Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à reconnaître une matrice, à déterminer son ordre et à identifier la position de chacun de ses éléments.
L’idée d’utiliser un tableau de nombres pour résoudre des problèmes existe en mathématiques depuis au moins 200 av. J.-C., époque à laquelle les mathématiciens chinois l’utilisaient déjà pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. Bien qu’il existe depuis longtemps, ce n’est qu’en 1850 que ce concept a été formalisé par le terme de matrice (matrices au pluriel), par James Joseph Sylvester. Depuis, les matrices font l’objet de nombreuses recherches en mathématiques, leur usage est également très répandu en physique, en informatique et dans de nombreuses autres disciplines. Les graphiques 3D, par exemple, dépendent fortement des matrices, en permettant de représenter les transformations des points dans l’espace.
Afin de bien comprendre le concept de matrice, commençons par l’expliquer en termes fondamentaux. Une matrice est un tableau rectangulaire divisé en lignes (horizontalement) et en colonnes (verticalement). On décrit chacun des « coefficients » de la matrice en faisant référence à la ligne et à la colonne dans lesquelles il apparaît.
Définition : Coefficients d’une matrice
Une « matrice » est un tableau rectangulaire de nombres disposés en lignes et en colonnes. On peut écrire une matrice sous la forme où la quantité est la valeur apparaissant dans la ligne et la colonne de la matrice.
Les sont appelés les éléments (ou les coefficients) de la matrice.
Il est plus facile de démontrer ce concept que de le décrire, alors nous allons commencer par un exemple. On définit d’abord la matrice
Notez qu’il y a 2 lignes et 3 colonnes dans et qu’il y a 6 coefficients au total. On dit que où les sont les coefficients de cette matrice telle que décrite dans la définition ci-dessus. Puisque notre matrice comprend 2 lignes, nous avons . De même, il y a 3 colonnes et par conséquent . À titre d’exemple, si on pose et , alors on s’intéresse au coefficient situé dans la première ligne et la deuxième colonne. Pour repérer ce coefficient dans la matrice, on commence par surligner tous les coefficients de la première ligne, 
Le coefficient situé à l’intersection de la première ligne et de la deuxième colonne, noté , est le seul coefficient à avoir été surligné à deux reprises, comme on peut le constater ci-dessous : 
On peut donc dire que .
Si l’on décidait à présent de poser et , on indiquerait cette fois l’élément situé dans la seconde ligne et la première colonne. En répétant la même méthode que celle indiquée ci-dessus, nous surlignons d’abord tous les coefficients de la deuxième ligne, 
Le seul coefficient qui a été mis en surbrillance deux fois est le coefficient , illustré ci-dessous : 
En continuant ce processus, on obtient les coefficients restants , , et .
Dans l’exemple suivant, nous appliquerons à nouveau cette méthode afin d’identifier des éléments spécifiques d’une matrice à partir de leurs indices.
Exemple 1: Déterminer un élément d’une matrice donnée
Sachant que déterminez , et .
Réponse
Rappelons que lorsqu’on fait référence à l’élément d’une matrice , il s’agit du coefficient situé dans la ligne et la colonne de cette matrice. Comme il faut trouver , et , cela signifie que nous devons trouver un coefficient dans chacune des trois matrices , et .
Commençons par considérer . Comme ici, cela fait référence à un coefficient dans la ligne 2 de , que nous soulignons ci-dessous :
Puisque , ce coefficient figure également dans la colonne 3, que nous surlignons ci-dessous :
Par conséquent, est le coefficient situé dans la deuxième ligne et la troisième colonne, qui est le seul coefficient surligné deux fois, comme on peut le constater ci-dessous :
Ainsi, .
Nous pouvons appliquer cette méthode à nouveau pour les deux autres matrices. Pour , , donc on surligne la ligne 2 de :
La valeur de , ce qui signifie la colonne 1, que nous surlignons ci-dessous :
En combinant les lignes et les colonnes ensemble, nous constatons que est le seul coefficient surligné deux fois :
Par conséquent, .
