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Un gaz d’un volume de 0,5 mètre cube est initialement à une température de 240 kelvins et à une pression de 800 pascals. Le gaz est chauffé tout en étant maintenu à un volume constant jusqu’à ce que sa pression soit de 1000 pascals. Quelle est la température du gaz après avoir été chauffé ?
Cette question concerne un gaz qui est maintenu à un volume constant, et nous pourrions imaginer cela comme un gaz à l’intérieur d’une boîte comme celle-ci où le volume de cette boîte reste fixe. Un gaz est composé de particules qui sont libres de se déplacer dans toutes les directions. Cela signifie que les particules à l’intérieur de cette boîte volent librement afin qu’elles puissent entrer en collision les unes avec les autres, et surtout, elles peuvent également entrer en collision avec les parois de la boîte.
Quand une particule entre en collision avec l’une des parois - et, par exemple, nous pourrions considérer cette particule ici - alors puisque le volume de la boîte est fixé et que la paroi ne peut pas bouger, la particule doit simplement rebondir, en changeant la direction de son vecteur vitesse et en exerçant une force sur la paroi avec une composante extérieure. Plus la particule se déplace rapidement, plus la force qu’elle exerce sur la paroi lorsqu’elle entre en collision avec elle est importante.
Alors, sur ce schéma, nous venons de dessiner quelques particules, mais en réalité, il y en aura énormément qui volent et entrent en collision avec les parois. Chacune de ces collisions exercera une force sur la paroi avec une composante extérieure. Une force agissant sur toute la surface des parois signifie qu’il y a une pression exercée sur les parois de la boîte. Et comme une particule en mouvement plus rapide exercera une plus grande force lorsqu’elle entre en collision avec une paroi, alors si les particules dans le gaz ont une plus grande vitesse moyenne, le gaz exercera une plus grande pression sur les parois de la boîte.
On peut rappeler que la vitesse moyenne des particules dans un gaz indique la température de ce gaz. Plus la température est élevée, plus la vitesse moyenne est grande. On peut alors dire, pour notre gaz maintenu à un volume constant, qu’une température plus élevée signifie une pression plus grande. Cette idée peut être exprimée mathématiquement par la loi de Gay-Lussac, qui dit que la pression 𝑃 est directement proportionnelle à la température 𝑇.
Il est important de se rappeler que cette loi ne s’applique que lorsque le gaz est maintenu à un volume constant. Comme on nous dit dans la question que le volume de ce gaz est en effet maintenu constant, alors nous savons que cette équation s’appliquera. Au lieu d’écrire 𝑃 est proportionnel à 𝑇, nous pourrions écrire que la pression 𝑃 est égale à une constante multipliée par la température 𝑇. Ces deux affirmations sont tout à fait équivalentes.
Si nous prenons maintenant cette équation et que nous la divisons des deux côtés par la température 𝑇, alors sur la droite, le 𝑇 au numérateur s’annule avec celui au dénominateur. Ensuite, nous nous retrouvons avec une équation qui dit que 𝑃 divisé par 𝑇 est égal à une constante. Autrement dit, pour un gaz maintenu à un volume constant, la pression de ce gaz divisée par sa température restera toujours identique.
On nous dit dans la question que ce gaz a une pression initiale, que nous avons appelée 𝑃 un, qui est égale à 800 pascals et une température initiale que nous avons appelée 𝑇 un égale à 240 kelvin. On nous dit également que le gaz est ensuite chauffé jusqu’à ce que sa pression atteigne une valeur de 1000 pascals. Nous avons nommé cette nouvelle pression 𝑃 deux et la température à laquelle le gaz atteint cette pression 𝑇 deux.
Donc, 𝑇 deux est la température du gaz après avoir été chauffé, et c’est exactement ce que la question nous demande de trouver. Nous savons qu’à une température 𝑇 un, le gaz a une pression 𝑃 un et qu’à cette nouvelle température 𝑇 deux, la pression est 𝑃 deux. Puisque la loi de Gay-Lussac nous dit que la pression divisée par la température sera toujours constante, alors nous pouvons dire que 𝑃 un divisé par 𝑇 un doit être égal à 𝑃 deux divisé par 𝑇 deux. Nous allons vouloir faire de 𝑇 deux le sujet de cette équation.
Si nous multiplions les deux côtés par 𝑇 deux, alors nous pouvons annuler le 𝑇 deux au numérateur et au dénominateur sur le côté droit. Cela nous donne que 𝑇 deux multiplié par 𝑃 un divisé par 𝑇 un est égal à 𝑃 deux. Si nous multiplions alors les deux côtés par 𝑇 un divisé par 𝑃 un, alors à gauche nous pouvons annuler le 𝑃 un au numérateur et au dénominateur et aussi le 𝑇 un au numérateur et au dénominateur. Nous nous retrouvons avec une équation qui dit que 𝑇 deux est égal à 𝑃 deux fois 𝑇 un divisé par 𝑃 un.
Nous pouvons maintenant insérer nos valeurs pour les pressions 𝑃 un et 𝑃 deux et la température 𝑇 un. Nous trouvons que 𝑇 deux est égal à 1000 pascals multiplié par 240 kelvins divisé par 800 pascals. Notez que les unités de pascals s’annulent, et cela ne nous laisse que des kelvin. Le calcul de l’expression donne un résultat pour 𝑇 deux de 300 kelvins. Ainsi, nous avons constaté que la température du gaz après son réchauffement est égale à 300 kelvins.
