Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées d'un point qui divise un segment dans le repère cartésien, selon un rapport en utilisant la formule du point de partage.
Passons d’abord en revue quelques termes.
Définition : Segment
Un segment est une partie d’une droite délimitée par deux extrémités distinctes.
On peut représenter le segment entre deux points distincts, et en utilisant la notation . contient tous les points sur la droite compris entre et .
Pour mieux comprendre cette définition, on peut considérer un segment tracé dans un repère cartésien, dont les extrémités sont et .
Le milieu d’un segment est le point situé à égale distance des deux extrémités. On peut trouver les coordonnées du milieu de en divisant par deux chacune les distances horizontales et verticales entre et .
Récapitulatif : Le milieu d’un segment
On peut trouver le milieu, , d’un segment entre et en utilisant
Nous allons maintenant voir une variété de questions sur la division ou le partage de segments de différentes manières.
Exemple 1: Diviser un segment en quatre parties égales
Les coordonnées de et sont et respectivement. Détermine les coordonnées des points qui divisent en quatre parties égales.
Réponse
On peut commencer par tracer le segment et par montrer les points qui le divisent en 4 parties égales. On peut définir ces points comme , et .
Comme est divisé en quatre parties égales, nous pouvons aborder cette question en déterminant d’abord le milieu, de , puis en déterminant les milieux de et .
On rappelle que le milieu, d’un segment entre les points de coordonnées et est donné par
Pour trouver le milieu, de , on substitue les coordonnées de aux valeurs et les coordonnées de aux valeurs , ce qui donne Ainsi, les coordonnées de sont .
Ensuite, nous trouvons le milieu, de . En substituant les coordonnées de et aux valeurs de et , cela donne
Enfin, nous trouvons le milieu, de . En utilisant les coordonnées de et cela donne
Ainsi, nous avons trouvé les coordonnées de , et , qui divisent en 4 parties égales, comme suit :
Nous allons maintenant étudier un exemple sur la manière dont un segment partagé par un point peut être écrit à l’aide d’un rapport.
Exemple 2: Déterminer le rapport selon lequel un point divise un segment.
Complétez : si et , alors divise selon le rapport .
Réponse
On considère le segment . Il y aura un point quelque part le long de ce segment.
Comme on doit prendre en compte le sens du mouvement de à , on utilise le vecteur .
Le mouvement du point au point est le vecteur .
Les normes des vecteurs et sont leurs longueurs. On sait que ; par conséquent, on peut écrire que
On peut diviser en 3 parties égales.
On doit cependant établir sur lequel de ces points se situe . Si est plus proche de que de , alors la longueur de serait deux tiers de la longueur de .
Ainsi, il ne serait pas vrai que . Par conséquent, doit être le point qui est plus proche de que de .
De cette manière, et
Pour déterminer le rapport, comme est divisé en 3 parties, il y aura 2 parties du total dans et 1 part dans .
On pourrait écrire que divise selon le rapport . Cependant, on nous a demandé comment divise ; par conséquent, la solution est le rapport donné dans la réponse B :
Nous allons maintenant étudier comment trouver les coordonnées d’un point qui divise un segment selon un rapport donné.
Les vecteurs peuvent être utiles lors du partage de segments selon un rapport. Rappelons que les vecteurs représentent la direction, le sens et la norme, plutôt que la position sur un repère. Étant donné deux points distincts et , le vecteur nous indique la direction relative du point par rapport au point , ainsi que la distance entre les deux points. En particulier, à part avoir une direction et une norme données, le vecteur a aussi un sens, c’est-à-dire, il doit commencer en et se terminer en . Cette flexibilité des vecteurs est un avantage lorsque nous travaillons avec des problèmes géométriques tels que le partitionnement d’un segment.
Voyons comment identifier les coordonnées des points. Si le point divise selon le rapport , cela signifie que ce point se situe sur le segment et le rapport des normes des vecteurs satisfait
En d’autres termes, si est égale à unités de longueur, serait égale à unités de longueur, ce qui conduit à
En général, il serait difficile d’utiliser uniquement l’équation ci-dessus pour trouver les coordonnées du point de division . Cependant, cette équation ne contient pas l’information que se situe sur le segment . Cela signifie en particulier que a la même direction et le même sens que . Rappelons que deux vecteurs ont la même direction et le même sens si un vecteur est obtenu en multipliant l’autre vecteur par une constante positive. Considérant l’équation ci-dessus, nous pouvons voir que cette constante positive est donnée par . Cela conduit à
Nous pouvons utiliser cette propriété pour déterminer les coordonnées d’un point qui divise un segment selon un rapport donné. Pour y arriver, on écrit d’abord et chacun comme différence de deux vecteurs de position :
La substitution de ces expressions dans la formule d’origine conduit à
Réarranger l’équation de sorte que l’on isole , on obtient
Formule : Vecteur de position d’un point divisant un segment selon un rapport
Soit un point sur un segment le divisant selon le rapport . Alors, le vecteur position est donné par
Voyons comment utiliser cette formule pour obtenir une expression pour les coordonnées cartésiennes du point de division. Notons les coordonnées des points et . Alors, on peut écrire les vecteurs de position correspondants
En substituant ces expressions à la formule ci-dessus, on obtient
On arrive à la formule suivante.
