 à 𝐵. Il s’arrête à mi-chemin, qui est au point 𝐶, puis s’arrête à nouveau au point 𝐷, qui est aux deux tiers du chemin de 𝐴 à 𝐵. Commençons par représenter ces points sur un repère. Nous avons donc 𝐴 en 10, moins 10 et 𝐵 en moins huit, huit. Nous pouvons même les relier par un segment de droite. Le milieu de ce trajet en bus est le point 𝐶. Si nous avions utilisé du papier millimétré et que le point était situé sur la grille, nous aurions peut-être pu lire les coordonnées du point 𝐶 directement sur le graphique. Mais voyons si nous pouvons le trouver en utilisant la formule du milieu d’un segment. Cette formule nous indique que pour les deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, le milieu du segment les reliant a les coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux.

On peut supposer que 𝑥 un, 𝑦 un sont les coordonnées du point 𝐴 et que 𝑥 deux et 𝑦 deux sont celles du point 𝐵 puis les remplacer dans la formule. L’abscisse du milieu est donc égale à 10 plus huit sur deux et son ordonnée à moins 10 plus huit sur deux. Le milieu peut ainsi être noté deux sur deux, moins deux sur deux, ce qui est bien sûr un, moins un. Nous avons donc trouvé la première réponse. Les coordonnées de 𝐶, qui est le milieu, sont un, moins un.

Faisons un peu de place et essayons de trouver les coordonnées de 𝐷. Il est indiqué que 𝐷 est situé aux deux tiers du chemin de 𝐴 à 𝐵. Nous pourrions diviser notre segment en trois portions égales sachant que 𝐷 serait situé après deux de ces trois portions. Bien qu’il existe une formule du milieu permettant de trouver un point situé à la moitié d’un segment, nous ne connaissons pas de formule permettant de trouver un point aux deux tiers du segment. On peut cependant rappeler la formule du point de partage, qui nous permet de diviser un segment selon un rapport donné. Elle stipule que pour deux points 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, le point 𝑃 qui divise le segment selon le rapport 𝑚 pour 𝑛 a pour coordonnées 𝑚𝑥 deux plus 𝑛 𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛 et 𝑚𝑦 deux plus 𝑛𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛.

Afin de trouver les coordonnées de notre point 𝐷 qui divise le segment , nous devons identifier le rapport. Comme on sait que 𝐷 est situé aux deux tiers du chemin de 𝐴 à 𝐵, on divise 𝐴𝐵 en trois portions. De 𝐴 à 𝐷 représente deux de ces trois portions et de 𝐷 à 𝐵 est la portion restante. Le point divise donc le segment selon le rapport deux pour un. Pour utiliser cette formule du point de partage, nous devons connaître les valeurs de 𝑚 pour 𝑛 qui est le rapport deux pour un ainsi que les coordonnées de 𝐴 et 𝐵.

On remplace alors ces valeurs dans la formule et on obtient que l’abscisse de 𝐷 est égale à deux fois moins huit plus un fois 10 sur deux plus un. Et son ordonnée est égale à deux fois huit plus un fois moins 10 sur deux plus un. En simplifiant, on trouve que les coordonnées de 𝐷 sont moins six sur trois, six sur trois, ce qui se simplifie par moins deux, deux. Nous pouvons donc conclure que 𝐶 a pour coordonnées un, moins un et que 𝐷 a pour coordonnées moins deux, deux.

Nous allons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu la formule du point de partage, qui stipule que pour le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, le point 𝑃 qui divise le segment selon le rapport 𝑚 pour 𝑛 a les coordonnées suivantes. Son abscisse est 𝑚 𝑥 deux plus 𝑛 𝑥 un sur 𝑚 plus 𝑛, et son ordonnée est 𝑚 𝑦 deux plus 𝑛 𝑦 un sur 𝑚 plus 𝑛.

Nous avons également vu que lorsque l’on divise ou sépare un segment en deux portion égales, on peut utiliser la formule du milieu. Le milieu du segment d’extrémités 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux a les coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. Enfin, un conseil pratique : il est très utile de tracer le repère et de représenter les points étudiés. Cela peut vous aider à réfléchir logiquement et à déterminer le rapport selon lequel un segment est divisé.

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