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Déterminez la matrice 𝐴 égale à 𝑎 𝑥𝑦, de dimension trois par trois dont les éléments sont donnés par la formule 𝑎 𝑥𝑦 est égal à cinq 𝑥 plus quatre 𝑦.
La première chose que nous savons à partir de l’énoncé est que nous allons construire une matrice trois par trois. Nous avons une formule pour nous aider à le faire. Maintenant, nous allons construire notre matrice en la traitant ligne par ligne. Nous allons donc commencer par la première ligne.
Ainsi, pour déterminer notre première ligne, nous allons fixer 𝑥 comme égal à un. Puis, nous allons faire varier 𝑦 de un à trois. Lorsque nous faisons cela, nous pouvons dire que 𝑎 un un qui va être notre premier terme dans le coin supérieur gauche, va donc être égal à cinq multiplié par un plus quatre multiplié par un. Ceci parce que nous avons cinq 𝑥. Nous avons dit que 𝑥 allait être égal à un, nous avons donc cinq multiplié par un et ensuite nous avons quatre 𝑦. Nous avons commencé avec 𝑦 égal à un. Lorsque nous calculons ceci, nous obtenons une valeur de neuf parce que nous avons cinq plus quatre, ce qui fait neuf. Ainsi, ceci va être notre premier terme de notre première ligne.
Maintenant, pour trouver le deuxième terme de la première ligne, nous allons faire varier notre 𝑦. Ainsi, notre 𝑦 va maintenant être égal à deux. Nous allons donc obtenir le deuxième terme. Il va être égal à cinq multiplié par un plus quatre multiplié par deux ce qui va nous donner cinq plus huit qui est égal à 13. J’ai donc ajouté ceci à notre matrice.
Pour trouver le dernier terme de la première ligne, nous allons donc remplacer 𝑦 par trois. Nous obtenons donc cinq multiplié par un plus quatre multiplié par trois qui est égal à cinq plus 12, ce qui nous donnera notre dernier terme de la première ligne, à savoir 17. Nous avons ainsi complété notre première ligne. Très bien, passons maintenant à la deuxième ligne.
Maintenant, pour la deuxième ligne, nous allons fixer 𝑥 comme égal à deux. Puis, nous allons encore cette fois faire varier 𝑦 de un à trois. Ainsi, pour trouver le premier terme de la deuxième ligne, nous allons calculer cinq fois deux plus quatre fois un ce qui va nous donner 10 plus quatre, soit 14. Le premier terme de la deuxième ligne est donc 14. A nouveau, le seul changement à faire pour obtenir le deuxième terme de la deuxième ligne est de remplacer 𝑦 par deux. Nous obtenons donc cinq multiplié par deux plus quatre multiplié par deux. Cela donne donc 10 plus huit ce qui va nous donner 18.
Ensuite, pour le dernier terme de la deuxième ligne, encore une fois, nous allons remplacer 𝑦 par trois, ce qui signifie que nous avons cinq multiplié par deux plus quatre multiplié par trois, ce qui nous donne 10 plus 12. Nous obtenons donc 22. Voilà donc le dernier terme de la deuxième ligne, à savoir 22. Nous avons donc terminé avec cette ligne. Maintenant, nous pouvons passer à la dernière ligne de notre matrice.
Maintenant, pour la dernière ligne de la matrice, nous allons fixer 𝑥 comme égal à trois et puis encore une fois, faire varier 𝑦 de un à trois. Ainsi, pour le premier terme, nous allons avoir cinq multiplié par trois plus quatre multiplié par un, soit 15 plus quatre, ce qui va nous donner 19. Ensuite, pour le deuxième terme, encore une fois, nous changeons simplement notre 𝑦, cette fois il est égal à deux. Nous obtenons donc cinq multiplié par trois plus quatre multiplié par deux, soit 15 plus huit, ce qui donne 23.
Ensuite, pour le dernier terme de notre matrice, nous allons remplacer 𝑦 par trois. Nous obtenons donc cinq multiplié par trois plus quatre multiplié par trois, ce qui nous donnera 15 plus 12 qui est égal à 27. Nous avons donc complété notre matrice. Nous pouvons donc dire que la matrice d’ordre trois par trois et dont les éléments sont donnés par la formule 𝑎𝑥𝑦 est égal à cinq 𝑥 plus quatre 𝑦 est la matrice neuf, 13, 17, 14, 18, 22, 19, 23, 27.
