Transcription de la vidéo
Etant donné que le vecteur 𝐀 est de coordonnées un, deux, quatre ; 𝐁 est de coordonnées deux, quatre, moins un ; et 𝐂 est de coordonnées moins un, quatre, deux, déterminez le produit mixte de 𝐀, 𝐁, et 𝐂 plus le produit mixte de 𝐁, 𝐂, et 𝐀 plus le produit mixte de 𝐂, 𝐀, et 𝐁.
En lisant chaque partie de cette somme, nous voyons que nous faisons des produits mixtes. Montrons à quoi correspond exactement ce que nous lisons. Il s’agit du produit scalaire du vecteur 𝐀 avec le produit vectoriel des vecteurs 𝐁 et 𝐂. Ainsi, nous pourrions répondre à cette question en commençant par calculer les produits vectoriels, puis les produits scalaires et enfin leurs sommes.
Nous pouvons cependant gagner un peu de temps. Supposons que le vecteur 𝐀 soit donné par 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧 ; le vecteur 𝐁, 𝐵 𝑥, 𝐵 𝑦, 𝐵 𝑧 ; et le vecteur 𝐂, 𝐶 𝑥, 𝐶 𝑦, 𝐶 𝑧. Le calcul du produit mixte, qui en fait ne nécessite pas des parenthèses, revient à calculer le discriminant de la matrice contenant les composantes : 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧, 𝐵 𝑥, 𝐵 𝑦, 𝐵 𝑧, et 𝐶 𝑥, 𝐶 𝑦, 𝐶 𝑧. Ainsi, nous pouvons trouver une expression pour le produit mixte de 𝐀, 𝐁, et 𝐂. Mais que dire de 𝐁, 𝐂, et 𝐀 et 𝐂, 𝐀, et 𝐁 ?
En fait, quand nous échangeons deux lignes dans un déterminant de taille trois fois trois, nous savons que cela change le signe du déterminant. Seulement, si nous changeons deux autres lignes, le signe changera à nouveau. Cela signifie donc que les produits mixtes sont égaux si l'ordre cyclique des vecteurs est conservé. Autrement dit, le produit mixte de 𝐀, 𝐁, et 𝐂 est égal au produit mixte de 𝐁, 𝐂, et 𝐀, qui est à son tour égal au produit mixte de 𝐂, 𝐀, et 𝐁. Ainsi, la somme en question est en fait égale à trois fois le produit mixte de 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Ceci nous fait gagner beaucoup de temps, car cela signifie tout simplement que nous pouvons trouver ce produit mixte, puis le multiplier par trois pour répondre à notre question.
Le produit mixte qui nous intéresse est donc le déterminant de la matrice trois fois trois dont les éléments sont un, deux, quatre, deux, quatre, moins un, et moins un, quatre, deux. Dans la suite, nous allons nous rappeler comment trouver le déterminant d'une matrice trois fois trois. Nous prenons chaque élément de la première ligne. Nous le multiplions par le déterminant de la matrice deux fois deux qui reste après avoir éliminé cette ligne et cette colonne. Ainsi, pour commencer, nous multiplions un par le produit de quatre et deux moins le produit de moins un et quatre. Ensuite, nous soustrayons deux fois le produit de deux et deux moins le produit de moins un et moins un.
Enfin, nous rajoutons quatre fois le produit de deux et quatre moins le produit de quatre et moins un. Nous pouvons calculer chaque partie et obtenir 12 moins six plus 48, soit 54. Ainsi, le produit mixte de 𝐀, 𝐁, et 𝐂 est 54. Selon nos calculs précédents, nous savons que la réponse à cette question correspond à trois fois cette valeur, donc cela donne trois fois 54, soit 162. Le produit mixte de 𝐀, 𝐁, et 𝐂 plus le produit mixte de 𝐁, 𝐂, et 𝐀 plus le produit mixte de 𝐂, 𝐀, et 𝐁 donne 162.
