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Vidéo de la leçon: Introduction aux matrices Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les matrices, et comment déterminer l'ordre d'une matrice et la position de chacun de ses éléments.

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Transcription de la vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment identifier les matrices, et comment déterminer l'ordre d'une matrice et la position de chacun de ses éléments. Une matrice est un tableau ordonné de nombres. Les matrices sont vraiment utiles car elles permettent de représenter et de travailler avec des groupes de nombres comme s’ils ne formaient qu’une seule entité. On les utilise, par exemple, pour résoudre des équations à plusieurs variables et représenter des transformations. Dans une matrice, on ordonne des nombre en lignes et en colonnes, on appelle ces nombres des éléments. Lorsqu’on dit d’une matrice, par exemple 𝐴, que c’est une matrice 𝑚 𝑛, cela signifie qu’elle a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Et on peut représenter cette matrice comme ainsi.

On appelle 𝑎 𝑖𝑗 l’élément qui se trouve à la ligne 𝑖 et à la colonne 𝑗, qui est soit un nombre, soit une expression algébrique. Ainsi, l’élément situé à la troisième ligne et à la cinquième colonne est 𝑎 trois cinq. Lorsque 𝑚 est égal à 𝑛, en d’autres termes, le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, la matrice est carrée, on dit alors qu’elle est d’ordre 𝑛. Dans les autre cas, elle est rectangulaire. Lorsque 𝑚 ou 𝑛 est égal à un, alors on dit que c’est un vecteur. Et on les utilise pour définir des points dans l’espace.

Il existe deux matrices de références à bien connaître même si nous n’allons pas les examiner en détail. Ces matrices sont la matrice identité et la matrice nulle. Dans la matrice identité 𝐼, tous les éléments sont des zéros, sauf ceux de la diagonale principale qui ont une valeur de un, comme on peut le voir ici. Et dans la matrice nulle 𝑂, chacun des éléments est égal à zéro. Maintenant que nous connaissons les bases des matrices. Voyons quelques questions pour mieux comprendre ces concepts.

Combien y a-t-il d’éléments dans une matrice de taille neuf sept ?

Rappelons que, dans une matrice, les éléments sont organisés en lignes et en colonnes. Lorsqu’on décrit une matrice, par exemple la matrice générale 𝐴, comme étant une matrice 𝑚 𝑛, celle-ci a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Et cette matrice ressemblerait un peu à cela. La dimension de cette matrice est 𝑚 𝑛. On nous donne une matrice neuf sept. Cela signifie que notre matrice a neuf lignes et sept colonnes. Alors, combien d’éléments a-t-elle ?

Eh bien, si on a neuf lignes et que chacune de ces lignes a sept colonnes et qu’il y a un élément dans chacune d’elles, alors on obtient le nombre total d’éléments en multipliant neuf par sept. Neuf fois sept est égal à 63. Et donc, dans une matrice neuf sept, il y a un total de 63 éléments. Bien sûr, on peut généraliser cela et dire qu’une matrice 𝑚 𝑛 a 𝑚 fois 𝑛 éléments.

Nous allons maintenant voir comment remplir une matrice en donnant des définitions de chacun de ses éléments.

Si 𝐴 est une matrice de dimension trois deux, avec 𝑎 un un égale zéro, 𝑎 un deux égale 𝑎 trois un moins trois, 𝑎 deux un égale quatre, 𝑎 deux deux est égal à la moitié de 𝑎 un un, 𝑎 trois un égale huit, et 𝑎 trois deux est égal à un quart de 𝑎 deux un, déterminez 𝐴.