Pour la dernière matrice, nous devons trouver . Ici, fait référence à la deuxième ligne de . Nous surlignons cette ligne ci-dessous :
Maintenant, pour la colonne, nous avons . Cependant, dans ce cas, la matrice n’a qu’une seule colonne, donc il n’est pas nécessaire de la surligner. On peut conclure que le coefficient .
Pour résumer les résultats, nous avons , et .
Même les mathématiciens les plus expérimentés avec les matrices ne sont pas à l’abri d’oublier momentanément l’ordre dans lequel nous écrivons « » ou « » pour les lignes et les colonnes. Nous allons pratiquer cela dans très peu de temps, mais un bon point de départ est de se rappeler que nous nous référons généralement à la ligne avant de nous référer à la colonne. Certaines personnes préfèrent simplement se souvenir de l’expression « ligne , colonne ».
Cet ordre des lignes en premier et des colonnes en second s’applique également lorsque nous nous référons aux dimensions d’une matrice, ce que nous pouvons faire comme suit.
Définition: Ordre d’une matrice
Si une matrice a lignes et colonnes, on dit qu’elle est de dimension (qui se lit « par ”).
Ainsi, par exemple, est une matrice de dimension (trois par deux), car il a trois lignes et deux colonnes. Il est aussi possible d’omettre le mot « ordre » et de dire simplement qu’il s’agit d’une matrice . De plus, notons que le nombre d’éléments (ou coefficients) dans vaut 6, ce qui est égal au nombre de lignes (3) fois le nombre de colonnes (2). En général, comme les matrices sont rectangulaires, cela conduit à la règle suivante que nous pouvons utiliser pour déterminer le nombre d’éléments dans une matrice.
Règle : Nombre d’éléments dans une matrice
Une matrice de dimension a éléments.
Grâce à cette règle, il est très facile de trouver le nombre d’éléments dans une matrice, à condition que l’ordre nous soit donné, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.
Exemple 2: Déterminer le nombre d’éléments dans une matrice étant donné son ordre
Combien y a-t-il d’éléments dans une matrice de dimension ?
Réponse
Rappelons que la notation se réfère à une matrice avec 9 lignes et 7 colonnes. Si nous voulons savoir manuellement combien d’éléments cette matrice possède, nous pourrions extraire une matrice quelconque avec 9 lignes et 7 colonnes et compter chaque élément.
Une approche plus simple consiste à réaliser que, comme les matrices sont rectangulaires, le nombre d’éléments est égal au nombre de lignes multiplié par le nombre de colonnes. C’est-à-dire
On peut le visualiser ci-dessous.
Le nombre d’éléments est donc 63.
Dans notre prochain exemple, nous nous entraînerons à utiliser la notation pour désigner les coefficients d’une matrice.
Exemple 3: Identifier une matrice 2 × 3 en fonction de l’ordre de ses éléments
Lequel des éléments suivants correspond à la matrice , où et ?
Réponse
Rappelons-nous que fait référence au coefficient de la matrice situé dans la ligne et la colonne et que la combinaison de tous ces coefficients organisés en lignes et en colonnes forme la matrice .
Puisque et , on sait qu’il y a deux lignes et trois colonnes dans la matrice . On peut donc éliminer les options (B) et (D), car les deux ont trois lignes et deux colonnes. La matrice dans l’option (A) a la forme
Pour la première ligne, nous avons et, en lisant la première ligne de gauche à droite, nous pouvons voir que les coefficients sont , et . Les valeurs des indices sont toutes 1 et les valeurs des indices augmentent de 1 à 3. Par conséquent, la première ligne est correcte. Pour la deuxième ligne, on observe que , ce qui est correct, et que les coefficients sont , et . En appliquant le même raisonnement, nous déduisons que cette ligne est également correcte et que (A) est la bonne réponse.
Nous avons déjà trouvé la bonne réponse, mais il est utile de comprendre pourquoi la matrice de l’option (C) est incorrecte. La forme de la matrice est
Bien qu’il y ait deux lignes et trois colonnes dans cette matrice, les références aux lignes et aux colonnes ont été inversées. Si nous regardons seulement la première ligne et lisons de gauche à droite, nous pouvons voir que la valeur de l’indice change, alors que cela devrait être le cas pour les valeurs des indices , ce qui suggère que nous modifions des lignes et non des colonnes. Cependant, nous n’avons regardé que la première ligne, alors cela ne peut pas être le cas.
