Video Transcript
Le circuit de la figure contient des condensateurs connectés en série et en parallèle. La capacité totale du circuit est de 36 microfarads. Quelle est la capacité 𝐶 ?
On nous donne un schéma qui montre un circuit où nous avons une pile connectée à cet arrangement de condensateurs. Nous pouvons voir que ce circuit a deux branches parallèles avec des condensateurs. Il y a cette branche ici qui contient deux condensateurs : l’un avec une capacité 𝐶 et l’autre avec une capacité de 95 microfarads. L’autre branche est celle-ci qui n’a qu’un seul condensateur, avec une capacité de 25 microfarads.
Pour répondre à cette question, nous allons devoir nous rappeler comment nous combinons les condensateurs en série et en parallèle. Lorsque nous combinons des condensateurs en série, nous additionnons les inverses des différentes capacités, ce qui nous donne un sur la capacité totale. Autrement dit, si nous connectons des condensateurs en série avec des capacités individuelles de 𝐶 un, 𝐶 deux, 𝐶 trois, et cetera, alors un sur la capacité totale de ces condensateurs, 𝐶 indice T, est égal à un sur 𝐶 un plus un sur 𝐶 deux plus un sur 𝐶 trois, et ainsi de suite. Lorsque nous combinons des condensateurs en parallèle, nous ajoutons simplement les capacités individuelles directement. Autrement dit, si nous avons des branches parallèles dans un circuit avec des capacités individuelles de 𝐶 un, 𝐶 deux, 𝐶 trois, et cetera, alors la capacité totale 𝐶 indice T est égale à 𝐶 un plus 𝐶 deux plus 𝐶 trois, et ainsi de suite.
Maintenant, dans le circuit de la question, il n’y a que deux branches parallèles. Et le plus grand nombre de condensateurs en série sur une seule branche est également deux. Cela signifie que dans ces deux expressions, nous voulons simplement placer les deux premiers termes à droite. Cela nous donne ces deux équations pour combiner deux condensateurs en série et combiner deux condensateurs en parallèle. Nommons respectivement les deux branches de notre circuit A et B. Puisque la branche B ne contient qu’un seul condensateur de 25 microfarads, la capacité de la branche B, que nous avons appelée 𝐶 indice B, est simplement égale à cette valeur de 25 microfarads.
Nommons également la capacité de la branche A 𝐶 indice A. Et cela est égal à la capacité totale de ces deux condensateurs connectés en série. On nous dit que la capacité totale du circuit est de 36 microfarads. Nous avons noté cela 𝐶 indice Tot pour éviter toute confusion avec le 𝐶 indice T que nous avons mis dans ces équations génériques. 𝐶 indice Tot est égal à la capacité totale de ces deux branches parallèles dans le circuit, qui ont des capacités de 𝐶 indice A et 𝐶 indice B, respectivement. En utilisant notre équation générale pour combiner les capacités en parallèle, nous pouvons alors écrire que 𝐶 indice Tot est égal à 𝐶 indice A plus 𝐶 indice B. Nous connaissons les valeurs de 𝐶 indice Tot et 𝐶 indice B. Nous pouvons donc utiliser ces valeurs dans cette équation pour calculer la valeur de 𝐶 indice A.
Pour ce faire, nous devons faire de 𝐶 indice A le sujet de l’équation. Nous pouvons le faire en soustrayant 𝐶 indice B des deux côtés de sorte que, à droite, les termes positif et négatif de 𝐶 indice B s’annulent. Nous avons donc maintenant une équation qui nous dit comment trouver la valeur de 𝐶 indice A étant donné les valeurs de 𝐶 indice Tot et 𝐶 indice B. En insérant nos valeurs de 𝐶 indice Tot et 𝐶 indice B, nous obtenons que 𝐶 indice A est égal à 36 microfarads moins 25 microfarads, ce qui équivaut à 11 microfarads. Nous avons ajouté cette valeur pour 𝐶 indice A sur notre circuit électrique afin que nous puissions maintenant faire de l’espace à l’écran.