Théorème : La formule de la section
Pour les points distincts et ,si le point divise tel que , alors les coordonnées de sont
Nous allons maintenant voir comment appliquer cette formule à quelques exemples.
Exemple 3: Déterminer les coordonnées d’un point qui divise intérieurement un segment
Si les coordonnées de et sont et respectivement, déterminez les coordonnées du point qui divise intérieurement selon le rapport .
Réponse
On peut tracer ce vecteur comme indiqué.
On peut appliquer la formule suivante pour trouver le point qui divise intérieurement selon le rapport . Cela signifie que et que le rapport est donné par .
On peut alors appliquer la formule pour partager un segment selon un rapport donné.
Pour et , si le point divise tel que , alors les coordonnées de sont
Pour ce problème, les coordonnées de sont et les coordonnées de sont . On peut substituer ces coordonnées respectivement à et dans la formule.
Les valeurs du rapport peuvent être respectivement substituées à et .
Par conséquent, les coordonnées de sont
En simplifiant, on a
Ainsi, les coordonnées du point qui divise intérieurement selon le rapport sont .
Nous allons maintenant voir comment diviser extérieurement un segment selon un rapport donné.
Jusqu’à présent, nous avons observé comment identifier les coordonnées d’un point qui divise un segment selon un rapport donné. On appelle ce type de problèmes, des problèmes de division intérieure car le point que nous recherchons se situe à l’intérieur du segment.
Considérons maintenant un type différent de problèmes, appelés problèmes de division extérieure. Dans ces problèmes, le point qui divise le segment ne se situe pas à l’intérieur mais plutôt sur une extension du segment comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Considérant la figure ci-dessus, on dit que le point divise extérieurement selon le rapport , où . Nous pouvons résoudre ces problèmes de division extérieure en modifiant légèrement notre approche précédente des problèmes de division intérieure. La principale différence dans ce cas est que , de norme unités de longueur, est le plus grand vecteur par rapport à , de norme unités de longueur. Par soustraction, on peut voir que la longueur de est égale à unités. Cela conduit à
Comme dans le contexte précédent, et ont la même direction et le même sens, de sorte que nous pouvons écrire
Comme pour le problème de division intérieure, nous pouvons calculer la formule pour le vecteur position de :
Nous notons que cette formule ressemble beaucoup à celle obtenue précédemment pour les problèmes de division intérieure. Les différences notables sont les suivantes :
- Les deux expressions sont soustraites plutôt qu’ajoutées.
- L’expression est remplacée ci-dessus par .
Sur le côté droit ci-dessus, l’expression pour la division intérieure est remplacé par pour la division extérieure. Dérivons la formule pour les coordonnées cartésiennes du point de division, étant donné les coordonnées et :
Cela conduit à la formule suivante.
Théorème : Formule du point de partage avec une division extérieure
Pour les points distincts et , si le point divise tel que , alors les coordonnées de sont
Nous allons maintenant voir comment appliquer cette formule dans l’exemple suivant.
Exemple 4: Déterminer les coordonnées d’un point qui divise extérieurement un segment selon un rapport donné
Soient et , déterminez sous forme vectorielle les coordonnées du point qui divise extérieurement selon le rapport .
Réponse
On peut commencer par tracer les points et et par prolonger le vecteur jusqu’au point qui divise extérieurement . On peut écrire que .
On rappelle la formule du point de partage pour une division extérieure.
Pour les points distincts et , si le point divise tel que , alors les coordonnées sont
On peut substituer les valeurs et aux valeurs respectives de et , et les valeurs du rapport à et dans la formule du point de partage pour trouver les coordonnées de . Cela donne
Comme il est demandé de donner la réponse sous forme vectorielle, on peut donner le vecteur position de par
Nous allons maintenant étudier un exemple illustrant comment utiliser la formule du point de partage pour déterminer le rapport selon lequel un segment est divisé.
Exemple 5: Déterminer le rapport selon lequel l’axe des abscisses divise un segment
Complétez : Pour et , l’axe des abscisses divise selon le rapport .
Réponse
On peut commencer par tracer les points et et le vecteur .