Lorsque nous lisons de gauche à droite les coefficients sur la même ligne, la valeur de l’indice devrait rester la même et la valeur de l’indice devrait augmenter. De même, en lisant de haut en bas les coefficients d’une même colonne, l’indice devrait augmenter et l’indice devrait rester le même. Nous pouvons utiliser cette compréhension pour vérifier rapidement si nous avons ou non la forme correcte d’une matrice.
Après un peu de pratique, il deviendra très naturel de lire rapidement les coefficients d’une matrice donnée, avec des définitions et des théorèmes clés nécessitant une compréhension intuitive de cette idée. L’une des meilleures façons est de s’exercer sur des matrices dont les coefficients sont des nombres, plutôt que sur des matrices dont les coefficients sont des symboles abstraits ou des variables non spécifiées.
Exemple 4: Former une matrice 2 × 2 étant donnés ses éléments
Sachant que est une matrice de dimension , avec , , et , déterminez la matrice .
Réponse
Rappelons que la notation signifie que la matrice a deux lignes et deux colonnes et qu’elle a donc la forme suivante :
Veuillez noter que le symbole indique que ce coefficient contient des informations inconnues et nous ne supposons pas que tous ces coefficients ont la même valeur.
Nous rappelons que désigne le coefficient de la matrice dans la ligne et la colonne de la matrice.
La première information dont on dispose est que . Puisque et , nous nous référons au coefficient de la première ligne et de la première colonne. Par conséquent, la matrice a la structure suivante :
On nous dit ensuite que . Sachant que et , nous nous référons à un coefficient dans la première ligne et la deuxième colonne, ce qui nous donne
Notre prochaine condition est que , ce qui signifie que cette valeur doit apparaître dans la deuxième ligne et la première colonne. Par conséquent, nous avons
Le dernier coefficient est , qui apparaît dans la deuxième ligne et la deuxième colonne. La matrice complète est donc
Lorsqu’on utilise les matrices, il arrive parfois que des relations algébriques existent entre leurs coefficients. Très souvent, ces relations proviendront de contraintes physiques ou logistiques, ce qui garantira par la suite que la matrice en question possède des propriétés spéciales qui peuvent être comprises et utilisées. Être capable de comprendre les relations entre les coefficients d’une matrice est nécessaire pour la maîtrise des calculs matriciels et la compréhension de l’algèbre matricielle plus profonde aux niveaux supérieurs d’études.
Exemple 5: Construire une matrice à partir de la relation liant ses éléments
Sachant que est une matrice de dimension , où , , , , et , déterminez .
Réponse
Rappelons qu’une matrice a trois lignes et deux colonnes, et a donc la forme suivante :
Les variables indiquées dans la question sont les coefficients de la matrice dans la ligne , la colonne .
La manière la plus simple de commencer à répondre à cette question est d’utiliser les coefficients qui ont une valeur numérique explicite, plutôt que ceux qui sont définis par rapport aux autres coefficients. Ce sont les coefficients , et , ce qui signifie que la matrice est la suivante :
Ensuite, nous utilisons la relation donnée . Comme , nous avons , ce qui donne
Examinons à présent la relation donnée . Nous avons déjà constaté que , nous en déduisons que et par conséquent que notre matrice est de la forme
La dernière relation donnée est . Puisque , nous avons . La matrice est donc
Les coefficients d’une matrice peuvent aussi être spécifiés de manière très rigide, en se référant à une formule qui est une fonction de la ligne et de la colonne. Ces fonctions pourraient être compliquées, mais pour illustrer le concept, nous n’utiliserons qu’un exemple très simple.
Exemple 6: Construire une matrice à partir d’une équation générale pour ses éléments
Déterminez la matrice , de dimension , dont les éléments sont donnés par la formule .