Maintenant que nous avons trouvé cette capacité 𝐶 indice A, alors pour calculer la valeur de la capacité 𝐶, nous devons considérer ces deux condensateurs connectés en série sur la branche A. En référence à cette équation générale de combinaison de condensateurs en série, nous avons noté notre capacité inconnue 𝐶 comme 𝐶 un et notre capacité de 95 microfarads comme 𝐶 deux. Nous savons que la capacité totale de ces deux condensateurs combinés est la capacité totale de la branche A, qui est notre valeur de 𝐶 indice A. Autrement dit, dans cette équation pour les condensateurs connectés en série, la capacité totale 𝐶 indice T est notre valeur pour 𝐶 indice A. Donc, notre version de cette équation pour ce circuit spécifique est que un sur 𝐶 indice A est égal à un sur 𝐶 un plus un sur 𝐶 deux.
Nous avons déjà calculé la valeur de 𝐶 indice A, et 𝐶 deux est une valeur connue de capacité qui nous a été donnée dans la question. Pour trouver la valeur de 𝐶 un, qui est notre capacité inconnue 𝐶 que la question nous demande de déterminer, nous devons réorganiser cette équation afin de faire de 𝐶 un le sujet. La première étape consiste à soustraire un sur 𝐶 deux des deux côtés de l’équation. Ensuite, sur le côté droit, les termes plus un sur 𝐶 deux et moins un sur 𝐶 deux s’annulent. Cela nous donne une équation qui dit que un sur 𝐶 indice A moins un sur 𝐶 deux est égal à un sur 𝐶 un.
Sur le côté gauche, nous pouvons réécrire la première fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par 𝐶 deux. Et nous pouvons réécrire la deuxième fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par 𝐶 indice A. Ensuite, comme ces deux fractions ont le même dénominateur, nous pouvons réécrire le côté gauche comme étant 𝐶 deux moins 𝐶 indice A divisé par 𝐶 deux fois 𝐶 indice A.
Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de l’équation par 𝐶 un, 𝐶 deux et 𝐶 indice A. À gauche, les 𝐶 deux au numérateur sont annulés avec celui au dénominateur et la même chose pour les 𝐶 indice A. Pendant ce temps, à droite, nous avons 𝐶 un au numérateur qui s’annule avec le 𝐶 un au dénominateur. En éliminant ces termes annulés, nous avons que 𝐶 un multiplié par 𝐶 deux moins 𝐶 indice A est égal à 𝐶 deux fois 𝐶 indice A. La dernière étape consiste à diviser les deux côtés par 𝐶 deux moins 𝐶 indice A de sorte que, à gauche, 𝐶 deux moins 𝐶 indice A au numérateur et au dénominateur s’annulent.
Nous nous retrouvons avec une équation qui dit que 𝐶 un est égal à 𝐶 deux multiplié par 𝐶 indice A divisé par 𝐶 deux moins 𝐶 indice A. Dans notre cas, cette grandeur 𝐶 un est la valeur de la capacité 𝐶 que nous voulons trouver. Ensuite, en insérant nos valeurs de 𝐶 indice A et 𝐶 deux, nous constatons que 𝐶 est égal à 95 microfarads multipliés par 11 microfarads divisés par 95 microfarads moins 11 microfarads. Au numérateur, 95 microfarads fois 11 microfarads équivaut à 1045 avec des unités de microfarads carrés. Au dénominateur, nous avons 95 microfarads moins 11 microfarads, et cela équivaut à 84 microfarads.
En termes d’unités dans cette expression, nous avons deux facteurs de microfarads au numérateur et un facteur au dénominateur. Cela signifie que nous pouvons annuler un facteur au numérateur et au dénominateur, ce qui nous laisse avec des unités globales de microfarads. Le calcul de l’expression donne un résultat pour la capacité 𝐶 de 12,44 etc. microfarads. Si nous arrondissons cela au microfarad la plus proche, nous obtenons une réponse pour la capacité 𝐶 égale à 12 microfarads. En dernière remarque, puisque cette valeur de 12 a deux chiffres dont aucun ne sont des zéros situés en début ou fin du nombre, nous pourrions également dire que nous avons donné notre résultat avec deux chiffres significatifs.
