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Simplifiez tangente de 90 degrés plus 𝜃.
Nous rappelons que si l’angle 𝜃 est en position standard sur un ensemble d’axes avec un cercle trigonométrique centré à l’origine, alors nous pouvons utiliser les coordonnées de l’intersection entre le côté terminal de l’angle et le cercle trigonométrique pour définir sinus de 𝜃 et cosinus de 𝜃. En regardant cela plus en détail, nous pourrons définir le sinus et le cosinus de n’importe quel angle. Puisque tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, nous pouvons utiliser ces valeurs pour évaluer la tangente de tout angle ou de toute fonction trigonométrique inverse. Cette interprétation géométrique nous permet de découvrir les identités des fonctions trigonométriques.
En fait, il est possible de mémoriser certaines identités trigonométriques corrélées, telles que sinus de 90 plus 𝜃, cosinus de 90 plus 𝜃 et même tangente de 90 plus 𝜃. Supposons que nous n’avons pas encore mémorisé ces identités trigonométriques. Dans ce cas, nous pouvons construire ces identités en utilisant les propriétés périodiques des fonctions trigonométriques et la congruence des triangles formés par des angles en position standard sur le cercle unitaire.
Nous commencerons par situer le côté terminal de l’angle 90 degrés plus 𝜃 sur le cercle trigonométrique. Pour ce faire, nous rappelons que le côté terminal de 90 degrés se trouve sur le côté positif de l’axe des 𝑦 et que tourner dans le sens trigonométrique autour de l’origine représente l’ajout d’une mesure d’angle, alors que tourner dans le sens horaire représente la soustraction d’une mesure d’angle. Nous avons tracé le côté terminal de l’angle 90 degrés plus 𝜃 dans le deuxième quadrant. Puisque la rotation d’une figure géométrique autour de l’origine préserve ses longueurs latérales et ses mesures d’angles, nous avons maintenant une paire de triangles rectangles congruents. Ces triangles congruents ont en commun une hypoténuse verte de longueur un, un côté orange plus court de longueur sinus 𝜃 et un côté rose plus long de longueur cosinus 𝜃.
Maintenant, dans le deuxième quadrant, toutes les coordonnées 𝑥 sont négatives et toutes les coordonnées 𝑦 sont positives. Par conséquent, nous attribuons une valeur négative à la longueur du côté orange et une valeur positive à la longueur du côté rose. Cela signifie que le point a pour coordonnées moins sinus 𝜃, cosinus 𝜃.
Nous devons noter que ces points sont écrits en fonction de l’angle d’origine 𝜃. La coordonnée 𝑥 est cosinus de 90 degrés plus 𝜃 et la coordonnée 𝑦 est sinus de 90 degrés plus 𝜃. En utilisant cette interprétation géométrique, nous venons de trouver les deux premières identités trigonométriques corrélées.
Nous savons maintenant que sinus de 90 degrés plus 𝜃 est égal à cosinus de 𝜃 et cosinus de 90 degrés plus 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Nous pouvons maintenant utiliser la définition de tangente 𝜃 avec ces deux premières identités trigonométriques pour simplifier tangente de 90 degrés plus 𝜃. L’utilisation de la définition de la tangente en fonction de sinus et de cosinus nous donne tangente de 90 degrés plus 𝜃 est égal à sinus de 90 degrés plus 𝜃 sur cosinus de 90 degrés plus 𝜃. Ensuite, substituer les expressions simplifiées trouvées dans nos deux premières identités trigonométriques nous donne cosinus de 𝜃 sur moins sinus de 𝜃.
Enfin, nous rappelons que la fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente. En utilisant le fait qu’un positif divisé par un négatif donne un négatif, notre réponse finale est moins cotangente de 𝜃. En conclusion, la simplification de tangente de 90 degrés plus 𝜃 nous donne moins cotangente de 𝜃.