Pour écrire la matrice 𝐴, commençons par identifier le nombre de lignes et de colonnes qu’elle contient. Nous savons qu’une matrice 𝑚 𝑛 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Cette matrice 𝐴 est une matrice trois deux. Elle doit donc avoir un total de trois lignes et deux colonnes. Ainsi, elle est composée de trois fois deux, c'est-à-dire, six éléments. On dispose d’informations sur chaque élément mais rappelons d’abord comment remplir les matrices. Une matrice 𝑚 𝑛 ressemble à ceci, où 𝑎 𝑖𝑗 est l’élément qui se trouve à la ligne 𝑖 et à la colonne 𝑗. Ainsi, si on prend 𝑎 un un. Cet élément se trouve à la ligne un, et dans la première colonne.

𝑎 un un est égal à zéro. On met donc un zéro dans le coin supérieur gauche de notre matrice. Maintenant, nous avons des informations sur 𝑎 un deux qui est fonction de 𝑎 trois un. Comme nous n’avons pas encore cette valeur, nous passons à la suivante. 𝑎 deux un est égal à quatre. Cela nous indique que l’élément de la ligne deux et de la colonne un est égal à quatre. C'est-à-dire, ici. Ensuite, on nous dit que 𝑎 deux deux est la moitié de 𝑎 un un. C’est l’élément à la ligne deux et à la colonne deux. Donc, c’est ici. Nous savons que 𝑎 un un est égal à zéro et un demi de zéro qui est toujours égal à zéro. Nous ajoutons donc zéro à cet endroit.

Ensuite, on nous dit que 𝑎 trois un est égal à huit. Et on sait qu’il s’agit de l’élément ligne trois colonne un. On a donc huit ici. Nous pouvons maintenant revenir aux informations sur 𝑎 un deux. C’est-à-dire l’élément ligne un, colonne deux. C'est-à-dire ici. On a donc 𝑎 trois un qui est égal à huit moins trois. Et puisque huit moins trois égale cinq, on écrit cinq dans le coin supérieur droit de notre matrice. On passe à 𝑎 trois deux qui est égal à un quart de 𝑎 deux un. Eh bien, 𝑎 trois deux est l’élément ligne trois colonne deux. Soit, ici.

Comme 𝑎 deux un est égal à quatre. Nous devons donc calculer un quart de quatre, qui vaut un. Lorsqu’on lit une matrice, on la lit ligne après ligne, de gauche à droite. Ainsi 𝐴 est la matrice zéro, cinq, quatre, zéro, huit, un.

Nous allons maintenant renforcer cette compétence en regardant comment identifier les éléments d’une matrice donnée.

Soit 𝐴 la matrice moins deux, quatre, moins sept, moins un, neuf, neuf, 𝐵 la matrice moins sept, trois, deux, moins six, moins quatre, moins huit, sept, trois, zéro, et 𝐶 le vecteur deux, moins cinq, moins quatre, déterminez 𝑎 deux trois, 𝑏 deux un et 𝑐 deux un.

Commençons par rappeler comment les éléments d’une matrice sont identifiés. L’élément 𝑎 𝑖𝑗 se situe ligne 𝑖, colonne 𝑗 dans la matrice. Ici, nous recherchons 𝑎 deux trois, qui est un élément de notre première matrice 𝐴, 𝑏 deux un, qui est un élément de la matrice 𝐵, et 𝑐 deux un, qui est un élément de la matrice 𝐶. Si on compare 𝑎 deux trois avec la définition générale, on voit que 𝑎 deux trois est l’élément ligne deux, colonne trois. La deuxième ligne de la matrice 𝐴 est ici et la troisième colonne ici. L’élément qui se trouve à l’intersection des deux est neuf. Et donc 𝑎 deux trois égale neuf.

On passe à 𝑏 deux un. Qui est un élément de 𝐵, et qui se trouve ligne deux, colonne un. La deuxième ligne est ici, et la première colonne ici. L’élément qui se trouve à l’intersection des deux est moins six. Ainsi 𝑏 deux un est égal à moins six. De même avec 𝑐 deux un. Il se trouve dans la deuxième ligne, qui est ici, et dans la première colonne. Bien sûr, il n’y a qu’une seule colonne. L’élément est ainsi moins cinq. Et donc 𝑐 deux un est égal à moins cinq. On a donc 𝑎 deux trois égale neuf, 𝑏 deux un égale moins six, et 𝑐 deux un est égal à moins cinq.