Afin de trouver comment l’axe des abscisses divise , on doit d’abord trouver le point d’intersection entre et l’axe des abscisses . À partir des coordonnées de et , on peut trouver l’équation de , en commençant par trouver la pente de cette droite.
La pente, , d’une droite passant par deux points et peut être trouvé en utilisant
Par conséquent, la pente entre et est donnée par
On peut alors utiliser l’équation d’une droite sous une forme adaptée, de manière à ce que pour un point et la pente, , cette équation s’écrit sous la forme
On peut substituer les coordonnées de ou dans cette équation, donc en utilisant pour les valeurs et , on a
On peut alors multiplier les deux membres par 7 et développer les parenthèses du membre de droite, ce qui donne
En réarrangeant pour l’écrire sous la forme cartésienne de l’équation d’une droite, , on a
On rappelle qu’une droite coupe l’axe des abscisses lorsque , donc en substituant cela dans l’équation et en simplifiant, cela donne
On a maintenant calculé que le segment coupe l’axe des abscisses au point .
On doit maintenant trouver le rapport selon lequel le point de coordonnées divise .
Pour ce faire, on peut utiliser la formule du point de partage pour la division intérieure d’un segment. Pour les points distincts et , si le point divise tel que , alors les coordonnées de sont
Dans cette question, on connaît les points et et le point qui divise . On doit calculer les valeurs et du rapport.
En substituant respectivement les coordonnées de et aux valeurs de et dans la formule du point de partage, on a
On sait que les coordonnées de sont , on peut donc écrire
En évaluant l’abscisse on a
On peut utiliser le produit en croix et simplifier pour obtenir une expression de en fonction de
Le rapport , donc .
On peut ainsi dire que l’axe des abscisses divise selon le rapport
Pour vérifier notre réponse, on pourrait calculer la longueur de et la longueur de et déterminer directement le rapport de .
On rappelle que la formule pour déterminer la distance, , entre deux points et est donnée par
Pour déterminer la longueur de , , on substitue les valeurs de et aux valeurs et , ce qui donne
Pour déterminer la longueur de , , on substitue et aux valeurs et , ce qui donne
On peut alors écrire le rapport comme
Multiplier les deux côtés du rapport par 5, puis diviser par , donne
On a ainsi confirmé la réponse, c’est-à-dire que l’axe des abscisses divise selon le rapport .
Dans l’exemple suivant, nous pouvons voir un problème plus complexe impliquant le partitionnement d’un segment.
Exemple 6: Résoudre un problème de la vie courante en divisant un segment
Un bus va de la ville à la ville . Son premier arrêt est à , qui est à mi-chemin entre les villes. Son deuxième arrêt est à , qui est à deux tiers du chemin de à . Quelles sont les coordonnées de et ?
Réponse
On sait que la ville a les coordonnées et la ville a les coordonnées . On doit d’abord trouver les coordonnées de la ville , à mi-chemin entre celles-ci.
On peut utiliser la formule pour le milieu d’un segment. Pour trouver le milieu d’un segment entre deux points et , on peut utiliser
En substituant et dans cette formule ; on obtient le milieu
On doit ensuite trouver les coordonnées de , qui est à deux tiers du chemin de à . Le sens, à , est important car il indique la position de . La ville est plus proche de que de . On peut anticiper la position en divisant en 3 parties égales. On peut écrire le rapport comme .
On peut utiliser la formule du partage d’un segment selon un rapport donné. Pour et , si le point divise tel que , alors les coordonnées de sont
Dans cette question, on connaît et, , et on sait que le point divise selon le rapport . En les substituant dans la formule pour trouver , on a
Comme vérification utile de notre réponse, nous pouvons considérer les longueurs de et en appliquant la formule de distance. Pour trouver la distance, , entre deux points et , on calcule
Pour calculer la longueur de , on peut substituer les coordonnées de et dans la formule pour obtenir
Pour calculer la longueur de , on substitue et dans la formule de distance, ce qui donne
On peut donc écrire le rapport des longueurs comme
On sait que est aux deux tiers du chemin de à . Par conséquent, on a confirmé que les coordonnées de sont .
On peut donc dire que les coordonnées de et sont
Points clés
- Le milieu, du segment d’extrémités et est donnée par
- Pour les points distincts et , si le point divise intérieurement tel que , alors les coordonnées de sont
- Lorsque l’on répond à des problèmes impliquant le partage d’un segment, on doit faire attention à déterminer l’ordre correct du rapport. Si est divisé par le point selon le rapport , alors le rapport sera . Si est divisé par le point selon le rapport , alors le rapport sera en fait .
- Pour les points distincts et , si le point divise extérieurement tel que , alors les coordonnées sont
