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Simon pense que toute matrice de taille deux fois deux, notée 𝐴, telle que 𝐴 fois la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre est égale à la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre multipliée par 𝐴, doit être une combinaison linéaire de la matrice deux fois deux un, zéro, zéro, un et de la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre. En d’autres termes, elle doit être sous la forme 𝐴 égale à 𝑠 fois la matrice deux fois deux un, zéro, zéro, un plus 𝑡 fois la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre, pour quelques nombres 𝑠 et 𝑡. Clovis veut contester cette hypothèse, car il voit que 𝐴 égale la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre au carré a la même valeur matrice deux fois deux un, deux trois, quatre au cube, lorsqu’elle est multipliée de chaque côté. Aidez Simon en trouvant 𝑠 et 𝑡 de sorte que la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre au carré soit égale à 𝑠 fois la matrice deux fois deux un, zéro, zéro, un plus 𝑡 fois la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre.
Dans cette question, on nous donne une propriété d’une matrice deux fois deux nommée 𝐴. Simon croit que si nous avons une matrice deux fois deux 𝐴, où multiplier 𝐴 à droite par la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre ou à gauche par la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre donne le même résultat, alors 𝐴 doit être une combinaison de deux matrices différentes : la matrice deux fois deux un, zéro, zéro, un et la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre. Et quand il dit combinaison, il veut dire une combinaison linéaire. En d’autres termes, il existe des nombres 𝑠 et 𝑡 tels que 𝑠 fois la matrice un, zéro, zéro, un plus 𝑡 fois la matrice un, deux, trois, quatre doit être égale à 𝐴. Et Clovis a remarqué une matrice possible pour 𝐴, la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre au carré. Nous pouvons vérifier que 𝐴 satisfait à cette propriété en remarquant que 𝐴 est une matrice deux fois deux. Et nous pouvons la substituer dans les deux membres de l’équation. Nous nous souvenons que porter au carré une matrice signifie que nous la multiplions par elle-même et que porter au cube une matrice signifie que nous la multiplions par elle-même deux fois.
Par conséquent, lorsque nous substituons cette matrice dans cette équation, nous obtenons le produit de la matrice un, deux, trois, quatre par elle-même deux fois des deux côtés de l’équation. Les deux côtés sont la matrice un, deux, trois, quatre au cube. Par conséquent, comme cette matrice satisfait à la condition, Simon dit qu’elle doit être une combinaison linéaire des deux matrices données.
La question veut que nous déterminions les valeurs des deux constantes qui rendent cela vrai. Ce sont les valeurs de 𝑠 et 𝑡 qui satisfont à l’équation donnée. Pour ce faire, nous allons devoir équilibrer les deux côtés de l’équation. Commençons par le côté gauche de l’équation. C’est la matrice deux fois deux un, deux, trois, quatre au carré. Pour porter au carré une matrice, nous la multiplions par elle-même. Cela nous donne ce qui suit. Et pour multiplier deux matrices ensemble, nous devons trouver la somme des produits des entrées correspondantes dans les lignes de la première matrice et les colonnes de la deuxième matrice. Par exemple, l’entrée de la première ligne, première colonne des produits de ces deux matrices sera un fois un plus deux fois trois. Et nous pouvons évaluer cela. C’est un plus six, c’est-à-dire sept. Ainsi, l’entrée de la première ligne, première colonne du produit de ces matrices est sept.
Nous pouvons faire la même chose pour trouver l’entrée de la première ligne, deuxième colonne. C’est égal à un fois deux plus deux fois quatre, c’est-à-dire 10. Nous pouvons suivre le même processus pour trouver l’entrée de la deuxième ligne, première colonne. C’est trois fois un plus quatre fois trois, ce qui est égal à 15. Enfin, l’entrée de la ligne deux, colonne deux sera trois fois deux plus quatre fois quatre, ce qui équivaut à 22. Par conséquent, le côté gauche de cette équation est la matrice deux fois deux sept, 10, 15, 22.
Maintenant, passons à la simplification du membre de droite de cette équation. Pour ce faire, nous rappelons que pour multiplier une matrice par un scalaire, nous multiplions chaque entrée de la matrice par le scalaire. Nous ferons ceci terme à terme. Commençons par le premier terme. Nous devons multiplier chaque entrée de cette matrice par 𝑠. Cela nous donne la matrice deux fois deux 𝑠, zéro, zéro, 𝑠.