Réponse
Une matrice a 3 lignes et 3 colonnes et a donc la forme
On commence par calculer tous les coefficients de la première ligne, pour lesquels . Les éléments de la première ligne sont , et et ils sont calculés en utilisant la formule donnée, , où fait référence au coefficient dans la ligne et la colonne .
Nous calculons l’élément dans la première ligne et la première colonne :
Ensuite, nous calculons l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne :
Passons à présent à l’élément de la première ligne et de la troisième colonne : ce qui nous permet de compléter la première ligne de la matrice :
Maintenant, nous nous concentrons sur la deuxième ligne en définissant et en considérant les éléments , et .
Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne est
Le coefficient de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est
Le coefficient de la deuxième ligne et de la troisième colonne est
Maintenant, la deuxième ligne de la matrice peut être complétée :
Pour la troisième et dernière ligne, nous définissons et prenons les coefficients , et .
Le coefficient de la troisième ligne et de la première colonne est
Le coefficient de la troisième ligne et de la deuxième colonne est
Le coefficient de la troisième ligne et de la troisième colonne est
La matrice complétée est donc
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons une matrice pour représenter des données concrètes.
Exemple 7: Déterminer la matrice qui représente un ensemble de données spécifique
Le tableau ci-dessous représente les prix de certaines boissons dans un café. Le propriétaire du café décide de multiplier par deux le prix de ces boissons, de sorte que chaque boisson coûte maintenant le double de son prix original. Déterminez la matrice qui représente les nouveaux prix des boissons.
| Boisson | Petite taille | Grande taille |
|---|---|---|
| Jus de fraise | 1,5 | 5,5 |
| Jus d’orange | 2 | 8,5 |
| Jus de mangue | 3,5 | 9 |
Réponse
Nous devons d’abord commencer par construire la matrice qui représente les prix dans le tableau. Les prix du tableau étant déjà disposés en lignes et en colonnes, il nous suffit de les recopier tels quels dans une matrice, . Cela nous donne
Tout comme dans le tableau, chaque ligne de cette matrice représente une boisson différente (la première ligne est le jus de fraise, la deuxième ligne est le jus d’orange, et la troisième ligne est le jus de mangue), et chaque colonne représente la taille (la première colonne est la petite taille, et la deuxième colonne est la grande taille).
De plus, nous rappelons que chaque coefficient d’une matrice désigne le coefficient de la ligne et de la colonne de cette matrice. Ainsi, dans cet exemple, chaque coefficient représente le prix de la boisson dans la ligne et sa taille dans la colonne . À titre d’exemple, nous montre qu’un jus de mangue de grande taille coûte 9.
Maintenant, la question nous demande de trouver la matrice où le prix de chaque boisson vaut deux fois son prix initial. Comme chaque coefficient de la matrice représente le prix d’une boisson, cela signifie simplement que nous devons multiplier chaque coefficient de la matrice par 2. Par exemple, pour un coefficient , nous avons
Nous le faisons pour chaque coefficient de la matrice, en nous donnant une nouvelle matrice, :
Cette matrice représentant les nouveaux prix des boissons est notre solution.
Dans cette fiche explicative, nous avons compris comment lire les coefficients d’une matrice et aussi comment ces coefficients peuvent (ou pas ! ) se rapporter les uns aux autres. Le concept le plus important à comprendre est l’ordre dans lequel nous nous référons aux lignes et colonnes en définissant les coefficients de la matrice pour nous permettre de compléter certaines preuves qui apparaissent dans l’algèbre linéaire.
Points clés
Les points clés de cette fiche explicative sont les suivants :
- Une matrice est constituée de lignes et de colonnes contenant des coefficients. Ces coefficients peuvent être des nombres, des variables ou des fonctions.
- Pour une matrice , l’indice fait référence au numéro de la ligne et l’indice fait référence au numéro de la colonne.
- Nous spécifions généralement le numéro de la ligne avant de spécifier le numéro de la colonne. Il peut être utile de se souvenir de l’expression « ligne , colonne ».
- Si une matrice a lignes et colonnes, on dit qu’elle est dedimension, et qu’elle contient éléments.
- Les matrices peuvent être utilisées pour représenter des données réelles.