Jusqu’à présent, nous avons eu affaire à une matrice 𝐴, dont les éléments sont les 𝑎 𝑖𝑗. Ainsi, lorsqu’on a affaire à plusieurs matrices, on peut utiliser la lettre minuscule pour identifier chacun des éléments. Ainsi, pour la matrice 𝐵, ses éléments sont les 𝑏 𝑖𝑗. Et ceux de la matrice 𝐶, sont les 𝑐 𝑖𝑗.

Dans le prochain exemple, nous allons à nouveau devoir déterminer une matrice. Mais cette fois, nous allons utiliser une équation pour déterminer chacun de ses éléments.

Déterminez la matrice 𝐴 trois trois qui est composée des éléments 𝑎 𝑥𝑦 définis par la formule 𝑎 𝑥𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre 𝑦.

Attardons-nous d’abord sur l’information sur la taille de la matrice. On remarque qu’il s’agit d’une matrice trois trois, c’est donc une matrice carrée. Cela signifie qu’elle a trois lignes et trois colonnes. Il y a donc un total de trois fois trois, c’est à dire neuf éléments à déterminer dans cette matrice. Rappelons que chaque élément d’une matrice s’identifie comme 𝑎 𝑖𝑗. Cet élément se situe ligne 𝑖, colonne 𝑗. Ainsi l’élément de la première ligne et de la première colonne est 𝑎 un un. L’élément de la première ligne et de la deuxième colonne est 𝑎 un deux, et le troisième élément de cette ligne est 𝑎 un trois. Ligne deux, colonne un on a 𝑎 deux un. Et puis on peut compléter le reste de la matrice comme indiqué.

Maintenant, on sait que notre matrice est définie par les éléments 𝑎 𝑥𝑦. Et donc pour déterminer l’élément 𝑎 un un, on remplace 𝑥 comme par un et 𝑦 par un. Et pour calculer cet élément on peut utiliser cette formule, 𝑎 𝑥𝑦 est égal à cinq 𝑥 plus quatre 𝑦. On substitue simplement les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 dans cette formule, et on obtient 𝑎 un un est égal à cinq fois un plus quatre fois un, ce qui est égal à neuf. Et nous avons le premier élément de notre matrice qui est égal à neuf. Nous allons maintenant passer au deuxième élément de la première ligne. Et cette fois, nous allons remplacer 𝑥 par un et 𝑦 par deux.

Notre formule nous donne donc cinq fois un plus quatre fois deux qui est égal à 13. Et donc 13 est le deuxième élément de la première ligne de notre matrice. Calculons maintenant cet élément. Cette fois, 𝑥 est égal à un et 𝑦 est égal à trois. On obtient donc 𝑎 un trois est égal à cinq fois un plus quatre fois trois, qui est égal à 17. Nous avons donc rempli la première ligne de notre matrice. Nous allons maintenant passer à la deuxième ligne de notre matrice. Notez que, ici, pour chaque élément, 𝑥 est toujours égal à deux. Et donc, on détermine 𝑎 deux un en remplaçant 𝑥 par deux et 𝑦 par un.

On a ainsi cinq fois deux plus quatre fois un, soit 14. Ensuite 𝑎 deux deux est égal à cinq fois deux plus quatre fois deux, qui est égal à 18. Et 𝑎 deux trois est égal à cinq fois deux plus quatre fois trois, qui est égal à 22. Nous avons donc rempli la deuxième ligne de notre matrice. Il ne reste plus qu’à déterminer les valeurs de la troisième ligne. Cette fois, 𝑥 est toujours égal à trois. Et donc le premier élément est cinq fois trois plus quatre fois un, qui est égal à 19. Le deuxième élément est cinq fois trois plus quatre fois deux, qui est égal à 23. Et notre troisième élément est cinq fois trois plus quatre fois trois, c’est à dire 27. Nous avons donc rempli la dernière ligne de notre matrice. Nous pouvons donc dire que, étant donné sa définition, la matrice 𝐴 est la matrice neuf, 13, 17, 14, 18, 22, 19, 23, 27.