Ensuite, dans le deuxième terme, nous devons multiplier toutes les entrées de la matrice par 𝑡. Cela nous donne la matrice deux fois deux 𝑡, deux 𝑡, trois 𝑡, quatre 𝑡. Ensuite, la somme de ces deux matrices est le membre de droite de notre équation. Et la matrice deux deux sept, 10, 15, 22 est le membre de gauche de cette équation. Nous voulons trouver les valeurs de 𝑠 et 𝑡 qui équilibrent les deux membres de l’équation. Ils doivent être égaux. Simplifions donc cette équation.
Nous allons commencer par additionner les deux matrices du côté droit de l’équation. Et rappelez-vous que pour ajouter deux matrices ensemble, elles doivent être de même dimension et nous ajoutons simplement les termes correspondants. Par conséquent, l’entrée de la première ligne, première colonne de la somme de ces deux matrices sera 𝑠 plus 𝑡. Et nous pouvons continuer. L’élément de la ligne un, colonne deux de la somme de ces deux matrices sera zéro plus deux 𝑡, ce qui est bien sûr deux 𝑡. Et nous pouvons suivre le même schéma pour trouver les deux dernières entrées. Nous obtenons la matrice deux fois deux 𝑠 plus 𝑡, deux 𝑡, trois 𝑡, 𝑠 plus quatre 𝑡. Et nous devons trouver les valeurs de 𝑠 et 𝑡 qui rendent cette matrice égale à la matrice deux fois deux sept, 10, 15, 22.
Nous rappelons que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir la même dimension et toutes les entrées correspondantes des deux matrices doivent être égales. Dans cette équation, la matrice dans le membre de gauche a deux lignes et deux colonnes. Et la matrice dans le membre de droite a également deux lignes et deux colonnes. Par conséquent, les deux ont la même dimension. Donc, pour que ces deux matrices soient égales, il suffit que les entrées correspondantes soient égales. Si nous définissons ensuite chacune des entrées correspondantes comme étant égales, nous obtenons quatre équations. Nous devons trouver les valeurs de 𝑠 et 𝑡 telles que sept est égal à 𝑠 plus 𝑡, 10 est égal à deux 𝑡, 15 est égal à trois 𝑡 et 22 est égal à 𝑠 plus quatre 𝑡. Ces quatre équations doivent être vraies pour que les deux matrices soient égales.
Par conséquent, nous résolvons quatre équations linéaires à deux inconnues. Nous pouvons noter que la deuxième équation et la troisième équation impliquent une seule inconnue 𝑡. Nous pouvons donc trouver 𝑡. En divisant la deuxième équation par deux, on obtient 𝑡 égale cinq. Et nous pouvons utiliser ceci pour trouver la valeur de 𝑠. Remplaçons 𝑡 égale cinq dans la première équation. Cela nous donne alors que sept est égal à 𝑠 plus cinq. Et nous pouvons trouver 𝑠 en soustrayant cinq des deux côtés de l’équation. Nous obtenons que 𝑠 est égal à deux.
Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous que ces valeurs de 𝑠 et 𝑡 doivent équilibrer les deux membres de notre équation matricielle. Cela signifie qu’elles doivent satisfaire aux quatre équations que nous avons trouvées. Nous pouvons le faire en les substituant dans les quatre équations linéaires. Ou nous pouvons les substituer dans l’équation matricielle. Vérifions ceci entrée par entrée. Si 𝑠 vaut deux et 𝑡 vaut cinq, 𝑠 plus 𝑡 est égal à sept, ce qui correspond à la première entrée. Ensuite, si 𝑡 est égal à cinq, deux fois 𝑡 est égal à 10, ce qui correspond à la prochaine entrée. Troisièmement, si 𝑡 est égal à cinq, trois 𝑡 est égal à 15, ce qui correspond à la troisième entrée. Enfin, si 𝑠 est égal à deux et 𝑡 est égal à cinq, 𝑠 plus quatre 𝑡 donne 22, ce qui correspond à l’entrée finale. Et par conséquent, nous avons pu montrer que 𝑠 est égal à deux et 𝑡 est égal à cinq.