Il existe plusieurs opérations que l’on peut appliquer aux matrices, mais nous n’allons pas toutes les voir dans cette leçon. Nous allons examiner simplement la possibilité de les multiplier par un scalaire. Soit 𝐴 la matrice suivante. Nous allons la multiplier par 𝑏. Pour cela, il suffit simplement de multiplier chaque élément par 𝑏. Ainsi, 𝑏 fois 𝐴 est égal à 𝑏𝑎 un un, 𝑏𝑎 un deux, et ainsi de suite. Illustrons cela dans un exemple.

Le tableau ci-dessous représente les prix de certaines boissons dans un café. Le propriétaire du café change le prix des boissons pour que chaque boisson soit désormais deux fois son prix initial. Déterminez la matrice qui représente les nouveaux prix des boissons.

Une matrice est simplement un arrangement de nombres. Et donc, si on définit 𝐴 comme la matrice qui représente les anciens prix des boissons, on peut simplement transférer chacun des nombres de notre tableau comme indiqué. La taille de cette matrice est trois deux, car elle comporte trois lignes et deux colonnes. Et donc la matrice 𝐴 est 1,5, 5,5, deux, 8,5, 3,5, neuf. On nous dit que le prix des boissons change et qu’il est désormais deux fois le prix initial. Ainsi, on veut doubler les prix. On doit donc multiplier chaque élément de la matrice par deux. On peut représenter cela par deux 𝐴, puisque nous savons que lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chacun de ses éléments individuellement. La matrice deux 𝐴 représente donc les nouveaux prix des boissons. Et ses éléments sont deux fois 1,5, deux fois 5,5, deux fois deux, deux fois 8,5, deux fois 3,5 et deux fois neuf.

Remplissons cette matrice élément par élément. Deux fois 1,5 égale trois. Donc, trois est l’élément de la première ligne et de la première colonne. Ensuite, deux fois 5,5 égale 11, deux fois deux égale quatre et deux fois 8,5 égale 17. Deux fois 3,5 égale sept, et deux fois neuf égale 18, ce qui signifie que l’élément de la troisième ligne et de la deuxième colonne est 18. Nous avons donc maintenant la matrice qui représente les nouveaux prix des boissons. C’est la matrice trois, 11, quatre, 17, sept, 18.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une matrice est un arrangement de nombres. Et les éléments de la matrice sont disposés en lignes et en colonnes. Étant donné une matrice 𝐴 de taille 𝑚 𝑛, cette matrice a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. La matrice 𝐴 ressemblera un peu à ceci, et on appelle 𝑎 𝑖𝑗 l’élément situé ligne 𝑖, colonne 𝑗. Nous avons vu que si 𝑚 est égal à 𝑛, la matrice est carrée, on dit que la matrice est d’ordre 𝑛. Sinon, c’est une matrice rectangulaire. Si 𝑚 ou 𝑛 est égal à un, alors on dit que c’est un vecteur. On utilise les vecteurs pour définir des points dans l’espace.

Nous avons vu qu’il existe deux matrices de références qui sont la matrice identité et la matrice nulle. La matrice identité est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments sont des zéros à l’exception de ceux de la diagonale principale qui ont une valeur de un, c'est-à-dire quand 𝑖 est égal à 𝑗,. Et la matrice nulle 𝑂 dont tous les éléments sont nuls. Enfin, nous avons vu qu’on peut multiplier une matrice par un scalaire. Si on veut multiplier la matrice 𝐴 par le scalaire 𝑏. On le fait en multipliant chaque élément par 𝑏.

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